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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)32 基本不等式2 新人教版必修5
1．下列函數(shù)中，最小值為4的是( )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝2
C．f(x)＝3x＋43－x D．f(x)＝lgx＋logx10
答案 C
2．在算式“30－△＝4□”中的△，□分別填入兩個正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則這兩個數(shù)構(gòu)成的數(shù)對(□，△)應(yīng)為( )
A．(4,14) B．(6,6)
C．(3,18) D．(5,10)
答案 D
3．(xx陜西)小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a
＝0，所以>a，即v>a.故選A項．
4．已知兩個正變量x，y，滿足x＋y＝4，則使不等式＋≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－∞，]
5．設(shè)正數(shù)x，y滿足＋≤a恒成立，則a的最小值是________．
答案
6．設(shè)正數(shù)x，y滿足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，則x＋y的取值范圍是________．
答案 [6，＋∞)
答案 原式等價于x＋y＋3＝xy≤()2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號)，所以x＋y＋3≤，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.
解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)．
所以x＋y的取值范圍是[6，＋∞)．
7．已知a>0，b>0，且a2＋＝1，則a的最大值為________．
答案
解析 a＝a≤[a2＋()2]
＝(1＋)＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時等號成立．
∴a的最大值為.
8．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
解析 ∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴＋＝(＋)(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時等號成立，
∴當(dāng)x＝時，y＝時，＋有最小值18.
9．設(shè)x，y都是正數(shù)且＋＝3，求2x＋y的最小值；
解析 (1)2x＋y＝＝(＋)(2x＋y)
＝(＋＋4)≥(2＋4)＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝時等號成立，即y2＝4x2.∴y＝2x.
又∵＋＝3，得x＝，y＝.
∴當(dāng)x＝，y＝時，2x＋y取得最小值為.
10．設(shè)x>－1，求y＝的最小值．
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0.
設(shè)x＋1＝t>0，則x＝t－1.
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2時取等號，此時x＝1.
∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝取得最小值為9.
11．求函數(shù)y＝的最小值．
解析 令t＝x2＋1，則t≥1，且x2＝t－1.
∴y＝＝
＝＝t＋＋1.
∵t≥1，∴t＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝1時，等號成立，∴當(dāng)x＝0時，函數(shù)取得最小值3.
講評 把已知函數(shù)解析式通過通分、拆項等方法，轉(zhuǎn)化成滿足基本不等式的條件的形式再求最值，是常用的方法．
12．已知a，b，c是不全相等的三個正數(shù)，
求證：＋＋>3.
解析?。?
＝＋＋＋＋＋－3
＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3，
∵a，b，c都是正數(shù)，
∴＋≥2＝2，
同理＋≥2，＋≥2.
∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6.
∵a，b，c不全相等，上述三式不能同時取等號，
∴(＋)＋(＋)＋(＋)>6.
∴＋＋>3.
13.
圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進(jìn)出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)．
(1)將y表示為x的函數(shù)；
(2)試確定x，使修建此矩形場地的圍墻的總費用最少，并求出最少總費用．
解析 (1)設(shè)矩形的另一邊長為a m，
則y＝45x＋180(x－2)＋1802a＝225x＋360a－360.
由已知ax＝360，得a＝.∴y＝225x＋－360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440，當(dāng)且令當(dāng)225x＝時，等號成立．
即當(dāng)x＝24 m時，修建圍墻的總費用最少，最少總費用是10 440元．
14.
如右圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．
(1)現(xiàn)有可圍36 m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。?
解析 (1)設(shè)每間虎籠長x m，寬為y m，則由條件得
4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.
方法一 由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤.
即S≤，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時，等號成立．
由解得
故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大．
方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，y>0，∴00.
∴S≤2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)6－y＝y(tǒng)，即y＝3時，等號成立，此時x＝4.5.
故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大．
(2)由條件知S＝xy＝24.
設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y.
方法一 ∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l(xiāng)＝4x＋6y＝2(2x＋3)y≥48，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時，等號成立．
由解得
故每間虎籠長為6 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。?
方法二 由xy＝24，得x＝.
∴l(xiāng)＝4x＋6y＝＋6y＝6(＋y)≥62＝48.
當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)，即y＝4時，等號成立，此時x＝6.
故每間虎籠長為6 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。?
1．若對任意x>0，≤a恒成立時，則a的取值范圍是________．
答案 [，＋∞)
解析 ∵x>0，∴＝≤＝.
∴a≥.
2．已知a>b>c，若＋≥，求n的最大值．
解析 方法一 ∵＋≥，且a>b>c，
∴n≤＋＝.
∵對a、b、c上式都成立，
∴n≤[]min.
又∵≥＝4.
∴n≤4，∴n的最大值為4.
方法二 ∵a>b>c，∴＋
＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴n≤4，∴n的最大值為4.
3．某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的建房．經(jīng)測算，若將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
解析 設(shè)將樓房建為x層，則每平方米的平均購地費用為＝.
∴每平方米的平均綜合費用
y＝560＋48x＋＝560＋48(x＋)．
當(dāng)x＋取最小值時，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝15時，上式等號成立．
所以當(dāng)x＝15時，y有最小值2 000元．
因此該樓房建為15層時，每平方米的平均綜合費用最少．
1．(xx北京)設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則( )
A．a(chǎn)c>bc B.<
C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3
答案 D
解析 A項中，若c小于等于0則不成立；B項中，若a為正數(shù)b為負(fù)數(shù)則不成立；C項中，若a，b均為負(fù)數(shù)則不成立．故選D項．
2．(xx福建)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 ∵2x＋2y＝1≥2，
∴()2≥2x＋y，即2x＋y≤2－2.∴x＋y≤－2.
3．(xx安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>}，則f(10x)>0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x<－lg2}
答案 D
解析 由題意知－1<10x<，所以xlgx(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 ∵x2＋1≥2|x|?x2－2|x|＋1≥0，
∴當(dāng)x≥0時，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；
當(dāng)x<0時，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．
故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．
9．(xx重慶)不等式≤0的解集為( )
A．(－，1]
B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 不等式可化為解不等式組得－0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.
答案 36
解析 由基本不等式可得4x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝即x＝時等號成立，∴＝3，a＝36.
16．(xx廣東)不等式x2＋x－2<0的解集為________．
答案 {x|－20時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________．
答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 ∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝
∴原不等式等價于或
由此可解得x>5或－50的解集是________．
答案 (－3,2)∪(3，＋∞)
解析 不等式>0可化為(x－2)(x－3)(x＋3)>0，
由穿根法(如圖)，
得所求不等式的解集為(－3,2)∪(3，＋∞)．
23．(xx江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)
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課時作業(yè)32
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