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第2章 圓錐曲線與方程
滾動(dòng)訓(xùn)練(二)
一、填空題
1.若雙曲線方程為x2-2y2=1,則它的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 求雙曲線焦點(diǎn)
答案
解析 ∵雙曲線方程可化為x2-=1,
∴a2=1,b2=,∴c2=a2+b2=,c=.
2.已知命題p:1≤x≤4,命題q:x2-4x+3>0,則p是綈q的____________條件.
考點(diǎn) 充分條件、必要條件、充要條件的判斷
題點(diǎn) 邏輯聯(lián)結(jié)詞和充分條件、必要條件、充要條件的判斷
答案 必要不充分
解析 由x2-4x+3>0,解得x<1或x>3,所以綈q:1≤x≤3,則綈q?p,但是p?綈q,所以p是綈q的必要不充分條件.
3.已知雙曲線C:-=1的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,則雙曲線C的方程為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求雙曲線方程
答案?。?
解析 由已知可得雙曲線的焦距2c=10,a2+b2=52=25,又由一條漸近線方程為y=x=x,得=,解得a2=20,b2=5.
4.已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(-5,4),則橢圓的方程為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓方程
答案 +=1
解析 設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),
將點(diǎn)(-5,4)代入得+=1.
又離心率e==,
即e2===,
解得a2=45,b2=36,
故橢圓的方程為+=1.
5.下列命題中:
①“?x∈R,x2-x+1≤0”的否定;
②“若x2+x-6≥0,則x>2”的否命題;
③命題“若x2-5x+6=0,則x=2”的逆否命題.
其中真命題的個(gè)數(shù)是________.
考點(diǎn) 命題
題點(diǎn) 命題的否定、否命題、逆否命題
答案 2
解析 “?x∈R,x2-x+1≤0”的否定為“?x∈R,x2-x+1=2+>0”為真命題;“若x2+x-6≥0,則x>2”的否命題為“若x2+x-6<0?-3
0,b>0)和橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求雙曲線方程
答案?。?
解析 橢圓+=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-,0),F(xiàn)2(,0),離心率e=.由于雙曲線-=1與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),因此a2+b2=7.
又雙曲線的離心率e==,所以=,
所以a=2,b2=c2-a2=3,
故雙曲線的方程為-=1.
7.設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PA=PB,則該雙曲線的離心率是________.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求雙曲線離心率
答案
解析 聯(lián)立直線方程x-3y+m=0與雙曲線漸近線方程y=x可得交點(diǎn)坐標(biāo)為,,而kAB=,由PA=PB,可得AB的中點(diǎn)與點(diǎn)P連線的斜率為-3,即=-3,化簡(jiǎn)得4b2=a2,所以e==.
8.已知橢圓方程為+=1(a>b>0),A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),M,N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,若=,則橢圓的離心率為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓的離心率
答案
解析 設(shè)M(x0,y0),則N(x0,-y0).
|k1k2|=====,可得3a2=4c2,從而e==.
9.已知F1,F(xiàn)2為雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn),P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)A在雙曲線上,則AP+AF2的最小值為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題點(diǎn) 求雙曲線方程中的最值問(wèn)題
答案?。?
解析 由題意知,AP+AF2=AP+AF1-2a,要求AP+AF2的最小值,只需求AP+AF1的最小值,當(dāng)A,P,F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,則AP+AF1=PF1=,
∴AP+AF2=AP+AF1-2a=-2.
10.設(shè)e1,e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率,P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足=0,則=________.
考點(diǎn) 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求圓錐曲線離心率
答案 2
解析 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2,F(xiàn)1F2=2c,由題意得PF1+PF2=2a1,PF1-PF2=2a2,所以PF+PF=2a+2a.
又因?yàn)椋?,所以PF1⊥PF2.
所以PF+PF=F1F,即2a+2a=4c2.
所以2+2=2,
即+=2,即=2.
二、解答題
11.已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2,且傾斜角為45,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn)A,B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上?并求弦AB的長(zhǎng).
考點(diǎn) 直線與雙曲線的位置關(guān)系
題點(diǎn) 直線與雙曲線的位置關(guān)系
解 雙曲線方程可化為-=1,
故a2=1,b2=3,c2=a2+b2=4,∴c=2,∴F2(2,0),
∵直線l的斜率k=tan45=1,
∴直線l的方程為y=x-2,
代入雙曲線方程,得2x2+4x-7=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵x1x2=-<0,
∴A,B兩點(diǎn)不位于雙曲線的同一支上.
∵x1+x2=-2,x1x2=-,
∴AB=|x1-x2|
=
==6.
12.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過(guò)點(diǎn)P(4,-).
(1)求雙曲線方程;
(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:=0;
(3)在(2)的條件下求△F1MF2的面積.
考點(diǎn) 雙曲線的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 雙曲線中的焦點(diǎn)三角形
(1)解 ∵e=,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ.
∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴雙曲線方程為-=1.
(2)證明 方法一 由(1)可知,雙曲線中a=b=,
∴c=2.
∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=.
kMF1kMF2==-.
∵點(diǎn)(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3.
故kMF1kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.
∴=0.
方法二 ∵=(-2-3,-m),
=(2-3,-m),
∴=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0.
∴=0.
(3)解 △F1MF2的底F1F2=4,
△F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=,∴S△F1MF2=6.
13.已知橢圓+=1(a>b>0)和圓O:x2+y2=b2,過(guò)橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(1)①若圓O過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求橢圓的離心率e的值;
②若橢圓上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90,求橢圓離心率e的取值范圍;
(2)設(shè)直線AB與x軸,y軸分別交于點(diǎn)M,N,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),+是否為定值?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 橢圓幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用
解 (1)①因?yàn)閳AO過(guò)橢圓的焦點(diǎn),圓O:x2+y2=b2,所以b=c,
所以b2=a2-c2=c2,a2=2c2,所以e=.
②由∠APB=90及圓的性質(zhì),可得OP=b,所以O(shè)P2=2b2≤a2,所以a2≤2c2,所以e2≥,≤e<1.
(2)+的值為定值,證明如下:
設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),則=-,
整理得x0x1+y0y1=x+y.
因?yàn)閤+y=b2,所以x0x1+y0y1=b2,
同理x0x2+y0y2=b2.
從而直線AB的方程為x0x+y0y=b2.
令x=0,得ON=|y|=,
令y=0,得OM=|x|=,
所以+===,
所以+為定值,定值是.
三、探究與拓展
14.已知橢圓+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若以F2為圓心,b-c為半徑作圓F2,過(guò)橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線,切點(diǎn)為T,且PT的最小值為(a-c),則橢圓的離心率e的取值范圍為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
題點(diǎn) 求橢圓的離心率范圍
答案
解析 因?yàn)镻T=(b>c),
而PF2的最小值為a-c,
所以PT的最小值為.
依題意有≥(a-c),
所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),
所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),
所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0.①
又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,所以2e2<1,②
聯(lián)立①②,得≤e<.
15.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2).設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證:點(diǎn)T在橢圓C上.
考點(diǎn) 直線與橢圓的位置關(guān)系
題點(diǎn) 橢圓幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用
(1)解 由題意知b==.
因?yàn)殡x心率e==,
所以==,所以a=2,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)證明 由題意可設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(-x0,y0),
則直線PM的方程為y=x+1,①
直線QN的方程為y=x+2.②
方法一 聯(lián)立①②解得x=,y=,
即T.
由+=1,可得x=8-4y.
因?yàn)?+2=====1,所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.
方法二 設(shè)T(x,y).聯(lián)立①②解得x0=,y0=.
因?yàn)椋?,所以2+2=1.
整理得+=(2y-3)2,
所以+-12y+8=4y2-12y+9,
即+=1.
所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.
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