2019屆高考數(shù)學一輪復習 第4單元 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入聽課學案 理.doc

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第四單元 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第24講　平面向量的概念及其線性運算 課前雙擊鞏固 1.向量的有關概念及表示 名稱 定義 表示 向量 在平面中,既有　　　又有　　　的量 用a,b,c,…或AB,BC,…表示 向量的模 向量a的　　　,也就是表示向量a的有向線段AB的　　　(或稱模) 　　　或　　　 零向量 長度為　　　的向量 用　　　表示 單位向量 長度等于　　　個單位的向量 用e表示,|e|= 　　 平行向量 方向　　　或相反的非零向量(或稱共線向量) a∥b 相等向量 　　　相等且方向　　　的向量 a=b 相反向量 　　　相等,方向　　　的向量 向量a的相反向量是　　 說明:零向量的方向是　　　　　、　　　　. 規(guī)定:零向量與任一向量　　　. 2.向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量　　　的運算 　　　　法則 　　　　　　法則 (1)加法交換律:a+b=　　　　; (2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=　　　 　 減法 減去一個向量相當于加上這個向量的　 　　　 　　　　法則 a-b= 　　　　　 數(shù)乘 實數(shù)λ與向量a的積是一個　　　　,這種運算叫作向量的　　　, 記作　　 (1)|λa|=　　　　. (2)當λ>0時,λa與a的方向　　　　;當λ<0時,λa與a的方向　　　　;當λ=0時,λa=　　　　 (1)對向量加法的分配律: λ(a+b)=　　　; (2)對實數(shù)加法的分配律: (λ1+λ2)a=　　　 3.向量的共線定理 向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一的實數(shù)λ,使　　　　. 常用結(jié)論 1.一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An=A1An.特別地,一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量. 2.若P為線段AB的中點,O為平面內(nèi)任意一點,則OP=12(OA+OB). 3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點,則PA+PB+PC=0?P為△ABC的重心. 4.在△ABC中,AD,BE,CF分別為三角形三邊上的中線,它們交于點G(如圖4-24-1所示),易知G為△ABC的重心,則有如下結(jié)論: (1)GA+GB+GC=0; (2)AG=13(AB+AC); (3)GD=12(GB+GC),GD=16(AB+AC). 圖4-24-1 5.若OA=λOB+μOC(λ,μ為常數(shù)),則A,B,C三點共線的充要條件是λ+μ=1. 題組一　常識題 1.[教材改編] AC-BD+CD-AB+DE+EF+FA=　　　　. 2.[教材改編] 如圖4-24-2,D,E,F分別是△ABC各邊的中點,給出下列結(jié)論:(1)EF=CD;(2)AB與DE共線;(3)BD與CD是相反向量;(4)AE=12|AC|.其中錯誤結(jié)論的序號是　　　　. 圖4-24-2 3.[教材改編] M是△ABC的邊BC的中點,AB=a,AC=b,則AM=　　　　. 4.[教材改編] 向量e1與e2不共線,若a=e1-e2與b=-2e1+λe2共線,則λ=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:向量概念不清致誤;向量相等的隱含條件挖掘不全致誤. 5.給出下列結(jié)論:①AB+BA=2AB;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,則向量a+b的方向與向量a的方向相同;③設a0為單位向量,則平面內(nèi)向量a=|a|a0.其中正確結(jié)論的序號是　　　　. 6.若四邊形ABCD滿足AD=12BC且|AB|=|DC|,則四邊形ABCD的形狀是　　　　. 7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,則|a-b|的取值范圍為　　　　. 課堂考點探究 探究點一　平面向量的基本概念 1 (1)設a,b都是非零向量,下列條件中一定能使a|a|+b|b|=0成立的是 (　　) A.a=2b B.a∥b C.a=--13b 　D.a⊥b (2)給出下列說法: ①若|a|=|b|,則a=b; ②若a∥b,b∥c,則a∥c; ③a與b是非零向量,若a與b同向,則a與-b反向; ④若AB與BC共線,則A,B,C三點在同一條直線上. 其中錯誤說法的序號是　　　　. [總結(jié)反思] 對于平面向量的有關概念應注意以下幾點: (1)平行向量就是共線向量,二者是等價的,它們均與起點無關;非零向量的平行具有傳遞性;相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量;相等向量具有傳遞性. (2)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負數(shù),可以比較大小. (3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,解題時,不要把它與函數(shù)圖像的移動混為一談. (4)非零向量a與a|a|的關系:a|a|是與a同方向的單位向量. 式題 (1)如圖4-24-3,等腰梯形ABCD中,對角線AC與BD交于點P,點E,F分別在AD,BC上,EF過點P,且EF∥AB,則下列等式中成立的是 (　　) A.AD=BC B.AC=BD C.PE=PF D.EP=PF 圖4-24-3 (2)給出下列說法:①若A,B,C,D是不共線的四個點,則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;②若a,b都是單位向量,則a=b;③向量AB與BA相等;④若a=b,b=c,則a=c.其中正確說法的序號是 (　　) A.①④ B.③④ C.②③ D.①② 探究點二　平面向量的線性運算 考向1　平面向量加減法的幾何意義 2 (1)[2017南昌重點學校模擬] 已知O為△ABC內(nèi)一點,滿足4AO=AB+2AC,則△AOB與△AOC的面積之比為 (　　) A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶1 (2)已知△ABC,若|AB+AC|=|AB-AC|,則△ABC的形狀為　　　　. [總結(jié)反思] 利用向量加減法的幾何意義解決問題通常有兩種方法: (1)根據(jù)兩個向量的和與差,構(gòu)造相應的平行四邊形,再結(jié)合其他知識求解相關問題; (2)平面幾何中如果出現(xiàn)平行四邊形或可能構(gòu)造出平行四邊形的問題,可考慮利用向量知識來求解. 考向2　平面向量的線性運算 3 (1)[2017西寧一模] 如圖4-24-4所示, 圖4-24-4 在△ABC中,點D在BC邊上,且CD=2DB,點E在AD上,且AD=3AE,則CE= (　　) A.29AB+89AC B.29AB-89AC C.29AB+79AC D.29AB-79AC (2)[2017長春二模] 在△ABC中,D為△ABC所在平面內(nèi)一點,且AD=13AB+12AC,則S△BCDS△ABD=(　　) A.16 B.13 C.12 D.23 [總結(jié)反思] 向量線性運算的解題策略: (1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則,一般共起點的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則,求首尾相連的向量的和用三角形法則. (2)找出圖形中的相等向量、共線向量,將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解. (3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧:①觀察各向量的位置;②尋找相應的三角形或多邊形;③運用法則找關系;④化簡結(jié)果. 考向3　利用向量的線性運算求參數(shù) 4 [2017運城三模] 在△ABC中,AN=13NC,P是直線BN上一點,且AP=mAB+34AC,則實數(shù)m的值為 (　　) A.-2 B.-4 C.1 D.4 [總結(jié)反思] 與向量的線性運算有關的參數(shù)問題,一般是構(gòu)造三角形,利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算,然后通過建立方程組即可求得相關參數(shù)的值. 強化演練 1.【考向1】設D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點,則EB+FC= (　　) A.AD B.BC C.12AD D.12BC 2.【考向1】[2017長沙長郡中學三模] 已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點,D為BC邊的中點,且2OA+OB+OC=0,則 (　　) A.AO=OD B.AO=2OD C.AO=3OD D.2AO=OD 3.【考向2】在△ABC中,點D是BC的中點,點E是AC的中點,點F在線段AD上,且AF=2DF,設AB=a,BC=b,則EF= (　　) A.23a-16b B.23a-12b C.16a-13b D.16a-16b 4.【考向1】已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|a-b|=2,則|a+b|=　　　　. 5.【考向3】[2017山東濱州二模] 如圖4-24-5所示,在△ABC中,O為BC的中點,過點O的直線分別交AB,AC所在直線于點M,N.若AB=mAM,AC=nAN,則m+n=　　　　. 圖4-24-5 探究點三　共線向量定理及應用 考向1　向量共線的問題 5 已知e1,e2是兩個不共線的向量,若a=2e1-e2與b=e1+λe2共線,則λ= (　　) A.-12 B.-2 C.12 D.2 [總結(jié)反思] 兩個向量共線是指兩個向量的方向相同或相反,因此共線包含兩種情況:同向共線或反向共線.一般地,若a=λb(a≠0),則a與b共線: (1)當λ>0時,a與b同向; (2)當λ<0時,a與b反向. 考向2　三點共線的問題 6 (1)已知a,b是不共線的向量,AB=a+5b,BC=-3a+6b,CD=4a-b,則 (　　) A.A,B,D三點共線 B.A,B,C三點共線 C.B,C,D三點共線 D.A,C,D三點共線 (2)已知a,b是不共線的向量,AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,且A,B,C三點共線,則λ= (　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 [總結(jié)反思] (1)三點共線問題可轉(zhuǎn)化為向量共線問題來解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線.根據(jù)A,B,C三點共線求參數(shù)問題,只需將問題轉(zhuǎn)化為AC=λAB,再利用對應系數(shù)相等列出方程組,進而解出系數(shù). (2)三點共線的一個常用結(jié)論:A,B,C三點共線?存在實數(shù)λ,μ,對平面內(nèi)任意一點O(O不在直線BC上)滿足OA=λOB+μOC(λ+μ=1). 強化演練 1.【考向1】已知e1,e2是不共線的向量,則下列各組向量中是共線向量的有 (　　) ①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-12e1+13e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.【考向1】[2017景德鎮(zhèn)模擬] 已知O,A,B三點不共線,P為該平面內(nèi)一點,且OP=OA+AB|AB|,則 (　　) A.點P在線段AB上 B.點P在線段AB的延長線上 C.點P在線段AB的反向延長線上 D.點P在射線AB上 3.【考向1】[2017哈爾濱三中四模] 設e1,e2是不共線的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a與b共線,則實數(shù)k= (　　) A.0 B.-1 C.-2 D.1 4.【考向2】已知O為△ABC內(nèi)一點,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三點共線,則t=(　　) A.14 B.13 C.12 D.23 第25講　平面向量基本定理及坐標表示 課前雙擊鞏固 1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個　　　　向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,　　　　一對實數(shù)λ1,λ2使　　　　.其中,不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組　　　. 2.平面向量的坐標運算 (1)平面向量的坐標運算 向量 a b a + b a-b λa 坐標 (x1,y1) (x2,y2) 　　　　 　　　　 　　　 (2)向量的坐標求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=　, |AB|=　　　　　　　　　. 3.平面向量共線的坐標表示 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b?a=λb(λ∈R)?　　　　　　. 常用結(jié)論 1.若a與b不共線,且λa+μb=0,則λ=μ=0. 2.已知P為線段AB的中點,若A(x1,y1),B(x2,y2),則P點坐標為x1+x22,y1+y22;已知△ABC的頂點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心G的坐標為x1+x2+x33,y1+y2+y33. 題組一　常識題 1.[教材改編] 已知向量PQ=(-5,2),點P(2,3),則點Q的坐標為　　　　. 2.[教材改編] 如圖4-25-1,已知向量e1,e2,a的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上,則向量a用基底e1,e2表示為　　　　. 圖4-25-1 3.[教材改編] 在平面直角坐標系中,A(-1,2),B(3,1),且AB=3AM,則向量AM=　　　　. 4.[教材改編] 已知向量e1,e2不共線,實數(shù)x,y滿足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,則x+y=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共線;由點的坐標求向量坐標時忽視起點與終點致誤;兩個向量共線的坐標表示公式掌握不牢. 5.給出下列三個向量:a=(-2,3),b=1,-32,c=(-1,1).在這三個向量中任意取兩個作為一組,能構(gòu)成基底的組數(shù)為　　　　. 6.已知A(-5,8),B(7,3),則與向量AB共線的單位向量為　　　　. 7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則m=　　　　. 課堂考點探究 探究點一　平面向量的基本定理 1 (1)已知向量a=(3,4),若存在實數(shù)x,y,使得a=xe1+ye2,則e1,e2可以是 (　　) A.e1=(0,0),e2=(-1,2) B.e1=(-1,3),e2=(-2,6) C.e1=(-1,2),e2=(3,-1) D.e1=-12,1,e2=(1,-2) (2)[2017珠海二模] 已知D為△ABC所在平面內(nèi)一點,且AD=3AB+4AC,若點E為直線BC上一點,且ED=λAE,則λ的值為 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 [總結(jié)反思] (1)應用平面向量基本定理表示向量,實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算. (2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決問題. 式題 在平行四邊形ABCD中,E,F分別是CD,BC的中點,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,則λ+μ= (　　) A.13 B.2 C.43 D.1 探究點二　平面向量的坐標運算 2 (1)[2017鷹潭一中期中] 已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則12a-32b= (　　) A.(-2,-1) B.(-1,2) C.(-1,0) D.(-2,1) (2)已知M(-2,7),N(10,-2),點P是線段MN上的點,且PN=-2PM,則點P的坐標為 (　　) A.(-14,16) B.(22,-11) C.(6,1) D.(2,4) [總結(jié)反思] (1)利用向量的坐標運算解題,首先利用加、減、數(shù)乘運算法則進行運算,然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則,轉(zhuǎn)化為方程(組)進行求解. (2)向量的坐標表示把點與數(shù)聯(lián)系起來,引入平面向量的坐標可以使向量運算代數(shù)化,成為數(shù)與形結(jié)合的載體,使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算. 式題 (1)[2018石家莊二中模擬] 已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零實數(shù)λ,使得a=λ(a+b),則t= (　　) A.6 B.-6 C.-32 D.23 (2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,則c= (　　) A.1,83 B.133,83 C.133,43 D.-133,-43 探究點三　平面向量共線的坐標表示 3 (1)設k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),則下列向量中與2a-b一定不共線的向量是(　　) A.c=(k,k) B.c=(-k,-k) C.c=(k2+1,k2+1) D.c=(k2-1,k2-1) (2)[2017日照二模] 已知點P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若PQ∥m,則實數(shù)λ等于(　　) A.113 B.-113 C.13 D.-13 [總結(jié)反思] (1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,則a∥b的充要條件是a=λb(λ∈R). (2)利用向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均為非零實數(shù)時,也可以利用坐標對應成比例來求解. 式題 (1)若A(-2,3),B(3,-2),C12,m三點共線,則m= (　　) A.12 B.-12 C.-2 D.2 (2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b與a-2b平行,則μ= (　　) A.-2 B.2 C.-12 D.12 第26講　平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 課前雙擊鞏固 1.平面向量的數(shù)量積 (1)概念 已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量　　　　叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=　　　　,并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為　　　　,即　　　　. (2)幾何意義 ①向量的投影:　　　　　　　叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. ②向量數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與　　　　　　　　　的乘積. (3)向量的夾角 已知兩個　　　　向量a和b,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤180)叫作向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90,我們說a與b垂直,記作　　　　. 2.平面向量數(shù)量積的運算律 已知向量a,b,c和實數(shù)λ. ①交換律:　　　　　　; ②數(shù)乘結(jié)合律:(λa)b=　　　　=　　　　(λ∈R); ③分配律:(a+b)c=　　　　. 3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 設a,b為兩個非零向量,e是與b同向的單位向量,θ是a與e的夾角. ①ea=ae=　　　　. ②a⊥b?　　　　. ③當a與b同向時,ab=　　　　;當a與b反向時,ab=　　　　. 特別地,aa=　　　　或|a|=　　　　. ④cos θ=　　　　. ⑤|ab|　　　　|a||b|. 4.平面向量數(shù)量積的有關結(jié)論 已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 向量表示 坐標表示 向量a的模 |a|=a2 |a|=　　　　 a,b的數(shù)量積 ab=|a||b|cos θ ab=　　　　 a與b垂直 a⊥b?ab=0 a⊥b?　　　　 a,b的夾角 cos θ=ab|a||b| cos θ=　　　　　 常用結(jié)論 1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式: (1)(a+b)(a-b)=a2-b2;(2)(ab)2=a22ab+b2. 2.有關向量夾角的兩個結(jié)論: (1)兩個向量a與b的夾角為銳角,則有ab>0,反之不成立(因為a與b夾角為0時不成立); (2)兩個向量a與b的夾角為鈍角,則有ab<0,反之不成立(因為a與b夾角為π時不成立). 題組一　常識題 1.[教材改編] 已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),則a(a-b)=　　　　. 2.[教材改編] 已知|a|=3,|b|=32,ab=34,則向量a與b的夾角為　　　　. 3.[教材改編] 已知a=1,b=2,且向量a與b的夾角為120,則|2a-b|=　　　　. 4.[教材改編] 已知兩個單位向量e1,e2的夾角為45,且滿足e1⊥(λe2-e1),則λ=　　　　. 5.[教材改編] 在長江南岸渡口處,江水以12.5 km/h的速度向東流,渡船的速度為25 km/h.若渡船要垂直渡過長江,則渡船的航向應為　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:向量的夾角沒有找準導致出錯;向量的數(shù)量積的幾何意義不理解致誤;向量的數(shù)量積的有關性質(zhì)應用不熟練. 6.在邊長為1的等邊三角形ABC中,設BC=a,CA=b,AB=c,則ab+bc+ca=　　　　. 7.已知AB=(2,1),點C(-1,0),D(4,5),則向量AB在CD方向上的投影為　　　　. 8.若四邊形ABCD滿足AB+CD=0,(AB-AD)AC=0,則該四邊形一定是　　　　. 課堂考點探究 探究點一　平面向量的數(shù)量積的運算 1 (1)[2017長沙模擬] 已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若ab=3,則x=　　　　. (2)[2017江西重點中學聯(lián)考] 在邊長為1的正三角形ABC中,設BC=2BD,CE=2EA,則ADBE=　　　　. [總結(jié)反思] 向量數(shù)量積的運算問題可從三個方面考慮: (1)直接使用定義(已知兩個向量的模與夾角)或利用數(shù)量積的坐標公式求解; (2)把兩個向量各自使用已知的向量表示,再按照法則計算; (3)建立平面直角坐標系,把求解的兩個向量使用坐標表示,再按照坐標法計算. 式題 (1)[2017資陽期末] 已知菱形ABCD的邊長為2,∠B=π3,點P滿足AP=λAB,λ∈R.若BDCP=-3,則λ= (　　) A.12 B.-12 C.13 D.-13 (2)[2017襄陽四中月考] 已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,則ab=　　　　. 探究點二　向量的夾角與向量的模 考向1　平面向量的模 2 (1)[2017蕪湖、馬鞍山聯(lián)考] 已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,則|a-2b|= (　　) A.45 B.90 C.35 D.310 (2)[2017河南新鄉(xiāng)三模] 已知向量OA,OB滿足|OA|=|OB|=2,OAOB=2,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),且λ+μ=1,則|OC|的最小值為 (　　) A.1 B.52 C.2 D.3 [總結(jié)反思] (1)利用數(shù)量積求解向量模的問題常用的公式: ①a2=aa=|a|2或|a|=aa; ②|ab|=(ab)2=a22ab+b2; ③若a=(x,y),則|a|=x2+y2. (2)最值問題是在變化中求得一個特殊情況,在此情況下求解目標達到最值,因此函數(shù)方法是最基本的方法之一. 考向2　平面向量的垂直 3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),則下列結(jié)論正確的是 (　　) A.a⊥b B.a∥b C.a⊥(a+b) D.a⊥(a-b) (2)[2017重慶外國語學校月考] 已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,則m= (　　) A.-9 B.9 C.6 D.-6 (3)如圖4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分別是BC,AB上的點,且滿足BEBC=AFAB=λ,當AEDF=0時,則λ的值為　　　　. 圖4-26-1 [總結(jié)反思] (1)當向量a與b是坐標形式時,若證明a⊥b,則只需證明ab=0?x1x2+y1y2=0. (2)當向量a,b是非坐標形式時, 要把a,b用已知的不共線向量作為基底來表示,且不共線的向量要知道其模與夾角,進行運算證明ab=0. (3)數(shù)量積的運算ab=0?a⊥b是對非零向量而言的,若a=0,雖然有ab=0,但不能說a⊥b. 考向3　平面向量的夾角 4 (1)[2017北京朝陽區(qū)期末] 已知平面向量a=(1,0),b=-12,32,則a與a+b的夾角為(　　) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 (2)已知向量a=(m,3),b=(3,1),若向量a,b的夾角為30,則實數(shù)m=　　　　. (3)[2017四川綿陽中學模擬] 平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角與c與b的夾角相等,則m=　　　　. [總結(jié)反思] (1)研究向量的夾角應注意“共起點”;兩個非零共線向量的夾角分別是0與180;求角時,注意向量夾角的取值范圍是[0,π];若題目給出向量的坐標表示,可直接利用公式cos θ=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22求解. (2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0說明不共線的兩向量的夾角為鈍角. 強化演練 1.【考向1】已知向量a,b滿足a=2,b=3,向量a與b的夾角為60,則|a-b|= (　　) A.19 B.19 C.7 D.7 2.【考向3】已知向量a=32,12,b=(3,-1),則a與b的夾角為 (　　) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π3 3.【考向3】[2018益陽調(diào)研] 已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,3),記向量a,b的夾角為θ,則tan θ=　　　　. 4.【考向2】[2018德州期中] 已知向量AB與AC的夾角為60,且|AB|=2,|AC|=1,若AP=λAB+AC,且AP⊥AC,則實數(shù)λ的值是　　　　. 5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動點,則|PA+3PB|的最小值為　　　　. 6.【考向3】△ABC的外接圓的半徑為1,圓心為O,且2OC+CB+CA=0,|OC|=|CB|,則ACAB=　　　　. 探究點三　平面向量與三角函數(shù)的綜合 5 [2018洛陽期中] 已知向量a=(sin x,-3),b=(1,cos x). (1)若a⊥b,求tan 2x的值; (2)令f(x)=ab,把函數(shù)f(x)的圖像上每一點的橫坐標都縮短為原來的一半(縱坐標不變),再把所得的圖像沿x軸向左平移π3個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖像,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖像的對稱中心. [總結(jié)反思] 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路: (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數(shù)的形式,運用向量共線或垂直或等式成立的條件,得到三角函數(shù)的關系式,然后求解; (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標,求解的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_式,經(jīng)過向量的運算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性求得值域等. 式題 已知向量a=(sin x,3cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π]. (1)若(a+b)∥c,求x的值; (2)若ab=12,求sinx+π6的值. 第27講　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 課前雙擊鞏固 1.復數(shù)的有關概念 (1)復數(shù)的概念 形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫作復數(shù),其中a,b分別是它的　　　　和　　　.若　　　　,則a+bi為實數(shù);若　　　　,則a+bi為虛數(shù);若　　　　,則a+bi為純虛數(shù). (2)復數(shù)相等:a+bi=c+di?　　　　　 (a,b,c,d∈R). (3)共軛復數(shù):a+bi與c+di共軛?　　　　　　(a,b,c,d∈R). (4)復數(shù)的模:向量OZ=(a,b)的模r叫作復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作　　　或　　　　,即|z|=|a+bi|=　　　. 2.復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z=a+bi←復平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,b∈R). (2)復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)←平面向量　　　. 3.復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　; ②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　; ③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=　　　　　　; ④除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=　　　　　　(c+di≠0). (2)復數(shù)加法的運算律 復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=　　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　. 常用結(jié)論 1.(1i)2=2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i. 2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*); i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*). 3.zz=|z|2=|z|2,|z1z2|=|z1||z2|,z1z2=|z1||z2|,|zn|=|z|n. 4.復數(shù)加法的幾何意義:若復數(shù)z1,z2對應的向量OZ1,OZ2不共線,則復數(shù)z1+z2是以OZ1,OZ2為鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所對應的復數(shù). 5.復數(shù)減法的幾何意義:復數(shù)z1-z2是OZ1-OZ2=Z2Z1所對應的復數(shù). 題組一　常識題 1.[教材改編] 若復數(shù)z=a2-a-2+(a+1)i為純虛數(shù),則實數(shù)a的值為　　　　. 2.[教材改編] 復數(shù)z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在復平面內(nèi)所對應的點在第四象限,則x的取值范圍為　　　　. 3.[教材改編] 已知i是虛數(shù)單位,則復數(shù)1-3i1-i=　　　　. 題組二　常錯題 ◆索引:將復數(shù)a+bi(a,b∈R)的虛部誤認為是bi;將復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的位置弄錯;錯用虛數(shù)單位i的冪的性質(zhì). 4.已知復數(shù)z=(1-i)21+i,則z的共軛復數(shù)的虛部為　　　　. 5.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點落在虛軸上,且滿足|z-1|=3,則z=　　　　. 6.若復數(shù)z滿足z2+i=i2018+i2019(i為虛數(shù)單位),則z=　　　　. 課堂考點探究 探究點一　復數(shù)的有關概念 1 (1)[2017河南六校聯(lián)考] 設復數(shù)z=2+i(1+i)2(i為虛數(shù)單位),則z的虛部是 (　　) A.-1 B.1 C.-i D.i (2)若復數(shù)2-bi1+2i(b∈R,i為虛數(shù)單位)的實部和虛部互為相反數(shù),則b=　　　　. [總結(jié)反思] 復數(shù)的基本概念有實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)等,在解題中要注意辨析概念的不同,靈活使用條件得出符合要求的解. 式題 (1)[2017煙臺一模] 設i是虛數(shù)單位,若復數(shù)a+2i1-i(a∈R)是純虛數(shù),則a= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 (2)已知復數(shù)z=1+ai3-i是純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位,a∈R),則z的虛部為 (　　) A.1 B.-1 C.i D.-i 探究點二　復數(shù)的幾何意義 2 (1)在復平面內(nèi),復數(shù)1+i(1-i)2+1對應的點在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)[2017保定一模] 在復平面內(nèi),若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),則在?OACB中,點C所對應的復數(shù)為 (　　) A.2+2i B.2-2i C.1+i D.1-i [總結(jié)反思] (1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量OZ相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?OZ. (2)復數(shù)的幾何意義:復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標就是向量OZ的坐標,對于復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),其在復平面內(nèi)對應的點的坐標是(a,b).復數(shù)的模即為其對應向量的模. 式題 (1)[2017贛州二模] 已知復數(shù)z滿足(1-i)2z=1+2i,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(　　) A.-1,-12 B.1,-12 C.-12,1 D.-12,-1 (2)[2017南寧二模] 復數(shù)11+ai(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限,則a的取值范圍為(　　) A.a<0 B.01 D.a<-1 探究點三　復數(shù)的代數(shù)運算 3 (1)[2017全國卷Ⅱ] (1+i)(2+i)= (　　) A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i (2)若復數(shù)(1+mi)(3+i)(i是虛數(shù)單位,m∈R)是純虛數(shù),則m+3i1-i= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 [總結(jié)反思] (1)把i看作一個字母,復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算類似于多項式的四則運算; (2)在只含有z的方程中,z類似于代數(shù)方程中的x,可直接求解; (3)在含有z,z,|z|中至少兩個的復數(shù)方程中,可設z=a+bi,a,b∈R,變換方程,利用兩復數(shù)相等的充要條件得出關于a,b的方程組,求出a,b,從而得出復數(shù)z. 式題 (1)[2017合肥質(zhì)檢] 已知i為虛數(shù)單位,則1+i3-i= (　　) A.2-i5 B.2+i5 C.1-2i5 D.1+2i5 (2)[2017全國卷Ⅲ] 設復數(shù)z滿足(1+i)z=2i,則|z|= (　　) A.12 B.22 C.2 D.2 第四單元　平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 1.編寫意圖 本單元內(nèi)容是高中數(shù)學中的工具性知識,在近幾年高考中主要考查三個方面:一是平面向量本身知識的基礎題,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度不大;二是以向量作為工具,考查與其他知識點的交匯與整合,以解答題為主;三是復數(shù)的概念及其運算,大多為選擇題,較為簡單. 因此,編寫時主要考慮以下幾方面:(1)每課時的例題、習題以鞏固基礎知識為主,重點是引導學生用向量知識解決有關長度、夾角、垂直等問題,掌握應用向量知識解決這類問題的方法;(2)適當配備平面向量綜合問題的“新熱點”題型,其形式為向量與其他知識的綜合,但嚴格控制難度,用于加強學生對各個知識點之間聯(lián)系的滲透,構(gòu)建知識網(wǎng)絡,提高綜合應用能力;(3)復數(shù)考查基本運算,要掌握常規(guī)方法和常規(guī)運算. 2.教學建議 本單元的內(nèi)容著重體現(xiàn)其應用性、工具性,復習中應注意下面幾點: (1)向量的運算在高考中一定會有考查,并且難度較大,在復習中要注意對該部分知識進行拓展和提升;(2)向量的數(shù)量積在高考中一般會考查一道選擇題或者填空題,在大題中也有涉及,但是考查難度不大,注意常規(guī)方法和常規(guī)運算的訓練;(3)復數(shù)在高考中一般位于前幾道題的位置,難度不大,注意基本概念的理解和基本運算的訓練. 3.課時安排 本單元共4講和一個小題必刷卷(七),每講建議1課時完成,小題必刷卷(七)課外完成,共需4課時. 第24講　平面向量的概念及其線性運算 考試說明 1.了解向量的實際背景,理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義. 2.理解向量的幾何意義. 3.掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義. 4.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義. 5.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 考情分析 考點 考查方向 考例 考查熱度 平面向量的概念 概念辨析、應用等 ★☆☆ 平面向量的線性運算 加、減、數(shù)乘運算及其應用 2016全國卷Ⅱ3,2015全國卷Ⅰ7 ★★☆ 共線向量 根據(jù)向量共線確定參數(shù)值、應用等 2015全國卷Ⅱ13 ★☆☆ 真題再現(xiàn) ■ [2017-2013]課標全國真題再現(xiàn) 1.[2015全國卷Ⅰ] 設D為△ABC所在平面內(nèi)一點,BC=3CD,則 (　　) A.AD=-13AB+43AC B.AD=13AB-43AC C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC [解析] A　由題意知AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(AC-AB)=-13AB+43AC. 2.[2015全國卷Ⅱ] 設向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數(shù)λ=　　　　. [答案] 12 [解析] 因為λa+b與a+2b平行,所以存在唯一實數(shù)t,使得λa+b=t(a+2b),所以λ=t,1=2t,解得λ=t=12. ■ [2016-2015]其他省份類似高考真題 [2016北京卷] 設a,b是向量,則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 (　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 [解析] D　若|a|=|b|成立,則以a,b為鄰邊組成的平行四邊形為菱形,a+b,a-b表示的是該菱形的對角線,而菱形的對角線不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,從而不是充分條件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,則以a,b為鄰邊組成的平行四邊形為矩形,矩形的鄰邊不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,從而不是必要條件.故選D. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1.大小　方向　大小　長度　|a|　|AB|　0　0　1　1 相同　長度　相同　長度　相反　-a　不確定的　任意的 平行 2.和　三角形　平行四邊形　b+a　a+(b+c)　相反向量 三角形　a+(-b)　向量　數(shù)乘　λa　|λ||a|　相同　相反 0　λa+λb　λ1a+λ2a 3.b=λa 對點演練 1.DA　[解析] AC-BD+CD-AB+DE+EF+FA=(AC+CD+DE+EF+FA)-(AB+BD)=DA. 2.(4)　[解析] 根據(jù)向量的概念可知(4)錯誤. 3.12(a+b)　[解析] ∵AB+BM=AM,AC+CM=AM,CM=-BM,∴AM=12(AB+AC)=12(a+b). 4.2　[解析] 因為e1與e2不共線,且a=e1-e2與b=-2e1+λe2共線,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得1=-2μ,-1=μλ,所以λ=2. 5.②　[解析] 對于①,由于AB與BA是相反向量,所以AB+BA=0,①錯誤;對于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以當a,b同向時,a+b的方向與a的方向相同,當a,b反向時,a+b的方向仍與a的方向相同,②正確;對于③,因為不確定a0的方向與a的方向是否相同,所以③錯誤. 6.等腰梯形　[解析] AD=12BC表示AD與BC共線,但|AD|≠|(zhì)BC|,所以四邊形ABCD是梯形,又|AB|=|DC|,所以四邊形ABCD是等腰梯形. 7.[2,6]　[解析] 當a與b方向相同時,|a-b|=2,當a與b方向相反時,|a-b|=6,當a與b不共線時,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范圍為[2,6].此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況. 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)將已知等式整理成a=λb的形式,再根據(jù)向量共線定理判斷;(2)利用平面向量的有關概念判斷. (1)C　(2)①②　[解析] (1)由a|a|+b|b|=0得a|a|=-b|b|≠0,即a=-b|b||a|≠0,則a與b共線且方向相反,因此當向量a與b共線且方向相反時,能使a|a|+b|b|=0成立.選項A中向量a與b的方向相同,選項B中向量a與b共線,方向相同或相反,選項C中向量a與b的方向相反,選項D中向量a與b互相垂直,故選C. (2)①不正確.兩個向量的長度相等,但它們的方向不一定相同. ②不正確.當b=0時,a∥b,b∥c,但a與c不一定平行. ③正確.a與b是非零向量,b與-b反向,若a與b同向,則a與-b反向. ④正確.因為AB與BC共線,且AB與BC有公共點B,所以A,B,C三點在同一條直線上. 變式題　(1)D　(2)A　[解析] (1)A中,AD與BC的長度相等,但方向不同,所以A錯誤;B中,AC與BD的長度相等,但方向不同,所以B錯誤;C中,PE與PF的長度相等,但方向相反,所以C錯誤;D中,EP與PF的長度相等,方向也相同,即EP=PF.故選D. (2)對于①,因為AB=DC,所以|AB|=|DC|且AB與DC共線,又因為A,B,C,D是不共線的四個點,所以四邊形ABCD為平行四邊形;反之,若四邊形ABCD為平行四邊形,則AB與DC共線且|AB|=|DC|,所以AB=DC,故①正確.根據(jù)單位向量的定義可知,單位向量的模相等,但方向不一定相同,故兩個單位向量不一定相等,故②錯誤.向量AB與BA互為相反向量,故③錯誤.對于④,因為a=b,所以a,b的長度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的長度相等且方向相同,所以a,c的長度相等且方向相同,即a=c,故④正確.故選A. 例2　[思路點撥] (1)首先根據(jù)條件4AO=AB+2AC構(gòu)造平行四邊形ABEF,然后結(jié)合三角形相似的性質(zhì)求解;(2)以向量AB,AC為鄰邊作平行四邊形,通過判斷平行四邊形的形狀來確定△ABC的形狀. (1)D　(2)直角三角形　[解析] (1)如圖所示,延長AC到點F,使AC=CF,以AB,AF為鄰邊作平行四邊形ABEF,對角線AE交BC于點D,故4AO=AB+2AC=AE,即點O在AE上,則△AOB與△AOC的高分別為B,C到AE的距離.由平行四邊形的性質(zhì)得△ADC∽△EDB,且相似比為1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因為△AOB,△AOC的底邊均為AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB與△AOC的面積之比為2∶1. (2)由|AB+AC|=|AB-AC|可知,以向量AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等,則此平行四邊形為矩形,故AB⊥AC,即△ABC為直角三角形. 例3　[思路點撥] (1)首先利用三角形法則與向量共線的性質(zhì)表示出向量AE,然后利用三角形法則表示出CE.(2)由AD=13AB+12AC確定點D的位置,從而確定兩三角形面積的關系. (1)B　(2)B　[解析] (1)由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得AE=13AD,AD=AB+BD,BD=13BC,BC=BA+AC,則BD=13(BA+AC),所以AD=AB+BD=AB+13BA+13AC,所以AE=13AB+13BA+13AC,所以CE=CA+AE=CA+13AB+19BA+19AC=29AB+89CA=29AB-89AC,故選B. (2)由AD=13AB+12AC得點D在平行于AB的中位線上,從而有S△ABD=12S△ABC,又S△ACD=13S△ABC,所以S△BCD=1-12-13S△ABC=16S△ABC,所以S△BCDS△ABD=13.故選B. 例4　[思路點撥] 利用P是直線BN上一點,可設BP=nBN,然后用m,n及AB,AC表示出向量AP,對照已知條件即可求得m的值. A　[解析] ∵AN=13NC,∴AN=14AC.∵P是直線BN上一點,∴設BP=nBN,則 AP-AB=n(AN-AB),即AP=(1-n)AB+nAN=(1-n)AB+n4AC=mAB+34AC,則n=3,所以m=1-n=-2.故選A. 強化演練 1.A　[解析] EB+FC=(EC-BC)+(FB+BC)=EC+FB=12AB+12AC=12(AB+AC)=AD,故選A. 2.A　[解析] 由題意得OB+OC=2OD,又OB+OC=-2OA=2AO,所以AO=OD,故選A. 3.D　[解析] EF=AF-AE=23AD-12AC=23AB+12BC-12AB+BC=16AB-16BC,故選D. 4.2　[解析] 設OA=a,OB=b,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則|BA|=|a-b|,|OC|=|a+b|.∵|a|=|b|=1,且|a-b|=2,∴|BA|=2|a|=2|b|,∴平行四邊形OACB是正方形,∴|OC|=|BA|=2,即|a+b|=2. 5.2　[解析] 因為O是BC的中點,所以AB+AC=2AO,即mAM+nAN=2AO,則AO=12mAM+12nAN.又因為O,M,N三點共線,所以12m+12n=1,即m+n=2. 例5　[思路點撥] 根據(jù)平面向量共線定理,引入實數(shù)μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),然后通過比較系數(shù)建立方程組求解. A　[解析] 若向量a與b共線,則存在實數(shù)μ使得2e1-e2=μ(e1+λe2),則有μ=2,λμ=-1,解得λ=-12,故選A. 例6　[思路點撥] (1)首先根據(jù)向量加減法法則尋找A,B,C,D四點中任意三個點對應向量間的關系,然后利用共線定理進行判斷;(2)首先將A,B,C三點共線問題轉(zhuǎn)化為AB與AC共線問題,然后利用向量共線定理求解. (1)A　(2)D　[解析] (1)∵AB=a+5b,BC=-3a+6b,CD=4a-b,∴BD=BC+CD=(-3a+6b)+(4a-b)=a+5b=AB,∴A,B,D三點共線,故選A. (2)由A,B,C三點共線,得AB與AC共線,則存在實數(shù)μ,使得AB=μAC,則有λ=μ,2=μ(λ-1),解得λ=μ=-1或2,故選D. 強化演練 1.A　[解析] ①a=53b,∴a,b共線;②a=-6-12e1+13e2=-6b,∴a,b共線;③b=-2(e1-e2),不存在λ∈R,使得a=λb成立,∴a,b不共線.故選A. 2.D　[解析] 由OP=OA+AB|AB|,得OP-OA=AB|AB|,∴AP=1|AB|AB,∴點P在射線AB上,故選D. 3.D　[解析] 由題意知,存在實數(shù)λ,使a=λb,即e1+ke2=λ(ke1+e2),由向量相等得λk=1,k=λ,解得k=1,故選D. 4.B　[解析] 設E是BC邊的中點,則12(OB+OC)=OE.由題意得AO=OE,所以AO=12AE=14(AB+AC)=14AB+14tAD,又因為B,O,D三點共線,所以14+14t=1,解得t=13,故選B. 【備選理由】例1對共線定理加深理解,例2、例3是兩個綜合性較強的題目,可供學有余力的學生選用. 1　[配合例5使用] [2017北京海淀區(qū)期中] 在△ABC中,點D滿足AD=2AB-AC,則(　　) A.點D不在直線BC上 B.點D在線段BC的延長線上 C.點D在線段BC上 D.點D在線段CB的延長線上 [解析] D　由AD=2AB-AC?AD-AB=AB-AC?BD=CB,故點D在線段CB的延長線上,故選D. 2　[配合例4使用] [2017上海黃浦區(qū)二模] 如圖所示,∠BAC=2π3,圓M與AB,AC分別相切于點D,E,AD=1,點P是圓M內(nèi)任意一點(含邊界),且AP=xAD+yAE(x,y∈R),則x+y的取值范圍為 (　　) A.1,4+23 B.4-23,4+23 C.1,2+3 D.2-3,2+3 [解析] B　連接AM并延長,線段AM及其延長線分別交圓M于Q,T兩點,連接DE,與AM交于點R,顯然AR=12AD+12AE,此時x+y=1.由于AD=AE=1,∠BAC=2π3,∴AM=2,DM=3.∵點P是圓M內(nèi)任意一點(含邊界),∴2-3≤AP≤2+3,且當A,P,M三點共線時x+y取得最值.當P位于Q點時,AQ=2-3,AR=12,則AQ=2-312AR=(4-23)AR=(2-3)AD+(2-3)AE,此時x+y取得最小值4-23;同理可得,當點P位于T點時,AT=(2+3)AD+(2