2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第31講 推理與證明問題經(jīng)典回顧 理.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第31講 推理與證明問題經(jīng)典回顧 理 題一： 若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列也是等差數(shù)列；類比上述性質(zhì)，相應地：若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有數(shù)列 題二： 在等差數(shù)列中，若，則有等式 成立，類比上述性質(zhì)，相應地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立. 題三： 在一個有限實數(shù)列中，任意接連７項之和為負，任意接連11項之和為正，求證：這樣的數(shù)列的項數(shù)不超過16. 題四： 用反證法證明：1，，2不可能是一個等差數(shù)列中的三項 題五： 找出三角形和空間四面體的相似性質(zhì)，并用三角形的下列性質(zhì)類比出四面體的有關性質(zhì)（1）三角形的兩邊之和大于第三邊. （2）三角形的中位線等于第三邊的一半，并且平行于第三邊. （3）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，且這個點是三角形內(nèi)切圓的圓心. （4）三角形的面積為S=（a+b+c）r（r為內(nèi)切圓半徑）. 題六： 如圖,平面中三角形有,類比平面研究三棱錐的元素關系，可以得出的正確結論是 題七： 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第次全行的數(shù)都為1的是第 行． 第1行　　　　　 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 題八： ⑴下面三個圖是由若干盆花組成形如三角形的圖案，每條邊（包括頂點）有n(n>1)盆花，每個圖案花盆總數(shù)為S，按此規(guī)律推斷，S與n的關系式是＿＿＿＿＿＿. n=2 n=3 n=4 S=3 S=6 S=9 ⑵觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第個圖中有 個小正方形. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 題九： 已知：, 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出證明 題十： 觀察下列等式： ① cos2a=2-1; ② cos4a=8- 8+ 1; ③ cos6a=32- 48+ 18- 1; ④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; ⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1. 可以推測，m – n + p = . 題十一： 對任意實數(shù)x、y，定義運算＝ax＋by＋cxy，其中a、b、c為常數(shù)，等號右邊的運算是通常意義的加、乘運算．現(xiàn)已知1*2＝3，2*3＝4，且有一個非零實數(shù)m，使得對任意實數(shù)x，都有，則m＝　　　　?。? 題十二： 用表示不大于的最大整數(shù)．令集合，對任意和，定義，集合，并將集合中的元素按照從小到大的順序排列，記為數(shù)列． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值； 題十三： 設函數(shù)中，均為整數(shù)，且均為奇數(shù).求證：無整數(shù)根. 題十四： 已知，求證：中至少有一個不小于. 第31講 推理與證明問題經(jīng)典回顧 題一： 詳解：由已知“等差數(shù)列前n項的算術平均值是等差數(shù)列”可類比聯(lián)想“等比數(shù)列前n項的幾何平均值也應該是等比數(shù)列”不難得到 題二： 詳解： 等差數(shù)列用減法定義性質(zhì)用加法表述（若且則）； 等比數(shù)列用除法定義性質(zhì)用乘法表述（若且則）. 由此，猜測本題的答案為： 事實上，對等差數(shù)列，如果，則 . 所以有： ） （）.從而對等比數(shù)列，如果，則有等式：成立. 題三： 證明：假設數(shù)列的項數(shù)至少是17，則有x1+x2+…＋x7<0，x2+x3+…＋x8<0，…，x１１+x１２+…＋x17<0，將以上各式相加得：（x1+x2+…＋x11）+（x２+x３+…＋x１２）＋…＋（x７+x８+…＋x１7）<0，＊但這與條件任意接連11項之和為正，即x1+x2+…＋x１１>0，x2+x3+…＋x１２>0，…，x７+x８+…＋x１7>0，相矛盾，故項數(shù)不超過16. ＊處所說的各式相加后, x1一共有1個, x2一共有2個, x3一共有3個,…x7一共有7個, x8, x9, x10, x11分別一共有7個, x12一共有6個, x13一共有5個,…x17一共有1個. 題四： 證明：,假設1，，2是一個等差數(shù)列中的三項,設這一等差數(shù)列的公差為d，則，其中m，n為某兩個正整數(shù)，由上兩式中消去d，得到，因為為有理數(shù)，為無理數(shù)，所以，因此假設不成立，1，，2不能為同一等差數(shù)列中的三項。 題五： 見詳解 詳解:我們通過分析三角形和四面體的有關性質(zhì)，知道它們有下列的共同性質(zhì)： （1）三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形，四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡單的封閉圖形. （2）三角形可以看作平面上一條線段外一點及這條線段上的各點所形成的圖形；四面體可以看作三角形外一點與這個三角形上的各點的連線所圍成的圖形.通過類比推理，并根據(jù)三角形的性質(zhì)可以推測空間四面體有如下性質(zhì): 我們從上面的例子可以知道合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論，也常常能為我們提供解題思路和方向，但是類比推理的結論可能為真，也可能為假，它是由特殊到特殊的推理的推理，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越類似，類比得出的結論就越可靠，要確定它結論的真假，還需要我們?nèi)ミM一步證明. 題六： 詳解:其中,,分別為點A,點B,點C引出的對邊上的高線.通過類比證明這兩個結論. 可以得出的正確結論是: ,其中,,,分別為點A,點B,點C,點 D引出的對面的高線, 分別為點P引出的面BCD,ACD,ABD,ABC上的高線. （1）證明: 證明： （2）證明: 證明： 題七： 第行． 詳解: 要注意答案不是，即第５行的全行不是１，我們不妨把楊輝三角在草稿紙上寫出，看看到底第三個全行為１的是第幾行． 第次全行的數(shù)都為1的是第行． 題八： S=3n-3；. 詳解:⑴題目給出了“每條邊（包括頂點）有n(n>1)盆花”，而三角形有三條邊，因此，三條邊上的的花盆數(shù)量為3n，但每個頂點上的花盆用了兩次，必須減去.所以S=3n-3. ⑵設小正方形個數(shù)為，觀察圖形,當n=1時,, 當n=2時,, 當n=3時,, 當n=4時,, 當n=5時,,…可得 =. 題九： 詳解: 觀察可得兩個式子都是平方項的和，角度依次相差，等式的右邊都是常數(shù)，由此可類比得出一般性的等式：． 證明：左邊 所以 題十： 962 詳解:觀察發(fā)現(xiàn)，各式右邊每項系數(shù)和均為１．則，得．又觀察，每式展開的最高次冪系數(shù)規(guī)律得， ．每式展開的２次冪系數(shù)依次正負相間規(guī)律得，應為正值，現(xiàn)只考察２,８,１８,３２,這幾個數(shù)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每項與前項的差成等差數(shù)列６,１０,１４,．．．則．將，代入得，從而得． 題十一： m =4 詳解:由已知條件知 12=a+2b+2c=3 ① 23=2a+3b+6c=4 ② xm=ax+b m +cx m =(a+c m)x+b m =x ③ 由③得 a+c m =1 b m =0 因為m≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4 從而解得a=5，c= -1，將a=5，c= -1代入a+c m =1得m =4 題十二： ；． 詳解:（Ⅰ）由已知知 ．所以． （Ⅱ）因為數(shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排成而成，所以我們可設計如下表格 k m 1 2 3 4 5 ‥‥ 1 ‥‥ ‥‥ 2 ‥‥ 3 ‥‥ ‥‥ 4 ‥‥ ‥‥ 5 ‥‥ ‥‥ 從上表可知，每一行從左到右數(shù)字逐漸增大，每一列從上到下數(shù)字逐漸增大． 且‥‥ 所以 ． 題十三： 證明：假設有整數(shù)根，則 而均為奇數(shù)，即為奇數(shù)，為偶數(shù)，則同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)，為奇數(shù)，當為奇數(shù)時，為偶數(shù)；當為偶數(shù)時，也為偶數(shù)，即為奇數(shù)，與矛盾.無整數(shù)根. 題十四： 證明：設中沒有一個大于或等于， 即全部小于. 觀察：得： 所以2=≤<+2+=2 這是不可能的，矛盾表明原結論成立.