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第36講 雙星與多星問題
[方法點撥] (1)核心問題是“誰”提供向心力的問題．(2)“雙星問題”的隱含條件是兩者的向心力相同、周期相同、角速度相同；雙星中軌道半徑與質量成反比；(3)多星問題中，每顆行星做圓周運動所需的向心力是由它們之間的萬有引力的合力提供，即F合＝m，以此列向心力方程進行求解．
1．(2018四川瀘州一檢)“雙星體系”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的半徑遠小于兩個星球之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體．如圖1所示，相距為L的A、B兩恒星繞共同的圓心O做圓周運動，A、B的質量分別為m1、m2，周期均為T.若有間距也為L的雙星C、D，C、D的質量分別為A、B的兩倍，則( )
圖1
A．A、B運動的軌道半徑之比為
B．A、B運動的速率之比為
C．C運動的速率為A的2倍
D．C、D運動的周期均為T
2．(多選)太空中存在一些離其他恒星很遠的、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是直線三星系統(tǒng)——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)——三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上．已知某直線三星系統(tǒng)A每顆星體的質量均為m，相鄰兩顆星中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B的每顆星體的質量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側的兩顆星體做勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運動的周期相等．引力常量為G，則( )
A．三星系統(tǒng)A外側兩顆星體運動的線速度大小為v＝
B．三星系統(tǒng)A外側兩顆星體運動的角速度大小為ω＝
C．三星系統(tǒng)B的運動周期為T＝4πR
D．三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為L＝R
3．(多選)(2017福建龍巖3月質檢)冥王星和其附近的星體卡戎的質量分別為M、m(m
1)；因此，科學家認為，在兩星球之間存在暗物質．假設以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質，兩星球的質量均為m，那么，暗物質的質量為( )
A.m B.m
C．(k2－1)m D．(2k2－1)m
5．(2017廣西南寧一模)2016年2月11日，科學家宣布“激光干涉引力波天文臺(LIGO)”探測到由兩個黑洞合并產(chǎn)生的引力波信號，這是在愛因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接觀測到．在兩個黑洞合并過程中，由于彼此間的強大引力作用，會形成短時間的雙星系統(tǒng)．如圖2所示，黑洞A、B可視為質點，它們圍繞連線上O點做勻速圓周運動，且AO大于BO，不考慮其他天體的影響．下列說法正確的是( )
圖2
A．黑洞A的向心力大于B的向心力
B．黑洞A的線速度大于B的線速度
C．黑洞A的質量大于B的質量
D．兩黑洞之間的距離越大，A的周期越小
6．(多選)(2018陜西商洛模擬)宇宙中兩顆相距很近的恒星常常組成一個系統(tǒng)，它們以相互間的萬有引力彼此提供向心力，從而使它們繞著某一共同的圓心做勻速圓周運動，若已知它們的運轉周期為T，兩星到某一共同圓心的距離分別為R1和R2，那么，系統(tǒng)中兩顆恒星的質量關系是( )
A．這兩顆恒星的質量必定相等
B．這兩顆恒星的質量之和為
C．這兩顆恒星的質量之比為m1∶m2＝R2∶R1
D．其中必有一顆恒星的質量為
答案精析
1．D [對于雙星A、B，有G＝m1()2r1＝m2()2r2，r1＋r2＝L，得r1＝L，r2＝L，T＝2πL，A、B運動的軌道半徑之比為＝，A錯誤；由v＝得，A、B運動的速率之比為＝＝，B錯誤；C、D運動的周期T′＝2πL＝T，D正確；C的軌道半徑r1′＝L＝r1，C運動的速率為v1′＝＝v1，C錯誤．]
2．BCD [三星系統(tǒng)A中，三顆星體位于同一直線上，兩顆星體圍繞中央星體在同一半徑為R的圓軌道上運行．其中外側的一顆星體由中央星體和另一顆外側星體的合萬有引力提供向心力，有：G＋G＝m，解得v＝，A錯誤；三星系統(tǒng)A中，周期T＝＝4πR，則其角速度為ω＝＝，B正確；由于兩種系統(tǒng)周期相等，則三星系統(tǒng)B的運行周期為T＝4πR，C正確；三星系統(tǒng)B中，三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖所示，
對某顆星體，由萬有引力定律和牛頓第二定律得：2cos30＝m，解得L＝R，D正確．]
3．CD [冥王星與星體卡戎之間的萬有引力提供各自做圓周運動的向心力：可由G＝MRω2計算冥王星做圓周運動的角速度，故A錯誤；同理，可由G＝M計算冥王星做圓周運動的線速度，故B錯誤；冥王星與其附近的星體卡戎可視為雙星系統(tǒng)．所以冥王星和星體卡戎做圓周運動的周期是相等的，可由G＝mr()2計算星體卡戎做圓周運動的周期，故C正確；因G＝MRω2＝mrω2，由于它們的角速度的大小是相等的，所以：MRω＝mrω，又：vm＝ωr，vM＝ωR，pm＝mvm，pM＝MvM，所以冥王星與星體卡戎繞O點做圓周運動的動量大小相等，故D正確．]
4．A [兩星球均繞它們的連線的中點做圓周運動，設它們之間的距離為L，由萬有引力提供向心力得：G＝m，解得：T理論＝πL.根據(jù)觀測結果，星體的運動周期＝k，這種差異是由兩星球之間均勻分布的暗物質引起的，均勻分布在兩星球之間的暗物質對雙星系統(tǒng)的作用與一質量等于暗物質的總質量m′、位于中點O處的質點的作用相同．則有：G＋＝m，解得：T觀測＝πL，又＝k，所以：m′＝m，故A正確，B、C、D錯誤．]
5．B [兩黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律可知，A對B的作用力與B對A的作用力大小相等、方向相反，則黑洞A的向心力等于B的向心力，故A錯誤；兩黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，由題圖可知A的軌道半徑比較大，根據(jù)v＝ωr可知，黑洞A的線速度大于B的線速度，故B正確；由于mAω2rA＝mBω2rB，由于A的軌道半徑比較大，所以A的質量小，故C錯誤；兩黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，所以G＝mArA＝mBrB，又：rA＋rB＝L，得rA＝，L為二者之間的距離，所以得：G＝mA，即：T2＝，則兩黑洞之間的距離越小，A的周期越小，故D錯誤．]
6．BC [設兩星質量分別為m1、m2.對m1有：G＝m1R1，解得m2＝，同理可得m1＝，故兩者質量不相等，故選項A錯誤；將兩者質量相加得m1＋m2＝，則不可能其中一個的質量為，故選項D錯誤，選項B正確；m1∶m2＝R2∶R1，故選項C正確．]
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