2019春九年級數(shù)學(xué)下冊 28 銳角三角函數(shù) 28.1 銳角三角函數(shù)（第1課時）學(xué)案 （新版）新人教版.doc

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第二十八章　銳角三角函數(shù) 28.1　銳角三角函數(shù) 銳角三角函數(shù)(第1課時) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解認識正弦概念; 2.在直角三角形中求出某個銳角的正弦值. 學(xué)習(xí)過程 一、自主探究　得到概念 1.為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上修建一座揚水站,對坡面的綠地進行噴灌.現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30,為使出水口的高度為35 m,那么需要準備多長的水管? 這個問題可以歸結(jié)為:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠A=30,BC=35 m,求AB的長. 思考: (1)如果使出水口的高度為50 m,那么需要準備多長的水管?如果使出水口的高度為a m,那么需要準備多長的水管? 答: (2)在一個直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么不管三角形的大小如何,這角的對邊與斜邊的比值都等于　　　　　. (3)直角三角形中,45角的對邊與斜邊的比值是　　　　. (4)在直角三角形中,當(dāng)銳角∠A的度數(shù)一定時,不管三角形的大小如何,∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值? 答: (5)推理與證明:觀察圖中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3,它們之間有什么關(guān)系?你能得到(4)中的結(jié)論嗎? 解: 2.結(jié)論:在Rt△ABC中,銳角A的對邊與斜邊的比是一個　　　　,也即是對于銳角A的每一個確定的值,其對邊與斜邊的　　　　是唯一確定的. 3.認識正弦 如圖,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別記為a,b,c,∠C=90,我們把銳角A的　　　　　　的比叫做∠A的正弦,記作sin A. sin A=∠A的對邊斜邊=ac. 4.追問:(1)∠B的正弦怎么表示? 答: (2)在Rt△ABC中,若a=1,c=3,則sin A=　　　　sin B=　　　　. 二、合作探究　完成例題 1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,求sin A和sin B的值. 【思路點撥】根據(jù)勾股定理,先求出AC的長,再運用正弦的定義計算即可. 解: 2.在△ABC中,∠C=90,AC=5,sin A=23,求AB的長. 【思路點撥】根據(jù)正弦的定義可以得到BC與AB的比值,因而可以設(shè)BC=2x,則AB=3x,根據(jù)勾股定理即可求得x的值,進而得到AB的長度. 解: 三、課堂小結(jié)　系統(tǒng)知識 1.什么是正弦? 答: 2.根據(jù)你對正弦概念的理解,完成下列填空: (1)正弦是一個　　　　,沒有單位. (2)正弦值只與　　　　的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān). (3)sin A是一個　　　符號,不能寫成sin A. (4)當(dāng)用　　　字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如sin∠ABC. (5)sin2A表示　　　　　,不能寫成sin A2. 四、當(dāng)堂訓(xùn)練　提升能力 1.把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正弦函數(shù)值(　　) A.不變　　　　　 B.縮小為原來的三分之一 C.擴大為原來的3倍 D.不能確定 2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=5,BC=3,則sin A的值是 (　　) A.43 B.34 C.35 D.45 3.如圖所示,已知P點的坐標(biāo)是(a,b),則sin α等于(　　) A.ab B.ba C.aa2+b2 D.ba2+b2 4.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2BC,則sin B的值為　　　　. 　第4題圖　　　　　　　　第5題圖 5.在Rt△ABC中,已知∠C=90,sin A=35且AB=15,則BC=　　　　. 6.如圖,在☉O中,過直徑AB延長線上的點C作☉O的一條切線,切點為D.若AC=7,AB=4,求sin C的值. 解: 評價作業(yè)(滿分100分) 1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90,AB=2,AC=1,則sin B的值為(　　) A.12　　　　　　　　B.22 C.32 D.2 2.(8分)三角形在正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長均為1)中的位置如圖所示,則sin α的值是(　　) A.34 B.43 C.35 D.45 3.(8分)在△ABC中,∠C=90,AB=15,sin A=13,則BC等于(　　) A.45 B.5 C.15 D.145 4.(8分)如圖所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,若AC=5,BC=2,則sin∠ACD的值為(　　) A.53 B.255 C.52 D.23 5.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90,AC=5,AB=8,則sin A=　　　　. 6.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90,BC=4,sin A=23,則AB=　　　　. 7.(12分)如圖所示,AB是☉O的直徑,點C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,則sin∠BAC=　　　　,sin∠ADC=　　　　,sin∠ABC=　　　　. 8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值. 9.(10分)如圖所示,菱形ABCD的周長為40 cm,DE⊥AB,垂足為E,sin A=35. (1)求BE的長; (2)求菱形ABCD的面積. 10.(20分)如圖所示,在△ABC中,∠C=90,AC=BC,BD為AC邊上的中線,求sin∠ABD的值. 參考答案 學(xué)習(xí)過程 一、1.自主探究　得到概念 思考: (1)答:100 m　2a m. (2)12. (3)22. (4)答:是一個固定值. (5)解:∵Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和Rt△AB3C3中,∠A是它們的公共角, ∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3, ∴B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB3. 2.固定值　比值. 3.對邊與斜邊 4.追問:(1)答:sin B=∠B的對邊斜邊=bc. (2)13　223. 二、合作探究　完成例題 1.解:如圖(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=AB2-BC2=132-52=12. 因此sin A=BCAB=513,sin B=ACAB=1213. 2.解:∵在直角△ABC中,sin A=BCAB=23, ∴設(shè)BC=2x,則AB=3x, 根據(jù)勾股定理可以得到:(3x)2-(2x)2=25, 即5x2=25, 解得:x=5, 則AB=3x=35. 三、課堂小結(jié)　系統(tǒng)知識 1.答:在Rt△ABC中,∠C=90,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sin A,即sin A=∠A的對邊斜邊=ac. 2.(1)比值　(2)角　(3)整體　(4)三個　(5)(sin A)2 四、當(dāng)堂訓(xùn)練　提升能力 1.A　2.C　3.D　4.32　5.9 6.解:連接OD, ∵CD是☉O的切線,∴∠ODC=90, ∵AC=7,AB=4,∴半徑OA=2, 則OC=AC-AO=7-2=5, ∴sin C=ODOC=25. 評價作業(yè) 1.A　2.C　3.B　4.A　5.398　6.6　7.35　45　45 8.解:由勾股定理可得AB=12+22=5(cm),所以sin A=BCAB=25=255,sin B=ACAB=15=55. 9.解:(1)∵菱形ABCD的周長為40 cm, ∴AD=AB=10 cm. 又∵DE⊥AB,sinA=35, ∴DEAD=35,即DE10=35, 解得DE=6, 在直角△ADE中,由勾股定理得到:AE=AD2-DE2=102-62=8, 則BE=AB-AE=10-8=2,即BE=2 cm. (2)由(1)知DE=6,則菱形ABCD的面積=ABDE=106=60(cm2). 10.解:如圖所示,作DE⊥AB于E.設(shè)BC=AC=2x,∵BD為AC邊上的中線,∴CD=AD=12AC=x.在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=5x.∵∠C=90,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45,∴AE=DE=22x,在Rt△BDE中,sin∠ABD=DEBD=22x5x=1010.