九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 幾何基本圖形：一線三等角試題 （新版）青島版.doc

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幾何基本圖形：一線三等角 1. 基本模型 注意：利用同角的余角相等證明△ACD∽△BEC 2. 模型擴(kuò)展 （1）銳角 相似依據(jù)：運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和尋找相等的角度，得出兩個(gè)三角形相似并加以運(yùn)用。 （2）鈍角 注意： （1）相似三角形中對(duì)應(yīng)邊要找準(zhǔn)。 （2）熟練記憶“一線三等角”的基本模型，根據(jù)三角形相似可得：； （3）此模型中共有三組相似三角形，一般考查△BED∽△CDF。 例題 （歷城區(qū)三模）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)。 （1）若BE=2，求CM的長(zhǎng)； （2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由； （3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積。 解析：（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠B=∠C，又由△ABC△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得△ABE∽△ECM，就有，即可以得出答案；（2）分別從AE=AM，AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3）首先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積。 答案：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B， 又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE， ∴△ABE∽△ECM； ∴， ∴， ∴； （2）能。 當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5， ∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1， 當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，即∠CAB=∠CEA， ∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴=， ∴； 當(dāng)AE=AM時(shí)，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即BE=0。 ∴BE=1或或0。 （3）設(shè)BE=x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴，即：， ∴， ∴， ∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為， 又∵當(dāng)時(shí)， ∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)， ∴AE⊥BC， ∴，此時(shí)，EF⊥AC， ∴，。 點(diǎn)撥：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題。關(guān)鍵是利用“一線三等角”判斷出兩三角形相似。此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵。 【方法歸納】 1. 平面直角坐標(biāo)系中，常作點(diǎn)到坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)造“一線三直角”。把點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)度建立聯(lián)系，解決問題。 2. 矩形中的翻折問題發(fā)現(xiàn)“一線三等角”，常用方程的思想解決。 3. 動(dòng)態(tài)幾何中圖形的存在性問題應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，不重不漏。 例題 在平面直角坐標(biāo)系中，一張矩形紙片按圖所示放置。已知，，將這張紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上，記作點(diǎn)，折痕與邊（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，與邊（含端點(diǎn)）或其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。 請(qǐng)回答： （1）如圖，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）將矩形沿直線折疊，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 解析：（1）利用折疊的性質(zhì)，可得AE=OE=4，根據(jù)勾股定理就可以求出線段DA的長(zhǎng)；（2）如圖，根據(jù)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出△DEA∽△GAF所以，由FG=CB=6解得DA=3，從而求得A點(diǎn)的坐標(biāo)。 答案：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （2）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥DC于G ∵EF的解析式為， ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，n）， ∴OE=n ∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2n，0）， ∴OF=2n ∵△AEF與△OEF全等， ∴OE=AE=n，AF=OF=2n ∵點(diǎn)A在DC上，且∠EAF=90 ∴∠1+∠3=90 又∵∠3+∠2=90 ∴∠1=∠2 在△DEA與△GAF中， ∴△DEA∽△GAF ∴ ∵FG=CB=6 ∴ ∴DA=3 ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6）。 點(diǎn)撥：這是一道有關(guān)折疊的問題，主要考查一次函數(shù)、四邊形、相似形等知識(shí)，在矩形折疊問題中要善于發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的模型，并利用該知識(shí)點(diǎn)解決問題。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. （濟(jì)南）已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰的兩條平行直線間的距離均為h，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，AB=4，BC=6，則tanα的值等于（　　） A. B. C. D. *2.（溫州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形紙片ABCO的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），沿著直線折疊紙片，使點(diǎn)C落在OA邊上的點(diǎn)F處，折痕為DE，則b等于　　。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 *3. （蘇州模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)時(shí)，直角邊MP始終經(jīng)過點(diǎn)A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與邊CD相交于點(diǎn)Q。則CQ的最大值為（　?。? A.4 B. C. D. **4. （道里區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB=5，BC=11，，點(diǎn)D在BC上，∠ADE=90，∠DAE=∠ACB，ED=EC，AE的長(zhǎng)為（ ） A. 　 B.6 　 C. 　 D.8 二、填空題 *5. （潤州區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且OA⊥OB，∠A=30，則k的值是　 　。 *6. （海南）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為 。 **7. 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45。直角三角板含45角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F。若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)等于　 　。 **8.（本溪一模）如圖所示，正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，并保證其一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q，若，則　?。蝗簦瑒t　　。 三、解答題 **9.（鹽城）情境觀察： 將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示。將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示。 觀察圖2可知：與BC相等的線段是　 　，∠CAC′=　 　 問題探究： 如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q。試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 拓展延伸： 如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H。若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 **10.（相城區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn)。把線段AM進(jìn)行以A為旋轉(zhuǎn)中心、向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90的旋轉(zhuǎn)變換得到AB。過B作x軸的垂線、過點(diǎn)C作y軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交x軸于一點(diǎn)E。設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t， （1）若t=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　，若t=﹣3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 ?。? （2）若t＞0，△BCD的面積為S，則t為何值時(shí)，△BCD的面積為6？ （3）是否存在t，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 **11. （咸寧）閱讀理解： 如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)。解決問題： （1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=55，試判斷點(diǎn)E是不是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由； （2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E； 拓展探究： （3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處。若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系。 **12. （揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處。 （1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA。 ①求證：△OCP∽△PDA； ②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)； （2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)； （3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP。動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E。試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度。  1. C 解析：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥l4于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EC交l1于點(diǎn)F 在矩形ABCD中，∠BCD=90， ∵∠α+∠BCE=90，∠BCE+∠DCF=180﹣90=90， ∴， 又∵∠BEC=∠CFD=90， ∴△BEC∽△CFD， ∴，即， ∴。 在Rt△BCE中， ∵∠BEC=90， ∴。 2. B 解析：作EH⊥OA于H， 如圖，把x=0代入，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，b）， ∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），而四邊形ABCO為矩形， ∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8， 把y=8代入得，解得， ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴OD=b，，，EH=8， ∵矩形紙片ABCO沿著直線折疊，使點(diǎn)C落在OA邊上的點(diǎn)F處，折痕為DE， ∴，，∠DFE=∠DCE=90， ∴∠DFO+∠EFH=90，而∠DFO+∠ODF=90， ∴∠ODF=∠EFH， ∴， ∴，即， ∴OF=4，F(xiàn)H=2b， ∵， ∴， ∴b=3. 3. B 解析：設(shè)BP=x，CQ=y， ∵,, ∴ 又∵，則； ∴，即 整理得： ∴CQ的最大值為：。 4. A 解析：作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足分別為M，N。 又∵AB=5，BC=11，， ∴AM=4，BM=3， ∴CM=11﹣3=8， ∵∠DAE=∠ACB， ∴， 又∵∠ADE=90， ∴△AMD∽△DNE，， 又∵ED=EC，EN⊥BC， ∴MD=DC=4， 由勾股定理得：， ∴， 5. 解析：過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D， ∵OA⊥OB， ∴∠1+∠2=90， ∵∠1+∠OAD=90， ∴∠2=∠OAD， 又∵∠BCO=∠ADO=90， ∴△OBC∽△AOD， ∴， ∵∠A=30，∠BOA=90， ∴， 設(shè)， ∴， ∴， ∵ ， ∴。 6. 解析：分別過點(diǎn)A、B、D作， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC， ∵∠EBC+∠BCE=90，∠BCE+∠ACF=90，∠ACF+∠CAF=90， ∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF， 在△BCE與△ACF中， ， ∴△BCE≌△ACF（ASA） ∴CF=BE，CE=AF， ∵與的距離為1，與的距離為3， ∴CF=BE=3，CE=AF=3+1=4， 在Rt△ACF中， ∵AF=4，CF=3， ∴， ∵， ∴△CDG∽△CAF， ∴，，解得， 在Rt△BCD中，∵，BC=5， ∴。 7. 解析：作AM⊥BC，DN⊥BC，根據(jù)已知條件可得，= 在直角三角形ABM中，∠B=45，則AB=， ①當(dāng) 時(shí)，如圖2， ， ∴， 則在中，，故。 易得△FE′C為等腰直角三角形，故。 ②當(dāng)時(shí)，如圖3 ∵AB=3，∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵ 為等腰三角形， ∴； ③當(dāng)時(shí)，如圖4 和是等腰Rt△， ∴， ∴ ∴。 8. 解析：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90，BC=AB。設(shè)AP=k。 （1）∵， ∴BC=AB=2k，BP=k。 在△AQP與△BPC中， ， ∴△AQP∽△BPC， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴。 在△AQP與△BPC中， ， ∴△AQP∽△BPC， ∴， ∴， ∴。 9. 解：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)，即BC=AD，， ∴；故答案為：AD，90。 ②FQ=EP，理由如下： ∵∠FAQ+∠CAG=90，∠FAQ+∠AFQ=90， ∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ， 又∵AF=AC，∴△AFQ≌△CAG， ∴FQ=AG，同理EP=AG， ∴FQ=EP。 ③HE=HF。 理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q。 ∵四邊形ABME是矩形， ∴∠BAE=90， ∴∠BAG+∠EAP=90， 又AG⊥BC， ∴∠BAG+∠ABG=90， ∴∠ABG=∠EAP。 ∵∠AGB=∠EPA=90， ∴△ABG∽△EAP， ∴AG：EP=AB：EA。 同理△ACG∽△FAQ， ∴AG：FQ=AC：FA。 ∵AB=k?AE，AC=k?AF， ∴AB：EA=AC：FA=k， ∴AG：EP=AG：FQ。 ∴EP=FQ。 又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH， ∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）。 ∴HE=HF。 10.（1）∵C的坐標(biāo)為（0，4），t=3或﹣3， ∴由勾股定理得：AC=5， ∵△AOC∽△BEA且相似比為，AO=3，OC=4 ∴AE=2，BE=1.5 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為或； （2）①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖（1）△AOC∽△BEA且相似比為， 求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為， ∴，解得t=2或4， ②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖（2） ，解得t=10或t=﹣4（舍去） ∴t=2，t=4，t=10 （3）①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖（1） 若△AOC∽△CDB ∴即： ∴t無解 若△AOC∽△BDC，同理，解得或（不合題意舍去）， ②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖（2） 若△AOC∽△CDB， ∴即：， 解得，取t=4+8， 若△AOC∽△BDC，同理，t無解， ③當(dāng)﹣2＜t＜0時(shí)，如圖（3）， 若△AOC∽△CDB， ∴即： 解得（不合題意舍去）或， 若△AOC∽△BDC，同理，t無解 ④當(dāng)t＜﹣2時(shí)，如圖（4） 若△AOC∽△CDB， ∴即：，則t無解， 若△AOC∽△BDC，同理，解得（不合題意舍去）或（不合題意舍去）； 則，，。 11. 解：（1）點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。 理由：∵∠A=55， ∴∠ADE+∠DEA=125。 ∵∠DEC=55， ∴∠BEC+∠DEA=125。 ∴∠ADE=∠BEC。 ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC。 ∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)。 （2）作圖如下： （3）∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。 由折疊可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴， ∴。 在Rt△BCE中，， ∴， ∴ 12. 解：（1）如圖1， ①∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90。 由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B。 ∴∠APO=90。 ∴∠APD=90﹣∠CPO=∠POC。 ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC。 ∴△OCP∽△PDA。 ②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4， ∴。 ∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP。 ∵AD=8，∴CP=4，BC=8。 設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8﹣x。在Rt△PCO中， ∵∠C=90，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， ∴。解得：x=5。 ∴AB=AP=2OP=10。 ∴邊AB的長(zhǎng)為10。 （2）如圖1， ∵P是CD邊的中點(diǎn)， ∴。 ∵DC=AB，AB=AP， ∴。 ∵∠D=90， ∴。 ∴∠DAP=30。 ∵∠DAB=90，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30， ∴∠OAB=30。 ∴∠OAB的度數(shù)為30。 （3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2。 ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP。 ∴∠APB=∠MQP。 ∴MP=MQ。 ∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ， ∴。 ∵BN=PM，MP=MQ， ∴BN=QM。 ∵M(jìn)Q∥AN， ∴∠QMF=∠BNF。 在△MFQ和△NFB中， ∴△MFQ≌△NFB。 ∴QF=BF。 ∴。 ∴。 由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90。 ∴。 ∴。 ∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為。