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2019-2020年高中數(shù)學 4.2.2最大值、最小值問題第2課時練習 北師大版選修1-1
一、選擇題
1．將數(shù)8拆分為兩個非負數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不對
[答案] B
[解析] 設一個數(shù)為x，則另一個數(shù)為8－x，則y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.
當0≤x<4時，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當4
0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以x＝4時，y最?。?
2．要制做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm，要使其體積最大，則高為( )
A.cm B．cm
C.cm D．cm
[答案] D
[解析] 設圓錐的高為x，則底面半徑為，
其體積為V＝πx(400－x2) (0＜x＜20)，
V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.
當0＜x＜時，V′＞0；當＜x＜20時，V′＜0，
所以當x＝時，V取最大值．
3．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時變化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
[答案] C
[解析] 瞬時變化率即為f ′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f ′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1時，f ′(x)min＝－1.
4．用總長為6m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為34，那么容器容積最大時，高為( )
A．0.5m B．1m
C．0.8m D．1.5m
[答案] A
[解析] 設容器底面相鄰兩邊長分別為3xm、4xm，則高為＝(m)，容積V＝3x4x＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，
由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈時，V′>0，x∈時，V′<0，所以在x＝處，V有最大值，此時高為0.5m.
5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為( )
A．R B．2R
C．R D．R
[答案] C
[解析] 設圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2，
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3，
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
當00；當0，∴當r＝時，表面積最?。?
二、填空題
7．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最小，則圓柱的底面半徑為________．
[答案] 3
[解析] 設圓柱的底面半徑為R，母線長為L，則V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，
∴S′(R)＝2πR－，令S′＝0得R＝3，
∴當R＝3時，S表最?。?
8．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時燃料費是每小時6元 ，而其他與速度無關的費用是每小時96元，則此輪船的速度為______km/h航行時，能使行駛每公里的費用總和最?。?
[答案] 20
[解析] 設船速為每小時x(x＞0)千米，燃料費為Q元，則Q＝kx3，
由已知得：6＝k103，
∴k＝，即Q＝x3.
記行駛每千米的費用總和為y元，則
y＝(x3＋96)＝x2＋
y′＝x－，令y′＝0，即x－＝0，
解之得：x＝20.
這就是說，該函數(shù)在定義域(0，＋∞)內(nèi)有唯一的極值點，該極值必有所求的最小值，即當船速為每小時20公里時，航行每公里的總費用最小，最小值為7.2元．
三、解答題
9．用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個無蓋水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接成水箱．問：水箱底邊的長取多少時，水箱容積最大？最大容積是多少？
[答案] 水箱底邊長取80cm時，容積最大，最大容積為128 000cm3
[解析] 設水箱底邊長為xcm，則水箱高為h＝60－(cm)．
水箱容積V＝V(x)＝60x2－(00，因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；
當x∈(50，＋∞)時，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是減函數(shù)，
∴當x＝50時，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋50－ln＝24.4(萬元)．
即該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值為24.4萬元.
一、選擇題
1．以長為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為( )
A．10 B．15
C．25 D．50
[答案] C
[解析] 如圖，設∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ25cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.
2．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D．πr2
[答案] A
[解析] 設內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，
則S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此時S＝4πr
＝4πrr＝2πr2.
3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，則當總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
[答案] D
[解析] 由題意可得總利潤P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300.
當0≤x≤300時，P′(x)>0；當3000)，y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時，y′>0，x∈(25，＋∞)時，y′<0，所以x＝25時，y取最大值．
6.如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長最小時，x與h的比為________．
[答案] 11
[解析] 設窗戶面積為S，周長為L，則S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗戶周長L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋，
∴L′＝＋2－.
由L′＝0，得x＝，x∈時，L′<0，x∈時，L′>0，∴當x＝時，L取最小值，此時＝＝－＝－＝1.
三、解答題
7．(xx三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足的關系式y(tǒng)＝＋4(x－6)2，其中20，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f ′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，
所以x＝是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，
所以當x＝≈3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值．
故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大．
8．有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？
[答案] 供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省
[解析] 如圖所示，依題意，點C在直線AD上，設C點距D點x km.
因為BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x.
所以BC＝＝.
又設總的水管費用為y元，則
y＝3a(50－x)＋5a(030時，y′>0.
所以當x＝30時，取得最小值，此時AC＝50－x＝20(km)，
即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最?。?
2019-2020年高中數(shù)學 4.2.2最大值、最小值問題第2課時練習 北師大版選修1-1.doc
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