2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列滾動(dòng)訓(xùn)練(三)蘇教版必修5.docx
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第二章 數(shù)列 滾動(dòng)訓(xùn)練(三) 一、填空題 1.在△ABC中,AB=,A=45,C=75,則BC=______. 考點(diǎn) 正弦定理的應(yīng)用 題點(diǎn) 正弦定理的應(yīng)用 答案 3- 解析 設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. ∵AB=,A=45,C=75, 由正弦定理,得= ?==,解得BC=3-. 2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,S6=48,則{an}的公差為________. 考點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問題 答案 4 解析 設(shè)公差為d,a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24,S6=6a1+d=6a1+15d=48,聯(lián)立解得d=4. 3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c滿足b2+c2=a2+bc,且bc=8,則△ABC的面積等于________. 考點(diǎn) 用余弦定理解三角形 題點(diǎn) 逆用面積公式、余弦定理解三角形 答案 2 解析 因?yàn)閎2+c2=a2+bc,所以cosA==,A=,三角形面積S=bcsinA=2. 4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈________盞. 考點(diǎn) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 答案 3 解析 由題可知,塔每一層的燈數(shù)由上至下構(gòu)成等比數(shù)列.設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1,七層塔的總燈數(shù)為S7,公比為q,則由題意知S7=381,q=2, ∴S7===381,解得a1=3. 5.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=2,∠ACD=60,則AD=________. 考點(diǎn) 幾何圖形中的計(jì)算問題 題點(diǎn) 四邊形有關(guān)的幾何圖形計(jì)算問題 答案 解析 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos60,解得BC=,所以AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,在Rt△BCD中,CD===3,在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2ACCDcos60=7,所以AD=. 6.已知△ABC的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍,則最小內(nèi)角的余弦值是________. 考點(diǎn) 用正弦、余弦定理解三角形 題點(diǎn) 用正弦、余弦定理解三角形 答案 解析 設(shè)三邊長(zhǎng)分別為x-1,x,x+1, 所以==, 所以cosA==, 解得x=5,則三邊長(zhǎng)為4,5,6,所以cosA=. 7.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=,S6=,則a8=________. 考點(diǎn) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問題 答案 32 解析 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,由題可知q≠1, 則解得 所以a8=27=25=32. 8.已知{an}是首項(xiàng)為32的等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且=,則數(shù)列{|log2an|}的前10項(xiàng)和為________. 考點(diǎn) 等差等比數(shù)列綜合應(yīng)用 題點(diǎn) 等差等比基本量問題綜合 答案 58 解析 根據(jù)題意==q3,所以q=,從而有an=32n-1=27-2n,所以log2an=7-2n,所以有|log2an|=|2n-7|,所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=+=58. 9.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則=________. 考點(diǎn) 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn) 裂項(xiàng)相消法求和 答案 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則 由得 ∴Sn=n1+1=, ==2. ∴=+++…+ =2 =2=. 10.某沿海四個(gè)城市A,B,C,D的位置如圖所示,其中∠ABC=60,∠BCD=135,AB=80nmile,BC=40+30nmile,CD=250nmile.現(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)以50nmile/h的速度向D直線航行,60min后,輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行,則收到指令時(shí)該輪船到城市C的距離是________nmile. 考點(diǎn) 解三角形求距離 題點(diǎn) 測(cè)量方向角求距離 答案 100 解析 在△ABC中,AC2=802+(40+30)2-280(40+30)cos60=7500,則AC=50, 所以sin∠ACB==,所以cos∠ACB=, sin∠ACD=sin==, 則cos∠ACD=, AD2=(50)2+(250)2-250250, 可得AD=50=350, 設(shè)收到指令時(shí)該輪船到城市C的距離是x, 則=, 求得x=100. 11.若等比數(shù)列{an}的公比為,且a1+a3+…+a99=60,則{an}的前100項(xiàng)和為________. 考點(diǎn) 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn) 分組求和法 答案 80 解析 令X=a1+a3+…+a99=60,Y=a2+a4+…+a100,則S100=X+Y, 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)知:=q=, 所以Y=20,即S100=X+Y=80. 二、解答題 12.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積. 考點(diǎn) 幾何圖形中的計(jì)算問題 題點(diǎn) 三角形有關(guān)的幾何圖形計(jì)算問題 解 (1)由已知可得tanA=-,又A∈(0,π),所以A=. 在△ABC中,由余弦定理,得28=4+c2-4ccos, 即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4. (2)由題設(shè)可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為 =1. 又△ABC的面積為42sin∠BAC=2, 所以△ABD的面積為. 13.如圖,已知平面上直線l1∥l2,A,B分別是l1,l2上的動(dòng)點(diǎn),C是l1,l2之間的一定點(diǎn),C到l1的距離CM=1,C到l2的距離CN=,△ABC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,a>b,且bcosB=acosA. (1)判斷△ABC的形狀; (2)記∠ACM=θ,f(θ)=+,求f(θ)的最大值. 考點(diǎn) 正弦、余弦定理與其他知識(shí)的綜合 題點(diǎn) 正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合 解 (1)由正弦定理得=,且bcosB=acosA,得sin2B=sin2A, 又a>b,所以A>B,且A,B∈(0,π),所以2A+2B=π,所以C=,所以△ABC是直角三角形. (2)∠ACM=θ,由(1)得∠BCN=-θ, 則AC=,BC=, f(θ)=+=cosθ+sinθ=cos, 所以當(dāng)θ=時(shí),f(θ)的最大值為. 14.已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式; (2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連結(jié)點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 考點(diǎn) 數(shù)列前n項(xiàng)和的求法 題點(diǎn) 錯(cuò)位相減法求和 解 (1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q. 由題意得 所以3q2-5q-2=0, 由已知得q>0, 所以q=2,x1=1. 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=2n-1. (2)過P1,P2,…,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn, 由題意得bn=2n-1=(2n+1)2n-2, 所以Tn=b1+b2+…+bn =32-1+520+721+…+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2. ① 又2Tn=320+521+722+…+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1, ② ①-②得 -Tn=32-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)2n-1 =+-(2n+1)2n-1. 所以Tn=. 三、探究與拓展 15.在△ABC中,若=,則△ABC的形狀一定是__________. 考點(diǎn) 判斷三角形形狀 題點(diǎn) 利用正弦、余弦定理、三角變換判斷三角形形狀 答案 等腰或直角三角形 解析 原式可化為=?sin2A[sin(A-B)-sin(A+B)]+sin2B[sin(A-B)+sin(A+B)]=0?-sin2AcosAsinB+sin2BsinAcosB=0?-sin2A+sin2B=0?sin2A=sin2B?A=B或A+B=,故該三角形是等腰或直角三角形. 16.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d,對(duì)任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中項(xiàng). (1)設(shè)cn=b-b,n∈N*,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列; (2)設(shè)a1=d,Tn= (-1)kb,n∈N*,求證:<. 考點(diǎn) 數(shù)列綜合問題 題點(diǎn) 數(shù)列與不等式的綜合 證明 (1)由題意得b=anan+1, cn=b-b=an+1an+2-anan+1=2dan+1. 因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以{cn}是等差數(shù)列. (2)Tn=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b) =2d(a2+a4+…+a2n) =2d =2d2n(n+1). 所以== =<.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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