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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 習(xí)題課2 新人教A版必修1
課時目標(biāo) 1.加深對函數(shù)的基本性質(zhì)的理解.2.培養(yǎng)綜合運用函數(shù)的基本性質(zhì)解題的能力.
1.已知f(x)為R上的減函數(shù),則滿足f
0成立,則必有( )
A.函數(shù)f(x)先增后減
B.函數(shù)f(x)先減后增
C.f(x)在R上是增函數(shù)
D.f(x)在R上是減函數(shù)
3.已知函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),a,b∈R,且a+b>0,則有( )
A.f(a)+f(b)>-f(a)-f(b)
B.f(a)+f(b)<-f(a)-f(b)
C.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)
D.f(a)+f(b)a,則實數(shù)a的取值范圍是________.
1.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上是增函數(shù),已知x1>0,x2<0,且f(x1)0
C.f(-x1)>f(-x2) D.f(-x1)f(-x2)<0
2.下列判斷:
①如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,那么這個函數(shù)為偶函數(shù);
②對于定義域為實數(shù)集R的任何奇函數(shù)f(x)都有f(x)f(-x)≤0;
③解析式中含自變量的偶次冪而不含常數(shù)項的函數(shù)必是偶函數(shù);
④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)存在且唯一.
其中正確的序號為( )
A.②③④ B.①③
C.② D.④
3.定義兩種運算:a⊕b=ab,a?b=a2+b2,則函數(shù)f(x)=為( )
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)
4.用min{a,b}表示a,b兩數(shù)中的最小值,若函數(shù)f(x)=min{|x|,|x+t|}的圖象關(guān)于直線x=-對稱,則t的值為( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
5.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上是減函數(shù),且最小值為3,那么f(x)在區(qū)間[-5,-1]上是( )
A.增函數(shù)且最小值為3 B.增函數(shù)且最大值為3
C.減函數(shù)且最小值為-3 D.減函數(shù)且最大值為-3
6.若f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)=x-1,則f(x-1)<0的解集是( )
A.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,2)
C.(1,2) D.(0,2)
題 號
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空題
7.若函數(shù)f(x)=-為區(qū)間[-1,1]上的奇函數(shù),則它在這一區(qū)間上的最大值為________.
8.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)=2x-3,則f(-2)+f(0)=________.
9.函數(shù)f(x)=x2+2x+a,若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
三、解答題
10.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),f(1)=0.
(1)求證:函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù);
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)<0.
11.已知f(x)=,x∈(0,+∞).
(1)若b≥1,求證:函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
(2)是否存在實數(shù)a,b.使f(x)同時滿足下列二個條件:
①在(0,1)上是減函數(shù),(1,+∞)上是增函數(shù);
②f(x)的最小值是3.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
能力提升
12.設(shè)函數(shù)f(x)=1-,x∈[0,+∞).
(1)用單調(diào)性的定義證明f(x)在定義域上是增函數(shù);
(2)設(shè)g(x)=f(1+x)-f(x),判斷g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性(不用證明),并由此說明f(x)的增長是越來越快還是越來越慢?
13.如圖,有一塊半徑為2的半圓形紙片,計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是⊙O的直徑,上底CD的端點在圓周上,設(shè)CD=2x,梯形ABCD的周長為y.
(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求y的最大值,并指出相應(yīng)的x值.
1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法
(1)定義法.
(2)直接法:運用已知的結(jié)論,直接判斷函數(shù)的單調(diào)性,如一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù);還可以根據(jù)f(x),g(x)的單調(diào)性判斷-f(x),,f(x)+g(x)的單調(diào)性等.
(3)圖象法:根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.
2.函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的差異.
函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的定義域來說的,這一點與研究函數(shù)的單調(diào)性不同,從這個意義上說,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì),而奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì),只是對函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值x,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],才能說f(x)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)).
習(xí)題課
雙基演練
1.C [由已知條件:>1,
不等式等價于,
解得-10,
知f(a)-f(b)與a-b同號,
由增函數(shù)的定義知選C.]
3.C [∵a+b>0,∴a>-b,b>-a.
由函數(shù)的單調(diào)性可知,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a).
兩式相加得C正確.]
4.C [由圖象可知,當(dāng)x=0時,f(x)取得最大值;
當(dāng)x=-時,f(x)取得最小值.故選C.]
5. 0
解析 偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱,
∴a-1+2a=0.∴a=.
∴f(x)=x2+bx+1+b.
又∵f(x)是偶函數(shù),∴b=0.
6.(-∞,-1)
解析 若a≥0,則a-1>a,解得a<-2,∴a∈?;
若a<0,則>a,解得a<-1或a>1,∴a<-1.
綜上,a∈(-∞,-1).
作業(yè)設(shè)計
1.B [由已知得f(x1)=f(-x1),且-x1<0,x2<0,而函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),因此由f(x1)0.故選B.]
2.C [判斷①,一個函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,是這個函數(shù)具有奇偶性的前提條件,但并非充分條件,故①錯誤.
判斷②正確,由函數(shù)是奇函數(shù),知f(-x)=-f(x),特別地當(dāng)x=0時,f(0)=0,所以f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0.
判斷③,如f(x)=x2,x∈[0,1],定義域不關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,即存在1∈[0,1],而-1?[0,1];又如f(x)=x2+x,x∈[-1,1],有f(x)≠f(-x).故③錯誤.
判斷④,由于f(x)=0,x∈[-a,a],根據(jù)確定一個函數(shù)的兩要素知,a取不同的實數(shù)時,得到不同的函數(shù).故④錯誤.
綜上可知,選C.]
3.A [f(x)=,f(-x)=-f(x),選A.]
4.D [當(dāng)t>0時f(x)的圖象如圖所示(實線)
對稱軸為x=-,則=,∴t=1.]
5.D [當(dāng)-5≤x≤-1時1≤-x≤5,
∴f(-x)≥3,即-f(x)≥3.
從而f(x)≤-3,
又奇函數(shù)在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同,
故f(x)在[-5,-1]是減函數(shù).故選D.]
6.D [依題意,因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x-1)<0化為f(|x-1|)<0,
又x∈[0,+∞)時,f(x)=x-1,所以|x-1|-1<0,
即|x-1|<1,解得0-3
解析 ∵f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,
∴[1,+∞)為f(x)的增區(qū)間,
要使f(x)在[1,+∞)上恒有f(x)>0,則f(1)>0,
即3+a>0,∴a>-3.
10.(1)證明 設(shè)x1-x2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
∴f(-x1)>f(-x2).
由f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),
∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)0,則f(x)0,x1-x2<0.
又b>1,且00,
∴f(x1)>f(x2),
所以函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù).
(2)解 設(shè)0x2≥0,f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)=.
由x1>x2≥0?x1-x2>0,(x1+1)(x2+1)>0,
得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在定義域上是增函數(shù).
(2)g(x)=f(x+1)-f(x)=,
g(x)在[0,+∞)上是減函數(shù),自變量每增加1,f(x)的增加值越來越小,所以f(x)的增長是越來越慢.
13.解 (1)作OH,DN分別垂直DC,AB交于H,N,
連結(jié)OD.由圓的性質(zhì),H是中點,設(shè)OH=h,
h==.
又在直角△AND中,AD=
===2,
所以y=f(x)=AB+2AD+DC=4+2x+4,其定義域是(0,2).
(2)令t=,則t∈(0,),且x=2-t2,
所以y=4+2(2-t2)+4t=-2(t-1)2+10,
當(dāng)t=1,即x=1時,y的最大值是10.
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