2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 以三角形為背景的中檔計(jì)算題與證明題練習(xí) 湘教版.doc

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提分專練(五)　以三角形為背景的中檔計(jì)算題與證明題 |類型1|　與特殊三角形相關(guān)的計(jì)算、證明題 1.如圖T5-1,在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,且CD=CB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),連接EF交CD于點(diǎn)M,連接AM. (1)求證:EF=12AC; (2)若∠BAC=45,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系. 圖T5-1 2.[xx連云港] 如圖T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交于點(diǎn)F. (1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由; (2)求證:過(guò)點(diǎn)A,F的直線垂直平分線段BC. 圖T5-2 |類型2|　與全等三角形相關(guān)的計(jì)算、證明題 3.如圖T5-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE∥BC,CE⊥AE,垂足為E. (1)求證:△ABD≌△CAE. (2)連接DE,線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 圖T5-3 4.[xx寧波] 如圖T5-4,在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A,B不重合),連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得到線段CE,連接DE交BC于點(diǎn)F,連接BE. (1)求證:△ACD≌△BCE; (2)當(dāng)AD=BF時(shí),求∠BEF的度數(shù). 圖T5-4 |類型3|　與相似三角形相關(guān)的計(jì)算、證明題 5.如圖T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分別為D,E,AD與BE相交于點(diǎn)F. (1)求證:△ACD∽△BFD; (2)當(dāng)tan∠ABD=1,AC=3時(shí),求BF的長(zhǎng). 圖T5-5 6.[xx東營(yíng)] (1)某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目: 如圖T5-6①,在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC上,∠BAO=30,∠OAC=75,AO=33,BO∶CO=1∶3,求AB的長(zhǎng). 經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn),過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,通過(guò)構(gòu)造△ABD就可以解決問(wèn)題(如圖②). 請(qǐng)回答:∠ADB=　　　　,AB=　　　　. (2)請(qǐng)參考以上解題思路,解決下列問(wèn)題: 如圖③,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC=∠ACB=75,BO∶OD=1∶3,求DC的長(zhǎng). 圖T5-6  參考答案 1.解:(1)證明:連接CE.∵CD=CB,點(diǎn)E為BD的中點(diǎn), ∴CE⊥BD. ∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn), ∴EF=12AC. (2)∵∠BAC=45,CE⊥BD, ∴△AEC是等腰直角三角形. ∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn), ∴EF垂直平分AC,∴AM=CM. ∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB, ∴BC=AM+DM. 2.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 因?yàn)锳B=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD. (2)證明:因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠ACB. 由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因?yàn)锳B=AC,所以點(diǎn)A,F均在線段BC的垂直平分線上, 即直線AF垂直平分線段BC. 3.解:(1)證明:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACD. ∵AE∥BC, ∴∠EAC=∠ACD, ∴∠B=∠EAC. ∵AD是BC邊上的中線, ∴AD⊥BC. ∵CE⊥AE, ∴∠ADB=∠AEC=90. 在△ABD和△CAE中, ∵∠B=∠EAC,∠ADB=∠AEC,AB=CA, ∴△ABD≌△CAE(AAS). (2)AB平行且等于DE. 證明:由(1)知△ABD≌△CAE, ∴AE=BD. 又∵AE∥BD, ∴四邊形ABDE為平行四邊形, ∴AB平行且等于DE. 4.解:(1)證明:∵線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得到線段CE, ∴∠DCE=90,CD=CE. 又∵∠ACB=90, ∴∠ACB=∠DCE, ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中,∵CD=CE,∠ACD=∠BCE,AC=BC, ∴△ACD≌△BCE. (2)∵∠ACB=90,AC=BC, ∴∠A=45, ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45. 又AD=BF, ∴BE=BF, ∴∠BEF=∠BFE=180-452=67.5. 5.解:(1)證明:∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90, ∴∠C+∠DBF=90,∠C+∠DAC=90, ∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD. (2)∵∠ADB=90,tan∠ABD=1, ∴tan∠ABD=ADBD=1,∴AD=BD. ∵△ACD∽△BFD, ∴ACBF=ADBD=1,∴BF=AC=3. 6.[解析] (1)利用兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,可得∠ADB=∠OAC=75和△AOC與△DOB相似,于是得DO=3,再利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABD=75,所以AB=AD=43. (2)同理,可過(guò)B作AD的平行線,利用相似可求得DC的長(zhǎng). 解:(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75. 又∵∠DOB=∠AOC, ∴△DOB∽△AOC, ∴DOAO=BOCO=13. ∵AO=33,∴DO=3, ∴AD=AO+DO=33+3=43. 在△ABD中,∠BAO=30,∠ADB=75, ∴∠ABD=180-∠BAO-∠ADB=180-30-75=75, ∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD=43. (2)過(guò)點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E. ∵AC⊥AD,∴∠DAC=∠BEA=90. 又∵∠AOD=∠EOB, ∴△AOD∽△EOB, ∴BODO=EOAO=BEDA. ∵BO∶OD=1∶3, ∴EOAO=BEDA=13. ∵AO=33,∴EO=3,∴AE=43. ∵∠ABC=∠ACB=75, ∴∠BAC=30,AB=AC,∴AB=2BE. 在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2, 即(43)2+BE2=(2BE)2,得BE=4, ∴AB=AC=8,AD=12. 在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2, 即82+122=CD2,得CD=413.