蘇教版高三數學復習課件7.1空間幾何體.ppt

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1．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征．2．會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖,第1課時空間幾何體,第七知識塊立體幾何初步,1．對于柱、錐、臺、球簡單幾何體的結構特征，多以選擇題、填空題的形式考查它們的基本量，即側棱長、高、斜高、對角線長等．2．簡單幾何體是構成復雜幾何體的基本元素，其中旋轉體是平面圖形繞著一條軸旋轉而成的，而多面體是由多個平面所圍成的幾何體，要正確區(qū)分多面體與旋轉體．3.縱觀這幾年的高考試題，有關三視圖的內容已成為高考的一個熱點，試題主要以選擇題的形式出現，斜二測畫法是畫直觀圖的有力工具與基礎，應多加注意．,【命題預測】,1．由于定義所描述的是幾何體所具有的特征性質，因而根據定義可以判定一個幾何體是否是某種幾何體，當已知幾何體是這種幾何體時，根據它的定義又可以說出它的特征性質．換言之，定義發(fā)揮著判定定理和性質定理的雙重作用，因此，明確各種幾何體的定義是十分重要的．,【應試對策】,2．圓柱、圓錐、圓臺、球都是從平面圖形的旋轉來定義的，由于用來旋轉的平面圖形不同，從而得到四種不同的旋轉體，在定義中務必要指明是以哪條線為軸．對空間幾何體的觀察，要從整體入手，遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則來認識空間圖形．棱臺是由棱錐平行于底面的平面截得的，因此，在處理棱臺的有關問題時要注意聯系棱錐的有關性質，“還臺為錐”是常用的解題方法．圓柱、圓錐、圓臺的軸截面集中反映了各元素的基本關系，作軸截面找出各元素的關系是解決問題的關鍵．,3．三視圖的畫法關鍵是要分清觀察者的方向，應從正面、側面、上面三個方向去觀察圖形，對于簡單幾何體的組合體，一定要認真觀察，先認識它的基本結構，然后再畫它的三視圖，畫出的三視圖要符合“長對正、寬相等、高平齊”．斜二測畫法要注意其規(guī)則，即什么時候長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄臻g幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現形式，我們可以根據問題的實際情況，選擇不同的表現形式，但在立體幾何中很少用中心投影原理來畫圖．畫三視圖時，可以把垂直投影面的視線想象成平行光線，可見的輪廓線(包括被遮擋但是可以經過想象透視到的輪廓線)的投影就是所要畫出的視圖，可見輪廓線要畫成實線，不可見輪廓線要畫成虛線．,1．在幾何體的三視圖中，主視圖也稱為正視圖，左視圖也稱為側視圖．2．直觀圖的畫法除了采用斜二測畫法外也可以采用正等測．,【知識拓展】,1．多面體的結構特征,,,,全等,平行,平行四邊形,多邊形,公共頂點的三角形,（1）,(2)多面體的定義：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做．,多面體,相似,平行,交于一點,2．旋轉體的結構特征,邊,直角邊,垂直于底邊的腰,直徑,思考：多面體與旋轉體的主要區(qū)別是什么？提示：多面體是由多個多邊形圍成的幾何體，旋轉體是由平面圖形繞軸旋轉而形成的幾何體．,3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用畫法來畫，基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸、y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝．(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于．,斜二測,45(或135),x′軸、y′軸,(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度，平行于y軸的線段，長度變?yōu)椋?4)在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度．,保持不變,原來的一半,不變,思考：空間幾何體的三視圖和直觀圖有什么區(qū)別？提示：(1)觀察角度：三視圖是從三個不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點觀察幾何體而畫出的圖形．(2)效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影下畫出的空間圖形．,1．下列命題中正確的序號有________．①有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；②用一個平面去截一個圓錐，一定得到一個圓臺和一個圓錐；③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；④將一直角三角形繞其一條直角邊旋轉一周，所得圓錐的母線長等于斜邊長．答案：④,2.如圖，是一個地空導彈的示意圖，請說明它可以近似地看作是由哪些簡單基本幾何體組成的.答案：半球、圓柱、圓臺,3.從如右圖所示的圓柱中挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面的圓心為頂點的圓錐得到一個幾何體，現用一個平面去截這個幾何體，若這個平面垂直于圓柱的底面所在的平面，那么所截得的圖形可能是下圖中的.(把所有可能的圖形的序號都填上),答案：(1)(3),4．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的________解析：根據畫直觀圖的方法，平行性不變，直觀圖中平行于y軸的原圖中要垂直于x軸，如圖③正確．答案：③,1．準確理解幾何體的定義，是真正把握幾何體結構特征的關鍵．2．圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關系．3．既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略．,【例1】下列結論中①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐②以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐③棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐④圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線其中正確的是________．,解析：①錯誤．如圖1所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何體，各面都是三角形，但它不一定是棱錐．②錯誤．如圖2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．,③錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長．④正確．答案：①④,變式1：下面命題中①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐④有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體叫棱錐，其中正確命題的序號是________．,解析：如圖①，面ABC∥面A1B1C1，但圖中的幾何體每相鄰兩個四邊形的公共邊并不都互相平行，故不是棱柱．①不正確．對于選項②，如圖②，②不正確．棱錐是有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的幾何體，因此③不正確．答案：④,在幾何體的有關計算中要注意下列方法與技巧：(1)在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側面，等腰三角形中的斜高及高與側棱所構成的兩個直角三角形，有關證明及運算往往與兩者相關．(2)正四棱臺中要掌握對角面與側面兩個等腰梯形中關于上、下底及梯形高的計算，有關問題往往要轉化到這兩個等腰梯形中．另外要能夠將正四棱臺、正三棱臺中的高與其斜高、側棱在合適的平面圖形中聯系起來．(3)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關元素之間的位置、數量關系．,(4)將圓柱、圓錐、圓臺的側面展開是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題處理的重要手段之一．(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．(6)關于球的問題中的計算，常選取球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關知識解決；關于球與多面體的切、接問題，要恰當地選取截面，化“空間”為平面．,【例2】一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4cm2和25cm2，求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．思路點撥：可畫出圓臺的軸截面，利用三角形的相似性來求解．,解：(1)圓臺的軸截面是等腰梯形，如右圖所示．由題意知，上底AD=4cm，下底BC=10cm，∴O1A=2cm，下底半徑OB=5cm.又因為腰長為12cm，所以高為AM=(cm)．(2)設截得此圓臺的圓錐的母線長為l，則由△SAO1∽△SBO可得，∴l(xiāng)=20(cm)．即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.,變式2：如圖所示，一圓臺的母線長20cm，母線與軸的夾角為30，上底面的半徑為15cm.求圓臺的高和下底面的面積．解：設圓臺的高為hcm，下底面圓的半徑為Rcm.由題意知SA＝30cm，SO′＝15cm.又△SO′A∽△SOB.∴∴R＝25，h＝10.∴下底面圓的面積S＝R2＝625(cm2)．故圓臺的高為10cm，下底面的面積為625cm2.,斜二測畫法：1．在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于O′點，且使∠x′O′y′＝45(或135)，它們確定的平面表示水平面．2．已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．3．已知圖形中平行于x軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．4．在已知圖形中過O點作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應的z′軸垂直于x′O′y′平面且長度不變．,【例3】已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為________．解析：如圖①、②所示的實際圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝O′C′＝a.∴S△A′B′C′＝A′B′C′D′＝＝a2.答案：a2,變式3：一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45、腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是________．解析：如下圖(1)，等腰梯形A′B′C′D′為水平放置的平面圖形的直觀圖，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由條件理E′C′＝A′B′＝，所以B′C′＝1＋.由斜二測直觀圖畫法規(guī)則，等腰梯形A′B′C′D′的直觀圖為如下圖(2)所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，所以面積S△ABCD＝2＋.答案：2＋,1．正棱錐問題常歸結到它的高、側棱、斜高、底面正多邊形、內切圓半徑、外接圓半徑、底面邊長的一半構成的直角三角形中解決．2．圓柱、圓錐、圓臺、球應抓住它們是旋轉體這一特點，弄清旋轉軸、旋轉面、軸截面．3．臺體可以看成是由錐體截得的．但一定強調截面與底面平行．4．在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．”,【規(guī)律方法總結】,【例4】一個水平放置的三角形ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是如右圖所示的邊長為1的正三角形A′B′C′，則在真實圖形中AB邊上的高是________，三角形ABC的面積是________，你發(fā)現了什么問題嗎？這個發(fā)現是________．,解析：將△A′B′C′放入一個銳角為45的斜角坐標系x′O′y′中，如右圖(1)所示，將其按照斜二測畫法的規(guī)則還原為真實圖形，如右圖(2)所示，在真實圖形中OA=O′A′，AB=A′B′，OC=2O′C′，在△O′D′C′中，O′C′=故在真實圖形中OC=，即真實圖形中三角形ABC的高為.三角形ABC的面積是.由于直觀圖的面積是，故直觀圖和真實圖的面積之比是=答案：直觀圖和真實圖的面積之比是,【規(guī)范解答】,一是加坐標系時方法選擇不當，把坐標系加錯，如以A′B′，A′C′為坐標系x′O′y′的兩個坐標軸，這樣坐標系中的角x′O′y′就是60了；二是在還原真實圖形時用錯了斜二測畫法的規(guī)則，如把與橫軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼亩痘蚴遣桓淖兣c縱軸平行的線段的長度等，都會導致計算結果的錯誤．,【易入誤區(qū)】,水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法第一，建立一個坐標系；第二，保持與坐標軸的平行性不變；第三，長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半．按照這個規(guī)則很容易畫出水平放置的平面圖形的直觀圖，但高考命題中往往反其道而行之．實際上，上面的三個規(guī)則是“可逆”的，我們可以“逆用規(guī)則”解決這類問題．本題中只要找到了三角形的三個頂點的位置問題就解決了.,【狀元筆記】,1．圓臺的上、下底面面積分別為S，S1，一個平行于底面的平面將圓臺側面分成面積相等的兩部分，則截面面積為________．分析：可以畫出圓臺的截面，根據平行對應成比例即可得出答案．解析：設上、下底面及截面半徑分別為r，R，x，解得兩個圓臺的母線長分別為l1，l2，則由題意，得π(x＋r)l1＝π(R＋x)l2，∴又由相似，可得∴R2－x2＝x2－r2，∴x2＝(R2＋r2)，即πx2＝(πR2＋πr2)，∴截面面積為,①平行投影和中心投影是幾何體的不同表現形式，在實際中應根據需要進行選擇②平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線交于一點③人的視覺是中心投影，而照片具有平行投影的特點④三視圖是中心投影下畫出的結果，而斜二測畫法畫出的直觀圖是在平行投影下畫出的結果分析：根據平行投影和中心投影的概念逐個進行判斷．,2．下列關于平行投影與中心投影的敘述錯誤的是________．,解析：根據中心投影和平行投影的特點知，①②③都正確，而三視圖和斜二測畫法畫出的直觀圖都是在平行投影下畫出的結果．故填④.答案：④,