2018-2019學年高二數學上學期期中試題 理(含解析).doc

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2018-2019學年高二數學上學期期中試題 理(含解析) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.已知，下列說法正確的是 （ ） A. 若，則 B. 若，則 C. 若，則 D. 若，則 【答案】D 【解析】 【分析】 根據不等式性質得D成立，舉例說明A,B,C錯誤. 【詳解】因為2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A錯； 因為2>1 ,2?02=1?02,所以B錯； 因為-2<-1,->-1 ,所以C錯； 由不等式性質得若，則，所以D對，選D. 【點睛】本題考查不等式性質，考查分析判斷能力. 2.已知集合，，則=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求集合A,B，再根據交集定義求結果. 【詳解】因為，，所以= ，選B. 【點睛】求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解． 3.在中，，則（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理可求得sinB==，結合范圍，即可解得B的值． 【詳解】∵ ∴由正弦定理可得：sinB===， ,∴ 解得：B=或π． 故選：C． 【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，屬于基本知識的考查． 4.在各項都為正數的數列中，首項，且點 在直線上， 則數列的前項和為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 代入點，化簡可得數列{an}為首項為2，公比為3的等比數列，由等比數列的求和公式，化簡計算即可得到所求和． 【詳解】在正數數列{an}中，a1=2，且點在直線x﹣9y=0上， 可得an2=9an﹣12，即為an=3an﹣1， 可得數列{an}為首項為2，公比為3的等比數列， 則{an}的前n項和Sn等于==3n﹣1． 故選：B． 【點睛】本題考查數列與解析幾何的綜合運用，是一道好題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數列的前n項和公式和通項公式的靈活運用． 5.我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何．”意思是：“現有一根金錘，長5尺，頭部尺，重斤，尾部尺，重斤，且從頭到尾，每一尺的重量構成等差數列，問中間三尺共重多少斤．” A. 6斤 B. 7斤 C. 斤 D. 斤 【答案】D 【解析】 【分析】 將原問題轉化為等差數列的問題，然后利用等差數列的性質求解即可. 【詳解】原問題等價于等差數列中，已知，求的值. 由等差數列的性質可知：， 則，即中間三尺共重斤. 本題選擇D選項. 【點睛】本題主要考查等差數列的實際應用，等差數列的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力. 6.等差數列中，，且，為其前項和，則（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由題意可得：由等差數列的性質可得 ．即可得到答案. 【詳解】由題意可得：因為a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|， 所以由等差數列的性質可得：． 故選B． 【點睛】本題主要考查學生靈活運用等差數列的性質化簡求值，掌握等差數列的前n項和公式． 7.不等式 對于一切恒成立，那么的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 當時不等式即為，對一切恒成立，當時，利用二次函數的性質列出滿足的條件，結合兩種情況，即可得到答案． 【詳解】當時不等式即為，對一切恒成立， 當時，則須，解得，所以， 綜上所述，實數的取值范圍是，故選B． 【點睛】本題主要考查了不等式的恒成立問題的求解，其中解答中熟練應用一元二次函數的圖象與性質，注意對二次項系數的分類討論是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題． 8.已知數列的前項和，則數列的前項和為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根據和項與通項關系求， 根據等比數列定義判斷為等比數列，最后根據等比數列求和公式得結果. 【詳解】當時; 當時;所以，， 因此數列為等比數列，前項和為，選C. 【點睛】給出與的遞推關系求，常用思路是：一是利用轉化為的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為的遞推關系，先求出與之間的關系，再求. 應用關系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結果后，看看這兩種情況能否整合在一起. 9.設的內角所對的邊分別為,若，則的形狀為（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用三角恒等變換化簡2sin A cos B＝sin C得A=B. 【詳解】由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因為－π，因此. 【點睛】在解決等差、等比數列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法. 15.函數的最小值是______. 【答案】5 【解析】 【分析】 利用導數確定函數單調性，再見單調性確定函數最小值. 【詳解】因為當時，所以當時最小值為5. 【點睛】本題考查利用函數單調性求最值，考查利用導數求函數單調性，考查基本求解能力. 16.已知數列為正項的遞增等比數列， ，記數列的前項和為，則使不等式成立的最大正整數的值為______. 【答案】6 【解析】 【分析】 先根據條件求出首項與公比，再根據等比數列求和公式求，化簡不等式解得，最后確定滿足條件的最大正整數的值. 【詳解】由數列為正項的遞增等比數列，得公比>0 由 得 ,,,所以 因此滿足條件的最大正整數的值為6. 【點睛】本題考查等比數列通項公式、求和公式以及解指數不等式，考查基本求解能力. 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（1）已知，且，求的最小值； （2）已知 ,，，求證：. 【答案】（1）9 ； （2）8 . 【解析】 【分析】 （1）利用1的代換化簡，再根據基本不等式求最值，（2）利用1的代換化簡 ，再根據基本不等式證不等式. 【詳解】（1）由基本不等式可得， 當且僅當，等號成立，因此的最小值為9， （2）因為，所以 ，因此當且僅當等號成立， 當且僅當等號成立，， 當且僅當等號成立，所以， 當且僅當等號成立，因為，所以， 所以. 【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤. 18.如圖，在中，，是邊上一點，且. （1）求的長； （2）若，求的長及的面積. 【答案】(1) (2) 【解析】 試題分析：（1）在中由正弦定理可求得AD的長；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面積。 試題解析： （1）在中，由正弦定理得， 即 ∴ （2）∵，∴ 在中 ，由余弦定理得 ∴ ∴. 綜上，的面積為。 19.設函數． （1）若不等式的解集為，求實數、的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2）時解集為，時解集為，時解集為，時解集為，時解集為 【解析】 試題分析：（1）根據一元二次不等式的解集，利用根與系數的關系，即可求出實數a、m的值； （2）不等式化為（ax-1）（x-1）＜0，討論a=0和a＞0、a＜0時，求出不等式f（x）＜0的解集即可 試題解析：⑴∵， ∴不等式等價于， 依題意知不等式的解集為， ∴且1和2為方程的兩根， ∴， 解得， ∴實數、的值分別為、， ⑵不等式可化為， （?。┊敃r，不等式等價于，解得，故原不等式的解集為， 7分 （ⅱ）當時，不等式等價于， ①當時，不等式的解集為，即原不等式的解集為， ②當時，不等式的解集為，即原不等式的解集為， ③當時，不等式的解集為，即原不等式的解集為， （ⅲ）當時，不等式等價于， ∵， ∴， ∴不等式的解集為，即原不等式的解集為， 綜上所述，當時不等式的的解集為， 當時不等式的的解集為， 當時不等式的的解集為， 當時不等式的的解集為， 當時不等式的的解集為。 考點：一元二次不等式的解法；二次函數的性質 20.設的內角的對邊分別為,且. （1）求角的大小; （2）若,求的周長. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理將條件化為角的關系，化簡得，即得結果，（2）由正弦定理得 ，再根據余弦定理解得，最后求周長. 【詳解】（1） 由正弦定理得 在中， ，即； （2） ，由正弦定理得 又 ， 解得（負根舍去）， 的周長 【點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理以及三角形面積公式結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的. 21.某企業(yè)今年初用72萬元購買一套新設備用于生產，該設備第一年需各種費用12萬元，從第二年起，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該設備每年的總收入為50萬元，設生產x年的盈利總額為y萬元. 寫出y與x的關系式； ①經過幾年生產，盈利總額達到最大值？最大值為多少？ ②經過幾年生產，年平均盈利達到最大值？最大值為多少？ 【答案】（1）； （2）①經過10年生產，盈利總額達到最大值，最大值為128萬元. ②經過6年生產，年平均盈利達到最大值，最大值為16萬元. 【解析】 【分析】 （1）根據等差數列求和公式得x年所需總費用，再利用收入減去成本得盈利總額，即得結果，（2）①根據二次函數性質求最值，②根據基本不等式求最值. 【詳解】（1）x年所需總費用為， 所以盈利總額； （2）①因為對稱軸為，所以當時盈利總額達到最大值，為128萬元； ②因為，當且僅當時取等號,所以經過6年生產，年平均盈利達到最大值，最大值為16萬元. 【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤. 22.已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且，，數列、滿足，. （1）求 及；（2）數列 的前n項和為 ，證明 . 【答案】（1）， （2）見解析 【解析】 【分析】 （1）先根據條件求得公比，再代入等比數列通項公式與求和公式求得 及；（2）根據條件得，利用裂項相消法求得，即證得不等式 【詳解】（1）因為，所以（負舍）， 因此； （2），(), 因此=()+()()+...+()+()=()<(. 【點睛】裂項相消法是指將數列的通項分成兩個式子的代數和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如 (其中是各項均不為零的等差數列，c為常數)的數列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.