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課時(shí)訓(xùn)練(十二) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(限時(shí):60分鐘)
|夯實(shí)基礎(chǔ)|
1.拋物線y=x2-2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .
2.二次函數(shù)y=x2+1的最小值是 .
3.已知函數(shù)y=x2+2x+1,當(dāng)y=0時(shí),x= ;當(dāng)1
0;②方程ax2+bx+c=0的兩根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小.
圖K12-1
6.對(duì)于二次函數(shù)y=-2(x-1)2+1的圖象,下列說法錯(cuò)誤的是 ( )
A.開口向下
B.對(duì)稱軸是直線x=1
C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,1)
D.當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而減小
7.拋物線y=-3x2-x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
8.下列函數(shù)的圖象在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大的是 ( )
A.y=-x+1 B.y=x2-1
C.y=1x D.y=-1x
9.[xx陜西] 對(duì)于拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當(dāng)x=1時(shí),y>0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+bx與y=bx+a的圖象可能是 ( )
圖K12-2
11.[xx瀘州] 已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自變量),當(dāng)x≥2時(shí),y隨x的增大而增大,且-2≤x≤1時(shí),y的最大值為9,則a的值為 ( )
A.1或-2 B.-2或2
C.2 D.1
12. [xx岳陽] 在同一直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2與反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象如圖K12-3所示,若兩個(gè)函數(shù)圖象上有三個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m為常數(shù),令ω=x1+x2+x3,則ω的值為 ( )
圖K12-3
A.1 B.m C.m2 D.1m
13.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)和點(diǎn)B(6,0).
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直接寫出它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)均在此拋物線上,若x1>x2>4,則y1 y2(填“>”“=”或“<”);
(4)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,求S△BCD的值.
14.如圖K12-4,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0)和B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)C,D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B,D.
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.
圖K12-4
15.如圖K12-5,在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)y=ax2+83x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B(0,4),與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)D.
(1)求該二次函數(shù)的解析式.
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△BOP的面積等于52?如果存在,那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?如果不存在,請(qǐng)說明理由.
圖K12-5
|拓展提升|
16.如圖K12-6,直線y=kx+b(k≠0)與拋物線y=ax2(a≠0)交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是3,則以下結(jié)論:
圖K12-6
①拋物線y=ax2(a≠0)的頂點(diǎn)一定是原點(diǎn);
②x>0時(shí),函數(shù)y=kx+b(k≠0)與函數(shù)y=ax2(a≠0)的函數(shù)值都隨著x的增大而增大;
③AB的長(zhǎng)度可以等于5;
④△OAB有可能成為等邊三角形;
⑤當(dāng)-30.
∵x=-b2a>0,∴b>0,∴abc<0,則①錯(cuò)誤;
由二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,對(duì)稱軸為直線x=1,
可知另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為21-3=-1,
∴方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-1,x2=3,∴②正確;
∵對(duì)稱軸為直線x=-b2a=1,則2a+b=0,∴③正確;
∵二次函數(shù)圖象的開口向下,對(duì)稱軸為直線x=1,
∴當(dāng)01時(shí),y隨x的增大而減小,∴④錯(cuò)誤.
故正確的有②③.
6.C
7.A [解析] 拋物線的解析式為y=-3x2-x+4,
令x=0,得y=4,∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,4);令y=0,得-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,解得x1=-43,x2=1,∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為-43,0,(1,0).綜上,拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選A.
8.D
9.C [解析] ∵拋物線y=ax2+(2a-1)x+a-3,當(dāng)x=1時(shí),y>0,∴a+2a-1+a-3>0,解得:a>1.
∵-b2a=-2a-12a,4ac-b24a=4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a,
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2a-12a,-8a-14a.
∵a>-1,∴-2a-12a<0,-8a-14a<0.∴該拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限.
10.C
11.D [解析] 原函數(shù)可化為y=a(x+1)2+3a2-a+3,對(duì)稱軸為直線x=-1,當(dāng)x≥2時(shí),y隨x的增大而增大,所以a>0,拋物線開口向上,因?yàn)?2≤x≤1時(shí),y的最大值為9,結(jié)合對(duì)稱軸及增減性可得,當(dāng)x=1時(shí),y=9,代入表達(dá)式可得,a1=1,a2=-2,又因?yàn)閍>0,所以a=1.
12.D [解析] 根據(jù)題意可得A,B,C三點(diǎn)有兩個(gè)在二次函數(shù)圖象上,一個(gè)在反比例函數(shù)圖象上,
不妨設(shè)A,B兩點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上,點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上,
∵二次函數(shù)y=x2圖象的對(duì)稱軸是y軸,∴x1+x2=0.
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=1x(x>0)上,∴x3=1m,
∴ω=x1+x2+x3=1m.故選D.
13.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)和點(diǎn)B(6,0),∴4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3,
∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-12x2+3x.
(2)∵y=-12x2+3x=-12(x-3)2+92,∴該拋物線開口向下,頂點(diǎn)坐標(biāo)為3,92.
(3)∵x1>x2>4,對(duì)稱軸為直線x=3,a=-12<0,
∴y11.
15.解:(1)把A(-1,0)和B(0,4)代入二次函數(shù)y=ax2+83x+c中,得
0=a(-1)2+83(-1)+c,4=c,解得a=-43,c=4.
∴該二次函數(shù)的解析式為y=-43x2+83x+4.
(2)存在這樣的點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|x|.∵S△BOP=12BO|x|,∴52=124|x|.解得|x|=54,∴x=54.把x=54代入y=-43x2+83x+4中,得y=-43542+8354+4=214.把x=-54代入y=-43x2+83x+4中,得y=-43-542+83-54+4=-1712.
∴這樣的點(diǎn)P有兩個(gè),坐標(biāo)分別為54,214,-54,-1712.
16.B [解析] ①拋物線y=ax2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),故正確;
②根據(jù)圖象得:函數(shù)y=kx+b(k≠0)為增函數(shù);函數(shù)y=ax2(a≠0)當(dāng)x>0時(shí)為增函數(shù),則x>0時(shí),y都隨著x的增大而增大,故正確;
③由A,B橫坐標(biāo)分別為-2,3,知若AB=5,則直線AB與x軸平行,即k=0,與已知k≠0矛盾,故AB不可能為5,故錯(cuò)誤;
④若OA=OB,得到直線AB與x軸平行,即k=0,與已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不可能為等邊三角形,故錯(cuò)誤;
⑤直線y=-kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對(duì)稱,如圖所示,
可得出直線y=-kx+b與拋物線交點(diǎn)C,D橫坐標(biāo)分別為-3,2,由圖象可得:當(dāng)-3
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