2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題 理 湘教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題 理 湘教版 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求. 1.已知集合，則 （ ） A. B. C. D. 2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量，，且，則向量( ) A. B. C. D. 4.已知直線與直線平行且與圓：相切,則直線的方程是( ) A. B. 或 C. D. 或 5.對于平面、、和直線、、、,下列命題中真命題是( ) A.若,則 B.若,則 C.若則 D.若,則 6.不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( ) A. B. 0 C. D. 7. 記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，則不同的排法有 （ ） A．72種 B．144種 C．240種 D．480種 8. 如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為 （ ） A．3 B．5 C．6 D．10 9.已知函數(shù)，若過點且與曲線相切的切線方程為，則實數(shù)的值是( ) A. B. C.6 D.9 10.對于任意兩個正整數(shù),定義某種運算“※”如下:當都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時,※=;當中一個為正偶數(shù),另一個為正奇數(shù)時,※=.則在此定義下,集合※中的元素個數(shù)是( ) A.10個 B.15個 C.16個 D.18個 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分25分．其中11～13題是選做題，考生只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分． （一）選做題：第11至13題為選做題，只能選做兩題，三題全答的，只計算前兩題得分． 14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中,圓的圓心到直線 的距離是 . 15.（幾何證明選講選做題）如圖,為圓直徑,切圓于點, , ,則等于 . 7 9 8 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4 （二）必做題：第14至16題為必做題，每道試題考生都必須作答 9.右圖是某高三學(xué)生進入高中三年來第次到次的數(shù)學(xué)考試成績 莖葉圖, 根據(jù)莖葉圖計算數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 . 10.已知等差數(shù)列{},滿足,則此數(shù)列的前項 的和 . 11.已知直線與直線垂直，則直線的傾斜角 . 12.設(shè)是上的奇函數(shù),. 當時有, 則 . 13.一物體在力(單位：)的作用下沿與力相同的方向, 從處運動到 (單位：)處,則力做的功為 焦. 三、解答題：本大題共6小題，滿分75分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16.（本小題滿分12分）已知函數(shù). (1) 求的最大值和最小正周期； (2)若，是第二象限的角，求. 17.（本小題滿分12分）某社團組織名志愿者利用周末和節(jié)假日參加社會公益活動,活動內(nèi)容是：1、到各社區(qū)宣傳慰問,倡導(dǎo)文明新風(fēng)；2、到指定的醫(yī)院、福利院做義工,幫助那些需要幫助的人.各位志愿者根據(jù)各自的實際情況,選擇了不同的活動項目,相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示： 宣傳慰問 義工 總計 20至40歲 11 16 27 大于40歲 15 8 23 總計 26 24 50 (1) 分層抽樣方法在做義工的志愿者中隨機抽取6名,年齡大于40歲的應(yīng)該抽取幾名? A BA CA EA OA (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求選到的志愿者年齡大于40歲的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 18.（本小題滿分12分）如圖,已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且,,是的中點.(1)求點到面的距離；(2)求二面角的正弦值. 19.（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列的公差，它的前項和為，若，且成等比數(shù)列. （1） 求數(shù)列的通項公式； （2） （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：. B O x y F1 F2 P A M 20.（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是 直線上的點，滿足，求點的軌跡方程． 21.（本小題滿分14分）已知二次函數(shù),且不等式的解集為. (1) 方程有兩個相等的實根,求的解析式. (2) 的最小值不大于,求實數(shù)的取值范圍. (3) 如何取值時,函數(shù)()存在零點,并求出零點. 數(shù)學(xué) (理科）參考答案與評分標準 一．選擇題：共10小題，每小題5分，滿分50分 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D C A B B D B 9.【提示】設(shè)切點為，則 ①， ∵，又切線l過A、M兩點， ∴則 ② 聯(lián)立①、②可解得，從而實數(shù)的值為故選D. 10.【提示】從定義出發(fā),抓住的奇偶性對12實行分拆是解決本題的關(guān)鍵,當同奇偶時,根據(jù)※=將12分拆兩個同奇偶數(shù)的和,當一奇一偶時,根據(jù)※=將12分拆一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的積,再算其組數(shù)即可. 若同奇偶,有,前面的每種可以交換位置,最后一種只有1個點,這時有; 若一奇一偶,有,每種可以交換位置,這時有; ∴共有個.故選B 二．填空題：共6小題，每小題5分，滿分25分．其中11~13題是選做題，考生只能選做兩題． 9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5 14.【提示】由得圓為,圓的圓心直線的直角坐標方程為，所以點到直線的距離是. 15.【提示】連接,切圓于點,.又，是中點，. 三、解答題： 16.解(1)∵ ………………………4分 ∴的最大值為2,……5分，最小正周期為 ………6分 (2)由(1)知, 所以,即 ………………………8分 又是第二象限的角,所以……10分 所以 ………12分 17解：(1)若在做義工的志愿者中隨機抽取6名,則抽取比例為……………2分 ∴ 年齡大于40歲的應(yīng)該抽取人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假設(shè)選到年齡大于40歲的人數(shù)為, ∵ 6名志愿者中有2人的年齡大于40歲,其余4人的年齡在20到40歲之間, ∴ 可能的取值為. ………………………5分 則,, ………8分 ∴的分布列為 ………10分 ∴ 的數(shù)學(xué)期望為 ………12分 18（本小題滿分14分）解: (1)取的中點,連、 、 則面,的長就是所要求的距離. ………………………3分 、, ,在直角三角形中,有…6分 （另解:由 (2)連結(jié)并延長交于,連結(jié)、. 則就是所求二面角的平面角. ……………9分 作于,則 在直角三角形中, 在直角三角形中,……………10分 , 故所求的正弦值是 ……………12分 方法二: (1)以為原點,、、分別為、、軸建立空間直角坐標系. 則有、、、……2分 設(shè)平面的法向量為 則由 由,……4分 則點到面的距離為……6分 (2) ……8分 設(shè)平面的法向量為則由知: 由知:取 ……………9分 由(1)知平面的法向量為 ……………10分 則<>. ……………11分 結(jié)合圖形可知,二面角的正弦值是 ……………12分 19.（本題滿分13分）解：（1）數(shù)列是等差數(shù)列且， . ①…2分 成等比數(shù)列，即②………4分 由①，②解得或…………5分 ………6分 （2）證明;由（1）可得， …………7分 所以. …………8分 所以 . …………10分 ，. …………11分 ，數(shù)列是遞增數(shù)列，.………12分 . …………13分 20解：（1）設(shè)， 由題意,可得,即， ……………2分 整理得，得(舍)或，所以. ……………4分 （2）由（1）知,可得橢圓方程為. 直線方程為 ……………………………………………5分 兩點的坐標滿足方程組,消去y并整理得……6分 解得得方程組的解 ……………………8分 不妨設(shè),設(shè)的坐標為則 ， …………10分 由得. 于是 …………11分 由得， 化簡得， ………………………………12分 將代入得， 由得.因此,點的軌跡方程是. …13分 21解：（1）∵的解集為, ∴的解集為, ……………………1分 ∴,且方程的兩根為 即，∴ ……2分 ∵方程有兩個相等的實根,即有兩個相等的實根 ∴, ∴或 …………3分 ∵,∴, ∴ …………4分 （2） ∵,∴的最小值為, ……………………5分 則,,解得, …………7分 ∵,∴ ………………………………8分 （3）由,得 (※) ①當時,方程(※) 有一解, 函數(shù)有一零點； ……………………9分 ②當時, 方程(※)有一解, 令 得, ， i)當，時，（（負根舍去）），函數(shù)有一零點. ……………10分 ii) 當時，的兩根都為正數(shù)，當或時，函數(shù)有一零點.11分 ⅲ) 當時，， ③方程(※)有二解, i) 若,，時, （（負根舍去）），函數(shù) 有兩個零點； …12分 ii) 當時，，的兩根都為正數(shù)， 當或時， 函數(shù)有兩個零點。 ⅲ) 當時，，恒成立， 取大于0()的任意數(shù)，函數(shù)有兩個零點 …13分