二次函數(shù)與幾何圖形的綜合有解析（2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題）

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二次函數(shù)與幾何圖形的綜合有解析（2019 年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題）專題八 二次函數(shù)與幾何圖 形的綜合中考備考攻略二次函數(shù)與幾何的綜合問題一般作為壓軸題呈現(xiàn),具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活等鮮明特點(diǎn),同時(shí)題型變化多樣,如求線段的長、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四邊形的存在性、相似三角形的存在性等等.1.二次函數(shù)與線段的長(1)一般設(shè)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x,縱坐標(biāo)為拋物線解析式,與之相關(guān)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為 x,縱坐標(biāo)為直線解析式,兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對值即為線段的長度；(2)建立關(guān)于線段長的二次函數(shù),通過求二次函數(shù)的最值進(jìn)而求線段長的最值；(3)線段長之和最小的問題,轉(zhuǎn)化為對稱點(diǎn)后用兩點(diǎn)之間線段最短解決.2.二次函數(shù)與圖形的面積(1)根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點(diǎn)選擇合適的方法解答圖形的面積；(2)通過觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問題的基本類型,并掌握二次函數(shù)中面積問題的相關(guān)計(jì)算,從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用；(3)利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),從而得出相關(guān)線段長,利用割補(bǔ)方法求圖形的面積.3.二次函數(shù)與特殊三角形(1)判斷等腰三角形,可以對頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論；(2)判斷直角三角形,可以對直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論.4.二次函數(shù)與特殊四邊形此類題型結(jié)合特殊四邊形的判定方法,對對應(yīng)邊進(jìn)行分類討論,求平行四邊形存在類問題用平移法解坐標(biāo)較簡單,其他特殊的平行四邊形結(jié)合判斷方法用邊相等、角為直角或?qū)蔷€的交點(diǎn)坐標(biāo)突破.5.二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合相似三角形判定 方法, 如果一個(gè)角為直角 ,只需兩直角邊之比分別相等,此時(shí)要對對應(yīng)邊分類討論.中考重難點(diǎn)突破二次函數(shù)與線段的長例 1 (2018?遂寧中考改編)如圖,已知拋物線y＝ax2＋32x＋4 的對稱軸是直線 x＝3,且與 x 軸相交于 A,B 兩點(diǎn)(B 點(diǎn)在 A 點(diǎn)右側(cè)),與 y 軸交于 C 點(diǎn). (1)求拋物線的解析式和 A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若 M 是拋物線上任意一點(diǎn),過點(diǎn) M 作 y 軸的平行線,交直線 BC 于點(diǎn) N,當(dāng) MN＝3 時(shí),求點(diǎn) M 的坐標(biāo).【解析】(1)由拋物線的對稱軸 x＝ 3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到 a 的值 ,進(jìn)而可得出拋物線的解析式,再利用拋物線與 x 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 可求出點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn) C 的坐標(biāo).由點(diǎn) B,C 的坐標(biāo) ,利用待定系數(shù)法可得直線 BC 的解析式.設(shè)點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m,可表示點(diǎn) M 的縱坐標(biāo).又由 MN∥y 軸, 可表示出點(diǎn) N 的橫縱坐標(biāo),進(jìn)而可用m 的代數(shù)式表示出 MN 的長,結(jié)合 MN＝3 即可得出關(guān)于 m 的含絕對值符號(hào)的一元二次方程,分類討論即可得出結(jié)果.【答案】解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋32x ＋4 的對稱軸是直線 x＝3, ∴－322a＝3,解得 a＝－14,∴拋物線的解析式為 y＝－14x2 ＋32x＋4.當(dāng) y＝0 時(shí) ,－14x2＋32x ＋4＝0,解得 x1＝－2,x2 ＝8.∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(－2,0),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(8,0) ；(2)當(dāng) x＝0 時(shí),y＝－14x2＋32x ＋4＝4,∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx＋b(k≠0).將 B(8,0),C(0,4)代入 y＝kx＋b,得8k＋b＝0，b＝4，解得 k＝－12， b＝4 ，∴直線 BC 的解析式為 y＝－12x＋4.設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 m，－14m2＋32m＋4,則點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 m，－12m＋4,∴MN ＝－14m2＋32m＋4－－12m＋4＝－14m2＋2m.又∵M(jìn)N ＝3,∴－14m2＋2m＝3.當(dāng)－14m2＋2m≥0,即 0≤m≤8 時(shí),－14m2 ＋2m＝3,解得 m1＝2,m2＝6,此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4).同理,當(dāng)－14m2＋2m＜0,即 m8 或 m0 時(shí),點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).綜上所述,點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,6),(6,4),(4－27,7 －1)或(4＋27,－7－1).1.(2018?安順中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線 x＝－1, 且拋物線與 x 軸交于 A,B 兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,其中 A(1,0),C(0,3).(1)若直線 y＝mx ＋n 經(jīng)過 B,C 兩點(diǎn),求直線 BC 和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸 x＝－1 上找一點(diǎn) M,使點(diǎn) M 到點(diǎn) A 的距離與到點(diǎn) C 的距離之和最小,求出點(diǎn) M 的坐標(biāo).解：(1)依題意,得－b2a＝－ 1，a＋ b＋c ＝0，c＝3，解得 a＝－1，b＝－2，c＝3，∴拋物線的解析式為 y＝－x2 －2x＋3.令 y＝0,則－x2－2x＋3＝0,解得 x1＝1,x2 ＝－3,∴點(diǎn) B(－3, 0).把 B(－3,0),C(0,3) 代入 y＝mx＋n,得－3m＋n＝0，n＝3，解得 m＝1，n＝3，∴直線 BC 的解析式為 y＝x＋3；(2)設(shè)直線 BC 與 x＝－1 的交點(diǎn)為 M,連接 AM.∵點(diǎn) A,B 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,∴MA＝MB,∴MA＋MC＝MB ＋MC＝BC,∴當(dāng)點(diǎn) M 為直線 BC 與 x＝－1 的交點(diǎn)時(shí),MA＋MC 的值最小.把 x＝－1 代入 y＝x＋3,得 y＝2,∴M(－1,2).二次函數(shù)與圖形的面積例 2 (2018?達(dá)州中考改編)如圖,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(72,0).(1)求拋物線的解析式；(2)連接 OA,過點(diǎn) A 作 AC⊥OA 交拋物線于點(diǎn) C,連接OC,求△AOC 的面積.【解析】(1)設(shè)交點(diǎn)式 y＝axx －72,然后把 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入求出 a,即可得到拋物線的解析式；(2)延長 CA 交 y 軸于點(diǎn) D,易得 OA＝2,∠DOA＝45°,則可判斷△AOD 為等腰直角三角形 ,由此可求出 D 點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線 AD 的解析式,再結(jié)合拋物線的解析式可得關(guān)于 x 的一元二次方程 ,解方程可得點(diǎn) C 的坐標(biāo),利用三角形面積公式及 S△AOC＝S△ COD－S△AOD 進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而得出△AOC 的面積.【答案】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 y＝axx－72.把 A(1,1)代入 y＝axx－72,可得 a＝－25,∴拋物線的解析式為 y＝－25xx－72,即 y＝－25x2 ＋75x；(2)延長 CA 交 y 軸于點(diǎn) D.∵A(1,1),∠OAC＝90°,∴OA＝2,∠DOA ＝45°,∴△AOD 為等腰直角三角形,∴OD＝2OA＝2,∴D (0,2).由點(diǎn) A(1,1),D(0,2),得直線 AD 的解析式為 y＝－x＋2.令－25x2＋75x＝－x＋2,解得 x1＝1,x2＝5.當(dāng) x＝ 5 時(shí),y＝－x＋2＝－3,∴C(5, －3),∴S△AOC ＝S △COD－S△AOD＝12×2×5－12×2×1＝4.2.(2018?眉山中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c 經(jīng)過點(diǎn) A(0,3),B(1,0),其對稱軸為直線l：x＝ 2,過點(diǎn) A 作 AC∥x 軸交拋物線于點(diǎn) C,∠AOB 的平分線交線段 AC 于點(diǎn) E,點(diǎn) P 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,設(shè)其橫坐標(biāo)為 m.(1)求拋物線的解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn) P 在直線 OE 下方的拋物線上 ,連接 PE,PO,當(dāng) m 為何值時(shí), 四邊形 AOPE 的面積最大？并求出其最大值.解：(1)由拋物線的對稱性易得 D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為 y＝a(x －1)(x－3).把 A(0,3)代入 y＝a(x－1)(x－3),得 3＝3a,解得 a＝1,∴拋物線的解析式為 y＝x2 －4x＋3 ；(2)由題意知 P(m,m2－4m＋3).∵OE 平分∠AOB,∠AOB ＝90°,∴∠AOE＝45 °,∴△AOE 是等腰直角三角形 ,∴AE ＝OA＝3,∴E(3,3).易得 OE 的解析式為 y＝x.過點(diǎn) P 作 PG∥y 軸,交 OE 于點(diǎn) G,則 G(m,m),∴PG＝m－(m2－4m＋3) ＝－m2＋5m －3.∴S 四邊形 AOPE＝S△AOE ＋S△PO E＝12 ×3×3＋12PG?AE＝92 ＋12 ×(－m2＋5m－3) ×3＝－32m2＋152m＝－32m－522＋758.∵－32 ＜0,∴當(dāng) m＝52 時(shí),四邊形 AOPE 的面積最大, 最大值是758.二次函數(shù)與特殊三角形例 3 (2018?棗莊中考改編)如圖,已知二次函數(shù)y＝ax2＋32x＋c(a≠0)的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A(0,4),與x 軸交于點(diǎn) B,C,點(diǎn) C 坐標(biāo)為(8,0),連接 AB,AC.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn) N 在 x 軸上運(yùn)動(dòng) ,當(dāng)以點(diǎn) A,N,C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請寫出此時(shí)點(diǎn) N 的坐標(biāo).【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案；(2)分別以 A,C 兩點(diǎn)為圓心,AC 長為半徑畫弧,與 x 軸交于三個(gè)點(diǎn),由 AC 的垂直平分線與 x 軸交于一個(gè)點(diǎn),即可求得點(diǎn) N 的坐標(biāo).【答案】解：(1)∵二次函數(shù) y＝ax2＋32x ＋c 的圖象與 y 軸交于點(diǎn) A(0,4),與 x 軸交于點(diǎn) C(8,0),∴c＝4，64a ＋12 ＋c ＝0，解得 a＝－ 14，c＝4，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為 y＝－14x2＋32x＋4；(2)∵A(0,4),C(8,0),∴AC＝42＋82 ＝45.①以點(diǎn) A 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點(diǎn) N,則AN＝AC,故△NAC 是以 NC 為底邊的等腰三角形,此時(shí)N 點(diǎn)坐標(biāo)為(－8,0)；②以點(diǎn) C 為圓心,AC 長為半徑作圓,交 x 軸于點(diǎn) N,則CN＝CA,故△ACN 是以 NA 為底邊的等腰三角形,此時(shí)N 點(diǎn)坐標(biāo)為(8 －45,0)或(8＋45,0) ；③作 AC 的垂直平分線,交 x 軸于點(diǎn) N,則 NA＝NC,故△ANC 是以 AC 為底邊的等腰三角形,此時(shí)點(diǎn) N 為 BC 的中點(diǎn).令 y＝－14x2＋32x ＋4＝0,解得 x1＝8,x2 ＝－2,此時(shí) N 點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).綜上所述,點(diǎn) N 在 x 軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn) A,N,C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(－8,0),(8－45,0),(3,0)或(8＋45,0).3.(2018?蘭州中考) 如圖,拋物線 y＝ax2 ＋bx－4 經(jīng)過A(－3,0),B(5, －4)兩點(diǎn),與 y 軸交于點(diǎn) C,連接 AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：AB 平分∠CAO；(3)拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) M,使得△ABM 是以AB 為直角邊 的直角三角形？若存在,求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.(1)解：將 A(－3,0),B(5, －4)代入 y＝ax2＋bx－ 4,得9a－ 3b－4＝0，25a＋5b－4＝－4 ，解得a＝16，b＝－56，∴拋物線的表達(dá)式為 y＝16x2 －56x－4；(2)證明：∵AO＝ 3,OC＝4,∴AC＝5.取 D(2,0),則 AD＝ AC＝5.由兩點(diǎn)間的距離公式可知 BD＝（5 －2）2＋（－4－0）2 ＝5.∵C(0,－4),B(5, －4),∴BC＝5.∴AD＝AC＝BD＝BC.∴四邊形 ACBD 是菱形 ,∴∠CAB＝∠BAD,∴AB 平分∠CAO；(3)解：如圖,拋物線的對稱軸交 x 軸與點(diǎn) E,交 BC 與點(diǎn)F,過點(diǎn) A,B 分別作 M′A⊥AB,MB⊥AB,交對稱軸于點(diǎn)M′,M.拋物線的對稱軸為 x＝52,AE＝ 115.∵A(－3,0),B(5, －4), ∴tan ∠EAB ＝12.∵∠M′AB＝90° ,∴tan ∠M′AE＝2.∴M′E＝2AE＝11,∴M′52，11.同理,tan ∠MBF ＝2.又∵BF＝52, ∴FM＝5,∴M52，－9.綜上所述,拋物線的對稱軸上存在點(diǎn) M52，11 或52，－ 9,使得△ABM 是以 AB 為直角邊的直角三角形.二次函數(shù)與四邊形例 4 (2018?河南中考改編)如圖,拋物線y＝ax2＋6x＋c 交 x 軸 于 A,B 兩點(diǎn),交 y 軸于點(diǎn) C,直線y＝x－5 經(jīng)過點(diǎn) B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn) A 的直線交直線 BC 于點(diǎn) M,當(dāng) AM⊥BC 時(shí),過拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn) B,C 重合),作直線 AM 的平行線交直線 BC 于點(diǎn) Q,若以點(diǎn) A,M,P,Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)； 【解析】(1)利用直線 BC 的解析式確定點(diǎn) B,C 的坐標(biāo) ,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)先利用拋物線的解析式求出 A 點(diǎn)坐標(biāo) ,再判斷△OCB 為等腰直角三角形,繼而得到∠OBC＝∠OCB＝45°,則△AMB 為等腰直角三 角形,進(jìn)而求出點(diǎn) M 的坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線 BC 的解析式設(shè)點(diǎn) P,Q 的坐標(biāo),根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分, 即可列出等式方程,解方程即可得到點(diǎn) P 的橫坐標(biāo).【答案】解：(1)當(dāng) x＝0 時(shí),y ＝－5,則 C(0,－5).當(dāng) y＝0 時(shí) ,y＝x －5＝0,解得 x＝5, 則 B(5,0).把 B(5,0),C(0,－5)代入 y＝ax2＋6x＋c,得25a＋30＋c＝0， c＝－5，解得 a＝－ 1，c＝－5 ，∴拋物線的解析式為 y＝－x2 ＋6x－5 ；(2)令 y＝－ x2＋6x－5＝0,解得 x1＝1,x2 ＝5,∴A(1,0).∵B(5,0),C(0,－5),∠BAC＝90°,∴△ OCB 為等腰直角三角形,∴∠OBC＝∠OCB ＝45°.又∵AM⊥BC,∴△AMB 為等腰直角三角形,∴AM＝22AB＝22×4＝22.∵以點(diǎn) A,M,P,Q 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,∴AM∥PQ,∴PQ＝AM ＝22,PQ ⊥BC.作 PD⊥x 軸交直線 BC 于點(diǎn) D,則∠PDQ＝45°,∴PD＝2PQ ＝2× 22＝4.設(shè) P(m,－m2＋6m－5),則 D(m,m－5).當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 上方時(shí),PD＝－m2 ＋6m－5－(m－5)＝－m2＋5m＝4,解得 m1＝1( 舍去),m2 ＝4；當(dāng)點(diǎn) P 在直線 BC 下方時(shí),PD＝m－5－(－m2＋6m －5)＝m2－5m＝4,解得 m3＝5＋412,m4 ＝5－412.綜上所述,點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 4,5＋412 或 5－412.4.(2018?濟(jì)寧中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn) A(3,0),B(－1,0),C(0,－3).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn) Q 在 x 軸上,點(diǎn) P 在拋物線上,是否存在以點(diǎn) B ,C,Q,P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在,求點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由. 解：(1)把 A(3,0),B(－1,0),C(0, －3) 代入 y＝ax2＋bx＋c,得9a＋ 3b＋c＝0，a－b＋c＝0，c＝－3，解得a＝1，b＝－ 2，c＝－3，∴該拋物線的解析式為 y＝x2 －2x－3 ；(2)存在以點(diǎn) B,C,Q,P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx－3,把 B(－1,0)代入,得－k－3＝0,即 k＝－3,∴直線 BC 的解析式為 y＝－3x－3.設(shè) Q(x,0),P(m,m2－2m－3).當(dāng)四邊形 BCQP 為平行四邊形時(shí) ,BC∥PQ,且 BC＝PQ.由 B(－1,0),C(0, － 3),得點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 3,即m2－2m－3＝3, 解得 m＝1±7,此時(shí) P(1＋7,3)或 P(1－7,3)；當(dāng)四邊形 BCPQ 為平行四邊形或四邊形是以 BC 為對角線的平行四邊形時(shí),點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為－ 3,即m2－2m－3＝－3,解得 m＝0 或 m＝2, 此時(shí) P(2,－3).綜上所述,存在以點(diǎn) B,C,Q,P 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,P 的坐標(biāo)為(1＋7,3) 或(1 －7,3),(2,－3).二次函數(shù)與相似三角形例 5 (2018?德州中考改編)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, 直線 y＝x－1 與拋物線 y＝－x2＋bx ＋c 交于 A,B兩點(diǎn),其中 A(m,0),B(4,n),該拋物線與 y 軸交于點(diǎn) C,與x 軸交于另一點(diǎn) D.(1)求 m,n 的值及該拋物線的解析式；(2)連接 BD,CD,在線段 CD 上是否存在點(diǎn) Q,使得以A,D,Q 為頂點(diǎn)的三角形與 △ABD 相似？若存在,請求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在, 請說明理由.【解析】(1)把點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)代入 y＝x－1 求出 m 與n 的值,確定點(diǎn) A,B 的坐標(biāo),然后代入 y＝－x2＋bx＋c求出 b 與 c 的值即可；(2)由點(diǎn) C,D 的坐標(biāo)易得直線 BC 的解析式為 y＝x－5,再由直線 AB 的解析式易得 AB∥CD,因此∠ADC ＝ ∠BAD. 分類討論：當(dāng) △DAQ∽△ABD 或△DQA∽△ABD 時(shí), 根據(jù)對應(yīng)邊成比例求出 DQ 的長,即可求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo).【答案】解：(1)把點(diǎn) A(m,0),B(4,n)代入 y＝x－1,得m＝ 1,n＝3,∴A(1,0),B(4,3).∵y＝－x2＋bx＋c 經(jīng)過 A,B 兩點(diǎn),∴－1＋b＋c＝0，－16＋4b＋c＝3，解得b＝6，c＝－5，∴該拋物線的解析式為 y＝－x2 ＋ 6x－5 ；(2)在線段 CD 上存在點(diǎn) Q,使得以 A,D,Q 為頂點(diǎn)的三角形與△ABD 相似.由(1)中結(jié)果可知 C(0,－5),D(5,0),∴直線 CD 的解析式為 y＝x－5.又∵直線 AB 的解析式為 y＝x－1,∴AB∥CD,∴∠BAD＝∠ADC.設(shè) Q(x,x－5)(0≤x5).當(dāng)△ABD∽△DAQ 時(shí),ABDA＝ADDQ,即 324＝4DQ, 解得 DQ＝823,由兩點(diǎn)間的距離公式,得(x－5)2 ＋(x－5)2＝8232,解得x＝73 或 x＝233(舍去),此時(shí) Q73，－83；當(dāng)△ABD∽△DQA 時(shí),ABDQ ＝ADDA＝1, 即 DQ＝32,∴(x－ 5)2＋(x－5)2＝(32)2,解得 x＝ 2 或 x＝8( 舍去), 此時(shí) Q(2,－3).綜上所述,點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (2,－3) 或 73，－83.5.(2018?深圳中考改編) 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線y＝ax－122－2 經(jīng)過點(diǎn) B－32 ，2.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖, 直線 AB 與 x 軸相交于點(diǎn) M,與 y 軸相交于點(diǎn) E,拋物線與 y 軸相交于點(diǎn) F,在直線 AB 上有一點(diǎn) P,若∠OPM＝∠MAF,求△POE 的面積.解：(1)把點(diǎn)B－32 ，2 代入 y＝ax－122 －2,解得 a＝1,∴拋物線的解析式為 y＝x －122－2,即 y＝x2－x－74；(2)由(1) 中結(jié)果得 A12，－2,F0，－74.設(shè)直線 AB 的解析式為 y＝kx＋b,由點(diǎn) A,B 的坐標(biāo),得－2 ＝12k＋b，2＝－32k＋b，解得k＝－2，b＝－1，∴直線 AB 的解析式為 y＝－2x－1,∴OE＝1,FE＝34.若∠OPM＝∠MAF,則當(dāng) OP∥AF 時(shí),△OPE ∽△FAE,∴OPFA＝OEFE＝134＝43,∴OP＝43FA＝43×12－02 ＋－2＋742＝53.設(shè)點(diǎn) P(t,－2t－1),則 OP＝t2＋（－2t－1）2 ＝53,即(15t＋2)(3t＋2)＝0,解得 t1＝－215,t2＝－23.由對稱性知,當(dāng) t1＝215 時(shí), 也滿足∠OPM ＝∠MAF,∴t1,t2 的值都滿足條件.∵S△POE＝12OE?|t|,∴當(dāng) t＝－215 時(shí) ,S△OPE＝12×1×215＝115 ；當(dāng) t＝－23 時(shí),S△OPE＝12×1×23＝13.綜上所述,△POE 的面積為 115 或 13.中考專題過關(guān)1.(2018?自貢中考改編) 如圖,拋物線 y＝ax2 ＋bx－3過 A(1,0),B(－3,0)兩點(diǎn),直線 AD 交拋物線于點(diǎn) D,點(diǎn) D的橫坐標(biāo)為－2,點(diǎn) P(m,n)是線段 AD 上的動(dòng)點(diǎn).(1)求直線 AD 及拋物線的解析式；(2)過點(diǎn) P 的直線垂直于 x 軸,交拋物線于點(diǎn) Q,求線段PQ 的長度 l 與 m 的關(guān)系式,m 為何值時(shí) ,PQ 最長？解：(1)把(1,0),(－3,0)代入 y＝ax2＋bx －3, 得a＋b－3＝ 0，9a－3b －3＝0，解得 a＝1，b＝2 ，∴拋物線的解析式為 y＝x2 ＋2x－3.當(dāng) x＝－2 時(shí),y＝( －2)2＋2×(－2)－3 ＝－3,即 D(－2,－3).設(shè)直線 AD 的解析式為 y＝kx＋b′ .將 A(1,0),D(－2,－3) 代入,得k＋ b′＝0，－2k＋b′＝－3，解得k＝ 1，b′＝－1，∴直線 AD 的解析式為 y＝x－1 ；(2)由(1) 可得 P(m,m－1),Q(m,m2 ＋ 2m－3),∴l(xiāng)＝(m －1)－(m2＋2m－3),即 l＝－m2－m＋2( －2≤m≤1),配方,得 l＝－m＋122 ＋94,∴當(dāng) m＝－12 時(shí),PQ 最長.2.(2018?中考改編) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線y＝ax2＋bx－5 交 y 軸于點(diǎn) A,交 x 軸于點(diǎn) B(－5,0)和點(diǎn) C(1,0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn) P 是直線 AB 下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),△ABP 的面積最大,求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)和△ABP 的最大面積.解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx －5 交 y 軸于點(diǎn) A,交 x 軸于點(diǎn) B(－5,0)和點(diǎn) C(1,0),∴25a－5b－5＝0，a＋b－5＝0，解得 a＝1 ，b＝4，∴該拋物線的解析式為 y＝x2 ＋4x－5 ；(2)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(p,p2＋4p－5),如圖.由點(diǎn) A(0,－5),B(－5,0) 得直線 AB 的解析式為y＝－x－5.當(dāng) x＝ p 時(shí),y＝－p－5.∵OB＝5,∴S△ABP＝（－p－5）－（p2＋4p－5 ）2?5＝－52p＋522 －254.∵點(diǎn) P 是直線 AB 下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),∴－5＜p＜0,∴當(dāng) p＝－52 時(shí),S 取得最大值,此時(shí) S＝ 1258,點(diǎn) P 的坐標(biāo)是－52，－354,即當(dāng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為－ 52，－354 時(shí),△ABP 的面積最大,此時(shí)△ABP 的面積是 1258.3.(2018?泰安中考改編) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中 ,二次函數(shù) y＝ax2＋ bx＋c 交 x 軸于點(diǎn) A(－4,0),B(2,0), 交y 軸于點(diǎn) C(0,6),在 y 軸上有一點(diǎn) E(0,－2),連接 AE.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn) P,使 △AEP 為等腰三角形？若存在,請求出所有 P 點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在 ,請說明理由.解：(1)∵二次函 數(shù) y＝ax2＋bx＋c 經(jīng)過點(diǎn) A(－4,0),B(2,0),C(0,6),∴16a－4b＋c＝0 ，4a＋2b＋c ＝0，c＝6 ，解得a＝－34 ，b＝－32，c＝6 ，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為 y＝－34x2－32x＋6；(2)在拋物線對稱軸上存在點(diǎn) P,使△ AEP 為等腰三角形.∵拋物線 y＝－34x2 －32x＋6 的對稱軸為 x＝－1, ∴設(shè) P(－1,n).又∵E(0,－2),A(－4,0),∴PA＝9＋n2,PE＝1＋（n＋2）2,AE＝ 16＋4＝25.當(dāng) PA＝PE 時(shí),9＋n2＝1＋（n＋2）2,解得 n＝1,此時(shí) P(－1,1) ；當(dāng) PA＝AE 時(shí),9＋n2＝25,解得 n＝±11,此時(shí) P(－1,±11)；當(dāng) PE＝AE 時(shí),1＋（n＋2 ）2＝25,解得 n＝－2±19,此時(shí) P (－1,－2±19).綜上所述,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (－1,1),(－1, ±11)或(－1,－2±19).4.(2018?上海中考) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知拋物線 y＝－12x2 ＋bx＋c 經(jīng)過點(diǎn) A(－1,0) 和點(diǎn)B0，52,頂點(diǎn)為 C,點(diǎn) D 在其對稱軸上且位于點(diǎn) C 下方,將線段 DC 繞點(diǎn) D 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90°,點(diǎn) C 落在拋物線上的點(diǎn) P 處 .(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)求線段 CD 的長；(3)將拋物線平移,使其頂點(diǎn) C 移到原點(diǎn) O 的位置,這時(shí)點(diǎn) P 落在點(diǎn) E 的位置,如果 點(diǎn) M 在 y 軸上,且以 O,D,E,M為頂點(diǎn)的四邊形面積為 8,求點(diǎn) M 的坐標(biāo).解：(1)把 A(－1,0),B0，52 代入 y＝－12x2＋bx＋c,得－12 －b＋c＝0 ，c＝52，解得 b＝2，c＝52，∴這條拋物線的表達(dá)式為 y＝－12x2＋2x ＋52；(2)∵y＝－ 12(x－2)2＋92,∴C2，92,拋物線的對稱軸為直線 x＝2.如圖,設(shè) CD＝t, 則 D2，92－t.由題意,得∠PDC＝90 °,DP＝DC＝ t,∴P2＋t， 92－t.把 P2＋t ，92－t 代入 y＝－12x2＋2x＋52,可得t1＝0(舍去),t2＝2.∴線段 CD 的長為 2；(3)由(2) 易知 P4，52,D2，52.∴平移后,E 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,－2).設(shè) M(0,m),則 12?|m|＋52＋2?2＝8,∴m ＝±72,∴點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 0，72 或 0，－ 72.5.(2018?綿陽中考改編) 如圖,已知拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)過點(diǎn) A(3,－3)和點(diǎn) B(33,0).過點(diǎn) A 作直線 AC∥x 軸, 交 y 軸于點(diǎn) C.(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上取一點(diǎn) P,過點(diǎn) P 作直線 AC 的垂線,垂足為點(diǎn) D.連接 OA,使得以 A,D,P 為頂點(diǎn)的三角形與△AOC 相似,求出對應(yīng)點(diǎn) P 的坐標(biāo).解：(1)把點(diǎn) A(3,－3),B(33,0)代入 y＝ax2＋bx,得3a＋ 3b＝－3，27a＋33b＝0，解得 a＝12，b＝－332.∴拋物線的解析式為 y＝12x2 －332x；(2)設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 x，12x2 －332x.①若點(diǎn) P 在直線 AD 上方, 則AD＝x－3,PD＝12x2 －332x ＋3.當(dāng)△OCA∽△ADP 時(shí),OCAD＝CADP,即 3x－3＝312x2－332x＋3,∴x＝ 833 或 x＝3( 舍去), 此時(shí) P833，－43；當(dāng)△OCA∽△PDA 時(shí),OCPD＝CADA,即 312x2－332x＋3＝3x －3,∴x＝ 43 或 x＝3( 舍去), 此時(shí) P(43,6)；②若 P 在直線 AD 下方, 同理可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為433，－103.綜上所述,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 833，－43,(43,6)或433，－103.6.如圖,在 ⊙C 的內(nèi)接△AOB 中,AB ＝AO＝4,tan ∠AOB＝34,拋物線 y＝ax2＋bx 經(jīng)過點(diǎn) A(4,0),(－2,6).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)直線 m 與⊙C 相切于點(diǎn) A,交 y 軸于點(diǎn) D.動(dòng)點(diǎn) P 在線段 OB 上,從點(diǎn) O 出發(fā)向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q 在線段 DA 上, 從點(diǎn) D 出發(fā)向點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)；點(diǎn) P 的速度為每秒 1 個(gè)單位長度,點(diǎn) Q 的速度為每秒 2 個(gè)單位長度.當(dāng) PQ⊥AD 時(shí),求運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t 的值.解：(1)∵拋物線 y＝ax2＋bx 經(jīng)過點(diǎn) A(4,0),(－2,6),∴16a＋4b＝0，4a－2b＝6，解得 a＝12，b＝－2.∴拋物線的解析式為 y＝12x2 －2x.(2)連接 AC 交 OB 于點(diǎn) E,由垂徑定理得 AC⊥OB.∵AD 為⊙C 的切線,∴AC⊥AD.∴AD∥OB.∴∠AOB＝∠OAD.∵tan ∠AOB＝34,∴tan ∠OAD＝34.∴OD＝OA tan ∠OAD＝4×34＝3.當(dāng) PQ⊥AD 時(shí),OP＝t,DQ ＝2t.過點(diǎn) O 作 OF⊥AD 于點(diǎn) F,則四邊形 OFQP 是矩形.∴DF＝DQ －FQ ＝DQ－OP＝2t －t ＝t.∵∠DOF＋∠AOF＝∠OAF ＋∠AOF ＝90°,∴∠DOF＝∠OAF.∴tan ∠DOF＝DFOF＝tan ∠OAD ＝34.∴OF＝43DF.在 Rt△ODF 中,OD＝3,OF ＝43DF,OD2＝OF2 ＋DF2,∴32 ＝( DF)2＋DF2.∴DF＝1.8.∴t＝1.8(s).