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2019-2020年高中數學 4.1.2函數的極值練習 北師大版選修1-1
一、選擇題
1．(xx新課標Ⅱ文，3)函數f(x)在x＝x0處導數存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的極值點，則( )
A．p是q的充分必要條件
B．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
C．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
[答案] C
[解析] ∵x＝x0是f(x)的極值點，∴f′(x0)＝0，即q?p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是極值點，故pq，故選C.
2．函數y＝x3－3x2－9x(－2
0；
當x∈(－1,2)時，f′(x)<0.
∴當x＝－1時，f(x)有極大值，且f(x)極大值＝f(－1)＝5，無極小值．
3．函數f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a、b的值分別為( )
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
[答案] A
[解析] 因為f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0. ①
又x＝1時有極值－2，所以a＋b＝－2. ②
由①②解得a＝1，b＝－3.
4．設函數f(x)＝xlnx，則 ( )
A．x＝e為f(x)的極大值點
B．x＝e為f(x)的極小值點
C．x＝為f(x)的極大值點
D．x＝為f(x)的極小值點
[答案] D
[解析] f′(x)＝lnx＋1，
令f′(x)>0，得x>，
令f′(x)<0，得x<，
∴函數f(x)在(0，)上遞減，在(，＋∞)上遞增，∴當x＝時，f(x)取得極小值．
5．下圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖像，給出下列命題：
①x＝－3是函數y＝f(x)的極值點；
②x＝－1是函數y＝f(x)的最小值點；
③曲線y＝f(x)在x＝0處的切線斜率小于零；
④函數y＝f(x)在區(qū)間(－3,1)上單調遞增．
其中，正確命題的序號是( )
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
[答案] B
[解析] f′(－3)＝0，且在x＝－3的兩側，導函數由負到正，所以x＝－3為f(x)的極小值點．當x∈(－3，－1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以①④正確．
6．(xx湖北重點中學期中聯(lián)考)設a∈R，若函數y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的極值點，則( )
A．a<－ B．a>－1
C．a<－1 D．a>－
[答案] C
[解析] y′＝ex＋a，由題意知a<0.
∵函數有大于零的極值點x＝x0，
∴ex0＋a＝0，且x0>0，
∴a<－1，故選C.
二、填空題
7．函數f(x)＝－x3＋x2＋2x取得極小值時，x的值是________．
[答案]?。?
[解析] f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，
令f′(x)>0得－12，∴函數f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上遞減，在(－1,2)上遞增，
∴當x＝－1時，函數f(x)取得極小值．
8．已知函數f(x)＝x(x－c)2在x＝2處取極大值，則常數c的值為________．
[答案] 6
[解析] f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，
f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f ′(2)＝0解得c＝2或6.
當c＝2時，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
故f(x)在x＝2處取得極小值，不合題意舍去；
當c＝6時，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)
＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2處取得極大值．
三、解答題
9．設函數f(x)＝x3＋ax2－9x的導函數為f′(x)，且f′(2)＝15.
(1)求函數f(x)的圖像在x＝0處的切線方程；
(2)求函數f(x)的極值．
[答案] (1)y＝－9x (2)極大值27，極小值－5
[解析] (1)∵f′(x)＝3x2＋2ax－9，
∵f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.
∴f(x)＝x3＋3x2－9x，
∴f′(x)＝3x2＋6x－9，
∴f(0)＝0，f′(0)＝－9，
∴函數在x＝0處的切線方程為y＝－9x.
(2)令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.
當x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
27
－5
即函數f(x)在(－∞，－3)上遞增，在(－3,1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，∴當x＝－3時，f(x)有極大值27，當x＝1時，f(x)有極小值－5.
10．設y＝f(x)為三次函數，且圖像關于原點對稱，當x＝時，f(x)的極小值為－1，求函數f(x)的解析式．
[答案] f(x)＝4x3－3x
[解析] 設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因為其圖像關于原點對稱，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，
∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.
由f ′(x)＝3ax2＋c，
依題意，f ′＝a＋c＝0，f＝a＋＝－1，
解之，得a＝4，c＝－3.
故所求函數的解析式為f(x)＝4x3－3x.
一、選擇題
1．設函數f(x)＝xex，則( )
A．x＝1為f(x)的極大值點
B．x＝1為f(x)的極小值點
C．x＝－1為f(x)的極大值點
D．x＝－1為f(x)的極小值點
[答案] D
[解析] 求導得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，當x<－1時，f′(x)<0；當x>－1時，f′(x)>0，從而x＝－1是函數f(x)的極小值點．
2．設函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋a在x＝1處均有極值，且f(－1)＝－1，則a、b、c的值為( )
A．a＝－1，b＝0，c＝－1
B．a＝，b＝0，c＝－
C．a＝－3，b＝0，c＝－3
D．a＝3，b＝0，c＝3
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴由題意得，
，即，
解得a＝－3，b＝0，c＝－3.
3．已知函數f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別為( )
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
[答案] A
[解析] f ′(x)＝3x2－2px－q，
由f ′(1)＝0，f(1)＝0得，
，解得，∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f ′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得當x＝時f(x)取極大值.
當x＝1時f(x)取極小值0.
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是( )
A．－12 D．a<－3或a>6
[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有極大值與極小值，
∴f ′(x)＝0有兩不等實根，
∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
二、填空題
5．直線y＝a與函數f(x)＝x3－3x的圖像有相異的三個公共點，則a的取值范圍是________．
[答案] (－2,2)
[解析] f ′(x)＝3x2－3，由3x2－3＝0得x＝1或－1，當x<－1，或x>1時，f ′(x)>0，f(x)單調遞增；當－10，故g(x)為增函數；當－10時，g′(x)>0，故g(x)為增函數；綜上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)內為減函數，(－4，－1)和(0，＋∞)內為增函數．
8．設函數f(x)＝(2－a)lnx＋＋2ax.
(1)當a＝0時，求f(x)的極值；
(2)當a≠0時，求f(x)的單調區(qū)間．
[答案] (1)f(x)極小值＝f()＝2－2ln2，沒有極大值 (2)當a>0時，函數的單調遞減區(qū)間為(0，]，單調遞增區(qū)間為[，＋∞)；當a<－2時，函數的單調遞減區(qū)間為(0，－]，[，＋∞)，單調遞增區(qū)間為[－，]；當a＝－2時，函數的單調遞減區(qū)間為(0，＋∞)；當－20，由f′(x)≤0得x∈(0，]；由f′(x)≥0得x∈[，＋∞)．
若a<0，當a<－2時，－<，由f′(x)≤0得x∈(0，－]或x∈[，＋∞)；由f′(x)≥0得x∈[－，]．
當a＝－2時，f′(x)≤0.當－2，由f′(x)≤0得x∈(0，]或x∈[－，＋∞)；由f′(x)≥0得x∈[，－]．
綜上，當a>0時，函數的單調遞減區(qū)間為(0，]，單調遞增區(qū)間為[，＋∞)；當a<－2時，函數的單調遞減區(qū)間為(0，－]，[，＋∞)，單調遞增區(qū)間為[－，]；當a＝－2時，函數的單調遞減區(qū)間為(0，＋∞)；當－2
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