江蘇省2019屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第四章 四邊形與相似 第2講 矩形、菱形、正方形課件.ppt

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第四章四邊形與相似第2講矩形、菱形、正方形,考點(diǎn)梳理過關(guān),考點(diǎn)1矩形,考點(diǎn)2菱形,考點(diǎn)3正方形6年1考,典型例題運(yùn)用,類型1矩形的性質(zhì)與判定,【例1】如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，EF過O點(diǎn)且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)且∠AOG＝30，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()(1)DC＝3OG；(2)OG＝BC；(3)△OGE是等邊三角形；(4)S△AOE＝SABCD.,C,A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè),C∵EF⊥AC，點(diǎn)G是AE中點(diǎn)，∴OG＝AG＝GE＝AE.∵∠AOG＝30，∴∠OAG＝30，∠GOE＝90－∠AOG＝90－30＝60.∴△OGE是等邊三角形，故(3)正確；設(shè)AE＝2a，則OE＝OG＝a，由勾股定理，得AO＝.∵O為AC中點(diǎn)，∴AC＝2AO＝2.∴BC＝.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝3a.∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3a.∴DC＝3OG，故(1)正確；∵OG＝a，∴OG≠，故(2)錯(cuò)誤；∵S△AOE＝SABCD＝3a∴S△AOE＝,SABCD，故(4)正確．綜上所述，結(jié)論正確是(1)(3)(4)，共3個(gè)．,【例2】已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于O，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且BE＝BF，射線EO、FO分別交邊CD、AD于點(diǎn)G、H.(1)求證：四邊形EFGH為矩形；(2)若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．,【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AD∥BC.∴∠BAO＝∠DCO，∠AOE＝∠COG.∴△AOE≌△COG(ASA)．∴OE＝OG.同理，得OH＝OF.∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵BE＝BF，∠ABD＝∠CBD，OB＝OB，∴△EBO≌△FBO.∴OE＝OF.∴EG＝FH.∴四邊形EFGH是矩形．,(2)∵垂線段最短，∴當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE最?。逴A＝4，OB＝3，∠AOB＝90，∴AB＝5.∴OAOB＝ABOE.∴34＝5OE.∴OE＝.∵OE＝OG，∴EG＝答：EG的最小值是,技法點(diǎn)撥?矩形的判定思路：(1)若給出的圖形是一般的四邊形，思路一：證明有三個(gè)角是直角，思路二：先證明為平行四邊形，再證明有一個(gè)角是直角或證明其對(duì)角線相等；(2)若給出的四邊形是平行四邊形，則證明有一個(gè)角是直角或證明對(duì)角線相等．,類型2菱形的性質(zhì)與判定,【例3】如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，CD＝2DE，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使得DF＝CD，連接BF.(1)求證：四邊形BCDF是菱形；(2)若CD＝2，∠FBC＝120，求AC的長(zhǎng)．,【思路分析】(1)首先證明四邊形BCDF是平行四邊形，再由DF＝CD即可證明四邊形BCDF是菱形．(2)首先證明△BCD是等邊三角形，再證明∠ACB＝90，然后在Rt△ABC中利用勾股定理即可解決問題．,技法點(diǎn)撥?菱形除具有四條邊都相等、對(duì)角線互相垂直且平分等特有性質(zhì)外，它還具有平行四邊形的所有性質(zhì)．判定菱形的方法是多樣的，其基本思路是先判定這個(gè)四邊形為平行四邊形，然后通過有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直判定為菱形，或者直接利用四條邊相等進(jìn)行證明．,變式運(yùn)用?1.如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，BF＝8，若?ABCD的面積是36，求AD的長(zhǎng)．,解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠BEA.∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠DAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴AB＝BE.同理：AB＝AF，∴AF＝BE.∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形.,(2)如圖所示，過A作AH⊥BE.∵四邊形ABEF是菱形，∴AO＝EO，BO＝FO，BE＝AB＝5，AE⊥BF.∵BF＝8，∴BO＝4.∴AO＝∴AE＝6.∴S菱形ABEF＝AEBF＝68＝24.∴BEAH＝24.∴AH＝∵S?ABCD＝ADAH＝36，∴AD＝,類型3正方形的性質(zhì)與判定,【例4】以△ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個(gè)正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：(1)如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是矩形？(3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEG是正方形？,【思路分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的對(duì)應(yīng)邊DE＝AG.然后利用正方形對(duì)角線的性質(zhì)、周角的定義推知∠EDA＋∠DAG＝180，易證ED∥GA；最后由“一組對(duì)邊平行且相等”的判定定理證得結(jié)論；(2)根據(jù)“矩形的內(nèi)角都是直角”易證∠DAG＝90.然后由周角的定義求得∠BAC＝135；(3)由“正方形的內(nèi)角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG＝90，且AG＝AD.由正方形ABDI和正方形ACHG的性質(zhì)，得AC＝AB.,技法點(diǎn)撥?解答這類綜合題，需要綜合運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題時(shí)，注意利用隱含在題干中的已知條件：周角是360是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的關(guān)鍵．,變式運(yùn)用?2.[2017柳州模擬]如圖，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，連接CF.(1)求證：∠HEA＝∠CGF；(2)當(dāng)AH＝DG時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形．,證明：(1)如圖所示，連接GE.∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE.∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE.∴∠HEA＝∠CGF.(2)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90.∵四邊形EFGH是菱形，∴HG＝HE.在Rt△HAE和Rt△GDH中，∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL)．∴∠AHE＝∠DGH.又∵∠DHG＋∠DGH＝90，∴∠DHG＋∠AHE＝90.∴∠GHE＝90.∴菱形EFGH為正方形．,,AH＝DG，HE＝GH，,六年真題全練,命題點(diǎn)1矩形、菱形、正方形,1．[2017泰安，14，3分]如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB＝12，BM＝5，則DE的長(zhǎng)為(),B,2．[2015泰安，20，3分]如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，若AB＝6，BC＝4則FD的長(zhǎng)為(),B,A．2B．4C.D.,B連接EF，由題意知Rt△BAE≌Rt△BGE，且AE＝DE，那么GE＝AE＝DE.在Rt△EGF與Rt△EDF中，GE＝DE，且兩直角三角形有公共斜邊EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF.設(shè)GF＝DF＝x，∵AB＝6，BC＝，∴BG＝6，BF＝6＋x，F(xiàn)C＝6－x.在Rt△BCF中，BF2＝CF2＋BC2，即解得x＝4.,3．[2016泰安，23，3分]如圖，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則△BOF的面積為__,4．[2014泰安，28，11分]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，AC與BD交于點(diǎn)E，∠ADB＝∠ACB.,(1)求證：(2)若AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F(xiàn)是BC中點(diǎn)．求證：四邊形ABFD是菱形．,5．[2013泰安，28，11分]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于F，連接DF.(1)證明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，使∠EFD＝∠BCD，并說明理由．,解：(1)證明：∵在△ABC和△ADC中，,,AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，,∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC.∵在△ABF和△ADF中，,,AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，,∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.,(2)證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.∴四邊形ABCD是菱形．(3)當(dāng)EB⊥CD時(shí)，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，,,BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF,∴△BCF≌△DCF(SAS)．∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90.∴∠EFD＝∠BCD.,6．[2012泰安，28，11分]鏈接第20講六年真題全練第6題．得分要領(lǐng)?解答特殊四邊形問題時(shí)，可以參考以下幾個(gè)方面的技巧：(1)解答矩形問題時(shí)，往往把矩形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，借助直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)解決，由于還需要借助代數(shù)知識(shí)解決問題．如根據(jù)矩形的邊、角關(guān)系設(shè)未知數(shù)構(gòu)造方程解決問題．(2)解決菱形問題時(shí)，主要依據(jù)菱形的性質(zhì)和判別方法．由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以解決菱形問題往往需要轉(zhuǎn)化為直角三角形并借助勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或轉(zhuǎn)化為等腰三角形借助于等腰三角形的有關(guān)知識(shí)解決．解決問題的方法是熟練掌握菱形的性質(zhì)和判別方法，根據(jù)題目的條件靈活地選擇方法，展開豐富的聯(lián)想，大膽地去猜想，深入地去探索，然后給出合理的說明．(3)解答正方形問題時(shí)，由于正方形既是矩形又是菱形，所以多結(jié)合矩形和菱形的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)正方形是數(shù)學(xué)變換的?？紗栴}，多注意其中的“變”與“不變”，挖掘出其中的隱含知識(shí)，最終達(dá)到解決問題的目的．,