2018-2019高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.1.1 四種命題學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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1.1.1 四種命題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解四種命題的概念,會寫出所給命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.認(rèn)識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系.3.會利用命題的等價性解決問題. 知識點一 命題的概念 思考 給出下列語句: (1)若直線a∥b,則直線a和直線b無公共點; (2)3+6=7; (3)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱; (4)5能被4整除. 請你找出上述語句的共同特點. 答案 上述語句能夠判斷真假. 梳理 (1)定義:能夠判斷真假的語句. (2)分類 ①真命題:判斷為真的語句. ②假命題:判斷為假的語句. (3)形式:若p則q. 知識點二 四種命題的概念 思考 給出以下四個命題: (1)當(dāng)x=2時,x2-3x+2=0; (2)若x2-3x+2=0,則x=2; (3)若x≠2,則x2-3x+2≠0; (4)若x2-3x+2≠0,則x≠2. 你能說出命題(1)與其他三個命題的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎? 答案 命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(2)的結(jié)論和條件.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定.命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定. 梳理 一般地,用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論,原命題:若p則q. (1)互逆命題:對于兩個命題,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題叫做原命題,另一個命題叫做原命題的逆命題. (2)互否命題:對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定,這兩個命題稱為互否命題.其中一個命題叫做原命題,另一個命題叫做原命題的否命題. (3)互為逆否命題:對于兩個命題,其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定,這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題,另一個命題叫做原命題的逆否命題. 知識點三 四種命題的關(guān)系 思考1 為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“非p”和“非q”,如果原命題是“若p,則q”,那么它的逆命題、否命題、逆否命題該如何表示? 答案 逆命題:若q則p.否命題:若非p則非q.逆否命題:若非q則非p. 思考2 原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系?原命題的逆命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系?原命題的逆命題與原命題的否命題呢? 答案 互逆、互否、互為逆否. 梳理 (1)四種命題之間的關(guān)系如下所示: (2)四種命題的真假關(guān)系 ①如果兩個命題互為逆否命題,那么它們有相同的真假性; ②如果兩個命題為互逆命題或互否命題,那么它們的真假性沒有關(guān)系. 1.疑問句、祈使句、感嘆句等都不是命題.( √ ) 2.有的命題沒有否命題.( ) 3.兩個互逆命題的真假性相同.( ) 4.對于一個命題的四種命題,可以一個真命題也沒有.( √ ) 類型一 命題及其真假的判定 例1 把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷命題的真假. (1)奇數(shù)不能被2整除; (2)當(dāng)(a-1)2+(b-1)2=0時,a=b=1; (3)已知x,y為正整數(shù),當(dāng)y=x+1時,y=3,x=2. 考點 命題的概念 題點 命題真假性判斷 解 (1)若一個數(shù)是奇數(shù),則它不能被2整除,是真命題; (2)若(a-1)2+(b-1)2=0,則a=b=1,是真命題; (3)已知x,y為正整數(shù),若y=x+1,則y=3且x=2,是假命題. 反思與感悟 (1)找準(zhǔn)命題的條件和結(jié)論,是解決這類題目的關(guān)鍵,對于個別問題還要注意大前提的寫法. (2)命題形式的改變并不改變命題的真假,只是表述形式發(fā)生了變化. (3)一個命題若是假命題,只需找到一個反例來說明即可. 跟蹤訓(xùn)練1 把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假. (1)實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù); (2)等底等高的兩個三角形是全等三角形; (3)當(dāng)ac>bc時,a>b; (4)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. 考點 命題的概念 題點 命題真假性判斷 解 (1)若一個數(shù)是實數(shù),則它的平方是非負(fù)數(shù),是真命題. (2)若兩個三角形等底等高,則這兩個三角形是全等三角形,是假命題. (3)若ac>bc,則a>b,是假命題. (4)若一個點在角的平分線上,則該點到這個角的兩邊的距離相等,是真命題. 類型二 四種命題及其相互關(guān)系 例2 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題: (1)若x∈A,則x∈A∪B; (2)若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù); (3)在△ABC中,若a>b,則A>B. 考點 四種命題 題點 四種命題的理解 解 (1)逆命題:若x∈A∪B,則x∈A; 否命題:若x?A,則x?A∪B; 逆否命題:若x?A∪B,則x?A. (2)逆命題:若a+b是偶數(shù),則a,b都是偶數(shù); 否命題:若a,b不都是偶數(shù),則a+b不是偶數(shù); 逆否命題:若a+b不是偶數(shù),則a,b不都是偶數(shù). (3)逆命題:在△ABC中,若A>B,則a>b; 否命題:在△ABC中,若a≤b,則A≤B; 逆否命題:在△ABC中,若A≤B,則a≤b. 反思與感悟 四種命題的轉(zhuǎn)換方法 (1)交換原命題的條件和結(jié)論,所得命題是原命題的逆命題. (2)同時否定原命題的條件和結(jié)論,所得命題是原命題的否命題. (3)交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時否定,所得命題是原命題的逆否命題. 跟蹤訓(xùn)練2 分別寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題: (1)若m>0,則x2+x-m=0有實數(shù)根; (2)三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等. 考點 四種命題 題點 四種命題的理解 解 (1)逆命題:若x2+x-m=0有實數(shù)根,則m>0. 否命題:若m≤0,則x2+x-m=0沒有實數(shù)根. 逆否命題:若x2+x-m=0沒有實數(shù)根,則m≤0. (2)逆命題:兩個全等三角形的三邊對應(yīng)相等. 否命題:三邊不對應(yīng)相等的兩個三角形不全等. 逆否命題:兩個不全等三角形的三邊不對應(yīng)相等. 例3 下列命題: ①“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題; ②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題; ③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題; ④“若ac2>bc2,則a>b”的逆命題. 其中是真命題的是________.(填序號) 考點 四種命題的真假判斷 題點 利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案 ①②③ 解析?、佟叭魓y=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x,y互為倒數(shù),則xy=1”,是真命題;②“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四邊不都相等的四邊形不是正方形”,是真命題;③“梯形不是平行四邊形”本身是真命題,所以其逆否命題也是真命題;④“若ac2>bc2,則a>b”的逆命題是“若a>b,則ac2>bc2”,是假命題.所以真命題是①②③. 反思與感悟 要判斷四種命題的真假:首先,要熟練四種命題的相互關(guān)系,注意它們之間的相互性;其次,利用其他知識判斷真假時,一定要對有關(guān)知識熟練掌握. 跟蹤訓(xùn)練3 下列命題中為真命題的是________.(填序號) ①“正三角形都相似”的逆命題; ②“若q≤1,則x2+2x+q=0有實根”的逆命題; ③“若x-是有理數(shù),則x是無理數(shù)”的逆否命題. 考點 四種命題的真假判斷 題點 利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案?、冖? 解析?、僭}的逆命題為“若兩個三角形相似,則這兩個三角形是正三角形”,故為假命題.②原命題的逆命題是“若x2+2x+q=0有實根,則q≤1”是真命題.③原命題的逆否命題為“若x不是無理數(shù),則x-不是有理數(shù)”.∵x不是無理數(shù),∴x是有理數(shù).又是無理數(shù),∴x-是無理數(shù),不是有理數(shù),故為真命題.∴命題中為真命題的是②③. 類型三 等價命題的應(yīng)用 例4 判斷命題“已知a,x為實數(shù),若關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,則a≥1”的逆否命題的真假. 考點 四種命題的相互關(guān)系 題點 四種命題相互關(guān)系的應(yīng)用 解 方法一 原命題的逆否命題為 已知a,x為實數(shù),若a<1, 則關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集. 真假判斷如下: 因為y=x2+(2a+1)x+a2+2的圖象開口向上, 判別式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7, 若a<1,則4a-7<0. 即y=x2+(2a+1)x+a2+2的圖象與x軸無交點. 所以關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集為空集. 故原命題的逆否命題為真. 方法二 先判斷原命題的真假. 因為a,x為實數(shù),且關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集, 所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0, 即4a-7≥0,a≥,所以a≥1成立, 所以原命題為真. 又因為原命題與其逆否命題等價,所以其逆否命題為真. 反思與感悟 (1)當(dāng)原命題的真假不易判斷,而逆否命題的真假容易判斷時,可通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假. (2)在證明某一個命題的真假性有困難時,可以證明它的逆否命題為真(假)命題,來間接地證明原命題為真(假)命題. 跟蹤訓(xùn)練4 證明:若a2-4b2-2a+1≠0,則a≠2b+1. 考點 四種命題的相互關(guān)系 題點 逆否證法 證明 “若a2-4b2-2a+1≠0,則a≠2b+1”的逆否命題為“若a=2b+1,則a2-4b2-2a+1=0”. ∵a=2b+1, ∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1 =4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0. ∴命題“若a=2b+1,則a2-4b2-2a+1=0”為真命題. 由原命題與逆否命題具有相同的真假性可知,原命題正確. 1.下列語句是命題的是________. ①若a>b,則a2>b2; ②a2>b2; ③方程x2-x-1=0的近似根; ④方程x2-x-1=0有根嗎? 考點 命題的概念及分類 題點 命題概念的理解 答案 ① 解析?、冖蹮o法判斷真假;④是疑問句,不是陳述句,不能判斷真假.故②③④不是命題. 2.命題“若α=,則tanα=1”的逆否命題是__________. 考點 四種命題 題點 四種命題概念的理解 答案 若tanα≠1,則α≠ 解析 命題“若α=,則tanα=1”的條件是“α=”,結(jié)論是“tanα=1”,故其逆否命題是“若tanα≠1,則α≠”. 3.(2018泰州中學(xué)月考)命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為____________________. 考點 四種命題 題點 四種命題概念的理解 答案 若a≤b,則2a≤2b-1 解析 否定條件作為條件,同時否定結(jié)論作為結(jié)論,所以命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為“若a≤b,則2a≤2b-1”. 4.已知命題:“若x≥0,y≥0,則xy≥0”,則原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中,真命題的個數(shù)是________. 考點 四種命題的真假判斷 題點 利用四種命題的關(guān)系判斷真假 答案 2 解析 由題意可判斷原命題為真命題,故其逆否命題也為真命題,其逆命題為“若xy≥0,則x≥0,y≥0”,為假命題,所以其否命題也為假命題,故四個命題中,真命題的個數(shù)為2. 5.已知命題“若m-1- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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