天津大學(xué)化工數(shù)學(xué)偏微分方程演示文檔

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第七章：偏微分方程,,一、 幾個(gè)基本概念,,例：,1、方程的階數(shù),,方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)即為方程的階數(shù),,一階,,二階,,,,,,2、線性、非線性、擬線性,,,,,方程經(jīng)過(guò)有理化并消去分式后，若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)，稱該方程為線性,線性：,擬線性：,在非線性方程中，如果未知函數(shù)的所有最高階導(dǎo)數(shù)不是非線性，則稱此方程為擬線性,完全非線性：,除擬線性之外的非線性方程,,,,,二階，線性,二階，擬線性,二階，完全非線性,,,,,3、齊次、非齊次,,,,不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),自由項(xiàng)：,自由項(xiàng)為零的方程,齊次方程：,自由項(xiàng)不為零的方程,非齊次方程：,非齊次,齊 次,,,,,,,,二、 二階線性偏微分方程的分類,,，,設(shè),則二階線性偏微分方程一般可表示為：,,A,B,C,D,E,G,f 都是x,y的函數(shù),,,二階線性方程的分類 ：,為方程中自變量域內(nèi)任意一點(diǎn)，,,則分類判別條件如下：,（?。┤粼邳c(diǎn)M處有：,,則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型,例如,,（ⅱ）若在點(diǎn)M處有：,,則方程在該點(diǎn)處為拋物線型,例如,,波動(dòng)方程,熱傳導(dǎo)方程,,,,,,,,,,,,（ⅲ）若在點(diǎn)M處有：,則方程在該點(diǎn)處為橢圓型,例如,,,,例1：判別下列方程的分類,當(dāng) ，即 異號(hào)，M點(diǎn)在二、四象限內(nèi)，,,該區(qū)域內(nèi)方程是雙曲型,當(dāng) ，即 同號(hào)，M點(diǎn)在一、三象限內(nèi)，,該區(qū)域內(nèi)方程是橢圓型,當(dāng)x或y為零，方程在x或y軸上是拋物型,拉普拉斯方程,,,,,,,,三、三種典型方程的建立,建立理論模型的原則步驟,① 抽象出系統(tǒng)的物化模型并簡(jiǎn)化、假設(shè),② 確定輸入、輸出變量和模型參數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型,③ 模型 求解,④ 檢驗(yàn)和修正所得的模型,,,,,,,,1、均勻弦的微小橫振動(dòng)方程的建立,設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦，張緊后兩端固定如圖， 給弦以擾動(dòng)，使其產(chǎn)生振動(dòng)。,確定弦上各點(diǎn)振動(dòng)規(guī)律，即 確定位移 滿足的方程。,,,,,,,,,,,解：取一小微元段 ，分析受力情況,,x 方向：,u 方向：,,,,,,A,B,T1,T2,,,,,,,,,0,x,x＋Δx,x,u,α1,α2,,G,,(1),(2),,,,,,,簡(jiǎn)化假設(shè),（1）弦是均勻的，所以質(zhì)量均布，設(shè)單位長(zhǎng)度弦的質(zhì)量為 kg/m,（5）弦是絕對(duì)柔軟的，不能抗彎，因此弦上各點(diǎn)張力與該點(diǎn)切 線方向一致。,,（2）弦的細(xì)小的，自重相比于張力顯得很小，可以忽略。,（3）振動(dòng)方向與弦長(zhǎng)方向相垂直，且振動(dòng)保持在一固定平面內(nèi),（4）振動(dòng)是微小的，即弦上各點(diǎn)位移及弦的彎曲斜率很小,微元段的質(zhì)量：,G = 0,x 方向無(wú)運(yùn)動(dòng)，即：,無(wú)外力的均勻弦微小橫振動(dòng)方程,—— 齊次一維波動(dòng)方程,x 方向：,u 方向：,,F(x,t),x 方向：,u 方向：,假設(shè)振動(dòng)過(guò)程中， 除了張力外， 還有其它外力作用，,設(shè)單位長(zhǎng)度弦上的橫向外力為,,弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程,——非齊次一維波動(dòng)方程,,,,,2、熱傳導(dǎo)方程,一根長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿側(cè)面是絕熱，橫截面積足夠小以至,在任何時(shí)刻都可以把斷面上所有點(diǎn)的溫度看作是相同。,設(shè)桿的截面積為S，比熱為C，導(dǎo)熱系數(shù)為k，密度為ρ。,,,試確定溫度分布函數(shù) 滿足的方程。,,,,,x=0,x=l,,,,,,,x,x+Δx,,0,熱量衡算：輸入－輸出＋產(chǎn)生＝累計(jì),一維熱傳導(dǎo)方程:,,,,,,x處輸入的熱速率:,x＋Δx處輸出的熱速率:,微元段累計(jì)的熱速率:,,,,,,一維熱傳導(dǎo)方程,,一維波動(dòng)方程,（無(wú)外力）,（有外力）,（無(wú)內(nèi)熱源）,,,,,三維熱傳導(dǎo)方程,,若物體內(nèi)部有一個(gè)熱流，,,,,,T(x,y,z,t),,,,,,,,,,,,,,,其分布函數(shù)為,M(x,y,z),3、穩(wěn)態(tài)方程（拉普拉斯方程）,熱傳導(dǎo)持續(xù)進(jìn)行下去，如果達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，溫度的空間 分布不再變動(dòng)，即,,則方程,變?yōu)?,,穩(wěn)態(tài)濃度分布方程,穩(wěn)態(tài)溫度分布方程,,,,,,三種典型方程,,,是方程,,其中f 是任意函數(shù) ,如,,,,,,的通解,可以驗(yàn)證,對(duì)于方程：,可以驗(yàn)證,為其通解,泛定方程,暫停：休息,四、定解條件和定解問(wèn)題,1、初始條件（I.C.)：,初始時(shí)刻的狀態(tài),,,（一）定解條件,例1 對(duì)于弦的微小橫振動(dòng)問(wèn)題，假設(shè)初始速度為零， 初始位移符合正弦函數(shù),,,,,初始條件給定的是整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)，而不是某個(gè)局部 （如入口、出口等）的狀態(tài)。,特別注意：,應(yīng)是位置坐標(biāo)的函數(shù)。,（1）第一類邊界條件—已知函數(shù),直接給出未知函數(shù) 在邊界 上的值,,,,（狄里赫利（Dirichlet））,,例2 一根弦長(zhǎng)為l ，兩端固定進(jìn)行微小橫振動(dòng) ，建立其邊界條件。,2、邊界條件（B.C.）,,,例3 細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題中，桿長(zhǎng)l，兩端分別保持溫度 T1和T2 ，建立邊界條件。,,,（2）第二類邊界條件—已知導(dǎo)數(shù),（牛曼（Noumann）條件）,例4 細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題中，桿長(zhǎng)l，一端絕熱，另一端有恒定熱流q輸入，試建立邊界條件。,,,,,,,,x=0,x=l,,,,,熱流輸出怎樣？？,（3）第三類邊界條件——混合邊界條件,給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系,,（Robin條件）,,例4 細(xì)桿導(dǎo)熱問(wèn)題中，桿長(zhǎng)l，一端溫度為T0，另一端與溫度為T1的環(huán)境進(jìn)行對(duì)流熱交換，試建立邊界條件。,,,,,x=0,x=l,,,,,,（4）積分—微分邊界條件,（5）銜接條件,,,內(nèi)外層壁：,,,,,,,,,,,,,,,（二）定解問(wèn)題,初值問(wèn)題：,只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題,邊值問(wèn)題：,沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題,混合問(wèn)題：,既有初始條件又有邊界條件的定解問(wèn)題,定解問(wèn)題,,泛定方程（P.D.E),定解條件,,初始條件（B.C.）,邊界條件（I.C.）,五、線性迭加原理,所謂迭加：即幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng)，產(chǎn)生 的效果等于各因素獨(dú)立作用產(chǎn)生的效果之總和,線性迭加原理：,,則級(jí)數(shù) 也是該方程之解,,,假設(shè)函數(shù),是線性齊次微分方程,的特解。,（i=1，2……）,,,,,,,,,,,,六、分離變量法,例1、設(shè)兩端固定的有界弦微小自由橫振動(dòng)過(guò)程， 初始位移為φ(x)，初始速度為ψ（x）,,解：（1）分離變量,,設(shè),（1）,（2）,（3）,（4）,到33頁(yè),,代入方程式（1）得,分離變量得,,=,設(shè),于是可得到兩個(gè)常微分方程,,,到35頁(yè),,=,,,=,+,,,,,,,,,,,對(duì)于二階線性常系數(shù)常微分方程：,,,先求特征方程的解：,分三種情況,（?。┨卣鞣匠痰母鵵1,r2為實(shí)數(shù)時(shí),復(fù) 習(xí),,,,（ⅱ）特征方程的根r1=r2=r為重實(shí)數(shù)時(shí),（ⅲ）特征方程的根為復(fù)數(shù)，即 r1=α+βi r2= α - β i,,返回31頁(yè),,,,,,由邊界條件式（2）知,,,,,因?yàn)?所以只能,（5）,（6）,,,,,,（?。┰O(shè)λ>0，則方程式（5）通解為,（5）,,,由,,,由,,,,（2）解定解問(wèn)題,——解固有值問(wèn)題,到37頁(yè),,,解上述線性代數(shù)方程組得：,即,,所以,,（ⅱ）設(shè)λ =0，方程（5）通解為,,由,,由,,,,,,即,所以,（ⅲ）設(shè)λ <0，,,令 ，,此時(shí)通解為,,由,,由,,,,,,,,,,,因?yàn)锽不能為零，所以只能,,,所以,,－稱為固有值（或本征值）,---稱為固有函數(shù)（或本征函數(shù)）,（7）,返回36頁(yè),返回54頁(yè),（3）求解不構(gòu)成本征問(wèn)題的常微分方程的通解,（6）,將 代入上式,,（8）,將式（7）與式（8）相乘，得到一組特解,,其中， 是任意常數(shù),,（8）,（7）,,,,,,,（4）應(yīng)用線性疊加原理求,,,（5）由傅里葉級(jí)數(shù)確定系數(shù),,,（9）,暫停：休息,復(fù)習(xí),f(x)在〔－l，l〕區(qū)間上的傅里葉展開(kāi)式：,在〔0，l〕區(qū)間上的只有余弦項(xiàng)的傅里葉展開(kāi)式：,在〔0，l〕區(qū)間上的只有正弦項(xiàng)的傅里葉展開(kāi)式：,傅里葉展開(kāi)是基于三角函數(shù)的正交性,,,,,,,根據(jù)正交性可直接確定系數(shù)：,,,,（10）,,,,,,,,至此， （9）～（11）即構(gòu)成了例1中定解問(wèn)題的解,（11）,總結(jié)分離變量求解的關(guān)鍵點(diǎn),1、假設(shè),代入齊次方程進(jìn)行分離變量；,2、分離齊次邊界條件，組構(gòu)本征值問(wèn)題，并求解確定 本征值本征函數(shù)；,3、求解另外一個(gè)常微分方程；,4、用線性疊加原理寫出問(wèn)題的解；,5、代入初始條件，并用傅里葉展開(kāi)法確定解中的常數(shù)。,例 2 一維導(dǎo)熱問(wèn)題（第三邊值條件）,長(zhǎng)為l 的均勻細(xì)桿，其側(cè)面（圓弧面）絕熱，桿的一端保持在0℃狀態(tài)下，另一端則與溫度為0℃環(huán)境介質(zhì)進(jìn)行自由熱交換。假設(shè)初始時(shí)刻溫度分布為φ(x)。試確定桿上各點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化規(guī)律。,,,（1）,（2）,（3）,（4）,到第52頁(yè),（1）分離變量，設(shè),,,,代入方程（1）得：,于是得：,（5）,（6）,比較波動(dòng)問(wèn)題得到兩個(gè)常微分方程 ：,,,,返回上一頁(yè),由邊界條件式（2）（3）知,,,（2） 解本征值問(wèn)題,（7）,（8）,式（5）與式（7）、式（8）構(gòu)成本征值問(wèn)題,,,,,,,同前述同樣方法討論本征值λ的三種取值情況,經(jīng)討論僅當(dāng)λ<0時(shí)才有非零解,,設(shè),于是方程式（5）通解為,,由式（7）得,由式（8）得,,,,則,,,即,,,得本征值,(n =1，2，3… ),得本征函數(shù),,（,(3） 將本征值代入式（6）并求解,,（4）由線性迭加原理得定解問(wèn)題級(jí)數(shù)形式解,,,,(Cn =BnAn),（5）確定系數(shù),,,由初始條件,,,由本證函數(shù)的正交性,,,,,,,,,,,例 3、求解穩(wěn)態(tài)問(wèn)題,,解：（1）分離變量,,設(shè),（1）,（2）,（3）,,能否用分離變量法 求解？？？,能?。?,代入方程式（1）得,分離變量得,,=,設(shè),于是可得到兩個(gè)常微分方程,,,—,由邊界條件（3）,,（5）,（6）,,（5）,,,（2）解本征值問(wèn)題,,,憑經(jīng)驗(yàn)當(dāng)λ <0，時(shí)有非零解,令,由,,由,,因?yàn)锽不能為零能,,,,,,,,,,,,所以,,（7）,,（3）求解不構(gòu)成本征問(wèn)題的常微分方程的通解,,（6）,,將 代入上式,,,（8）,,（,將式（7）與式（8）相乘，得到一組特解,,其中， 是任意常數(shù),,,,,,,,（4）應(yīng)用線性疊加原理求,,,（5）由傅里葉級(jí)數(shù)確定系數(shù),,,,（9）,（10）,（9）,,n 為偶數(shù)時(shí),n 為奇數(shù)時(shí),1、只能用分離變量法直接求解齊次方程、 齊次邊界定解問(wèn)題,2、本征值和本征函數(shù)由邊界條件類型確定,3、另外一個(gè)二階常微分方程的形式及解 由泛定方程的類型確定,總 結(jié),（b）,（c）,,,（d）,,,,,,,,（a）,一維波動(dòng)問(wèn)題,一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題,二維穩(wěn)態(tài)問(wèn)題,暫停：休息,,七、非齊次邊界的處理,方法： 將定解問(wèn)題（A）轉(zhuǎn)化為齊次邊界問(wèn)題,（A）,,設(shè),使 滿足相應(yīng)的齊次邊界條件，即,,,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,,則,,設(shè),由條件式（6）確定：,（6）,（7）,,,則,由條件式（7）確定：,將以上結(jié)果代入,,（B）,,（a）,,（a）,（b）,,,（c）,,,（d）,,,則V（x,t）滿足的定解問(wèn)題為：,設(shè),,例4,設(shè)一均勻細(xì)桿，初始時(shí)全桿有一均一溫度 ，然后 使其一端保持不變溫度 ，另一端則有恒定的熱流 輸入，試求溫度分布規(guī)律。,,,解：?jiǎn)栴}可由下述數(shù)學(xué)形式表述,（1）,（2）,（3）,,設(shè),,使,,則,,,設(shè),則由式（6）求得,,（4）,（5）,（6）,（7）,,,則,代入原問(wèn)題得,,,,設(shè),,,W（x,t）,,,,由經(jīng)驗(yàn)，知 唯 時(shí)有解,,,設(shè),則,,由邊界，得,,,所以,,（,=0，1，2……）,（n = 0，1，2……）,,于是固有函數(shù)為,,,,最后由初始條件定常數(shù),,,,,暫停：休息,八、非齊次的泛定方程,,,設(shè),,,,,,,,,,例 5 兩端固定的弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題,,=0,,,設(shè),解:,,,,而,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,轉(zhuǎn)到82頁(yè),（b）,（c）,,,（d）,,,,,,,,（a）,返回上一頁(yè),將式（4），式（5）代入式（1）得,,所以,,,將式（3）,,,,,,代入所設(shè)：,,,這里,（5）,（6）,（7）,（8）,根據(jù)傅立葉展開(kāi),于是有：,,,,,,因已設(shè),,,,設(shè),,則,（6）,對(duì)方程式（6）兩邊拉氏變換,,,,由卷積定理知,,=,,,,,暫停：休息,例 6 用本征函數(shù)系展開(kāi)法解非齊次熱傳導(dǎo)問(wèn)題,,,,,解：,,,（1）,（2）,（3）,,,,,將上兩式代入方程式（1）得,,,,,＝0,由初始條件式（3）,,,,于是方程（5）解為,,所以：,,最終解為,（4）,（5）,,,于是方程（4）解為,,★ 重點(diǎn)掌握的內(nèi)容： 拉氏變換的定義和前5條性質(zhì)；三種常用求解逆變換的方法；應(yīng)用－求解常微分方程，積分-微分方程的方法。,★ 本章主要內(nèi)容： 1、拉氏變換的概念和性質(zhì)； 2、求拉氏逆變換的方法； 3、拉氏變化的應(yīng)用，如何求解微分、積分方 程、差分方程等。,第五章：拉普拉斯變換,第六章：場(chǎng)論初步,★ 本章重點(diǎn)內(nèi)容： 1、方向?qū)?shù)、通量、環(huán)量的概念及計(jì)算； 2、梯度、散度、旋度的概念及計(jì)算； 3、散度定理、斯托克斯定理； 4、無(wú)源場(chǎng)、有勢(shì)場(chǎng)（勢(shì)函數(shù)）、調(diào)和場(chǎng)（調(diào)和函數(shù)）概念、性質(zhì)及計(jì)算； 5、會(huì)用用場(chǎng)論方法簡(jiǎn)單的建模，重點(diǎn)是課上講的例題。,第七章：偏微分方程,★ 本章重點(diǎn)內(nèi)容： 1、會(huì)用分離變量法求解二階齊次方程、齊次邊界問(wèn)題； 2、會(huì)建立簡(jiǎn)單的方程（類似三種典型方程）和定解條件； 3、掌握方程的分類和線性性判別； 4、了解非齊次邊界處理方法和非齊次方程的本征函數(shù)求解方法,2012級(jí)化工數(shù)學(xué)期末考試信息,時(shí)間：2014.6.30（第19周周一）？:00—？:00,地點(diǎn)：？樓？,,,,,,,,,,,,,,,（ⅰ）設(shè)λ>0，則方程式（5）通解為,由,,由,,,,解上述線性代數(shù)方程組得：,即,,所以,,（ⅱ）設(shè)λ =0，方程（5）通解為,,由,,由,,即,,,,,,,（ⅲ）設(shè)λ <0，,,令 ，,此時(shí)通解為,,由,,由,,所以綜合有：,---稱為固有函數(shù)（或本征函數(shù)）,（7）,返回88頁(yè),,