九年級數(shù)學下冊 第2章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 2.4.1 二次函數(shù)的應(yīng)用同步練習 北師大版.doc

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2.4.1二次函數(shù)的應(yīng)用 一、夯實基礎(chǔ) 1．如圖所示的拋物線的解析式是 ( ) A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2 C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋2 2．如圖所示的是二次函數(shù)y＝ax2－x＋a2－1的圖象，則a的值是 ． 3．已知拋物線y＝4x2－11x－3，則它的對稱軸是 ，與x軸的交點坐標是 ，與y軸的交點坐標是 . 4．拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸的正半軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且線段AB的長為1，△ABC的面積為l，則b的值是 ． 5．用12米長的木料做成如圖2－111所示的矩形窗框(包括中間的十字形)，當長、寬各為多少時，矩形窗框的面積最大?最大面積是多少? 二、能力提升 6.（xx青海西寧3分）如圖，在△ABC中，∠B=90，tan∠C=，AB=6cm．動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動．若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，在運動過程中，△PBQ的最大面積是（　?。? A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2 7．如圖2－112所示，△ABC的面積為2400c m2，底邊BC的長為80cm，若點D在BC上，點E在AC上，點F在AB上，且四邊形BDEF為平行四邊形，設(shè)BD＝x cm，SBDEF=y cm2． (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求自變量x的取值范圍； (3)當x為何值時，y最大?最大值是多少? 8．如圖所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120，E為BC上一動點(不與B重合)，作EF⊥AB于F，延長FE與DC的延長線交于點G，設(shè)BE＝x，△DEF的面積為S． (1)求證△BEF∽△CEG； (2)用x表示S的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； (3)當E運動到何處時，S有最大值，最大值為多少? 三、課外拓展 9．如圖所示，在邊長為8cm的正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩個點，它們分別從點A、點C同時出發(fā)，沿對角線以1 cm／s的相同速度運動，過E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角邊于H；過F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角邊于G，連接HG，EB. 設(shè)HE，EF，F(xiàn)G，GH圍成的圖形面積為S1，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0)．若E到達C，F(xiàn)到達A，則停止運動．若E的運動時間為x s，解答下列問題． (1)當0＜x＜8時，直接寫出以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是什么四邊形，并求x為何值時，S1=S2； (2)①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(圖2－115為備用圖)②求y的最大值． 四、中考鏈接 1.（xx?菏澤第8題3分）如圖，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上，C、D兩點不重合，設(shè)CD的長度為x，△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y，則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ） 　 A． B． C． D． 2.（xx?廣西賀州，第26題12分）二次函數(shù)圖象的頂點在原點O，經(jīng)過點A（1，）；點F（0，1）在y軸上．直線y=﹣1與y軸交于點H． （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點M，求證：FM平分∠OFP； （3）當△FPM是等邊三角形時，求P點的坐標． 答案 1．D 2．1[提示：拋物線開口向上，故a＞0．因為圖象過原點，所以a2－1＝0，所以a＝1，所以a＝1．] 3．x＝ (3，0), (－，0) (0，－3) 4．－3 5．解：設(shè)窗框的長為x米，則窗框的寬為米，矩形窗框的面積y＝x()＝－x2＋4x．配方得y＝－(x－2)2＋4．∵a=－l＜0，∴函數(shù)y＝－(x－2)2＋4有最大值．當x＝2時，y最大值＝4平方米，此時＝4－2＝2(米)，即當長、寬各為2米時，矩形窗框的面積最大，最大值為4平方米． 6.解：∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8， 由題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， 設(shè)△PBQ的面積為S， 則S=BPBQ=2t（6﹣t）， S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4， ∴當t=3時，S有最大值為9， 即當t=3時，△PBQ的最大面積為9cm2； 故選C． 7．解：(1)設(shè)A到BC的距離為d cm，E到BC的距離為h cm，則y=SBDEF=xh．∵S△ABC＝BCd，∴2400=80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．(2)自變量x的取值范圍是0＜x＜80． (3)∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴當x＝40時，y最大值＝1200． 8．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG． (2)解：由(1)得，∠G＝∠BFE＝90，∴DG為△DEF中EF邊上的高．在Rt△BFE中，∠B=60，EF＝BEsin B＝x.在Rt△CGE中，CE=3－x，CG=(3－x)cos 60=，∴DG=DC＋CG=，∴S=EFDG=－x2＋x，其中0＜x≤3． (3)解：∵a=－＜0，對稱軸x＝，∴當0＜x≤3時，S隨x的增大而增大，∴當x＝3，即E與C重合時，S有最大值，S最大值＝3． 9．解：(1)以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是矩形．∵正方形ABCD的邊長為8，∴AC=16．∵AE＝x，過點B作BO⊥AC于O，如圖2－116所示，則BO＝8，∴S2＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S1=x(16－2x)．當S1＝S2，即x(16－2x)=4x時，解得x1=0(舍去)，x2＝6．∴當x＝6時，S1＝S2． (2)①當0≤x＜8時，如圖2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x2＋20x． 當8≤x≤16時，如圖所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S1＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x2＋52x－256． (2)解法1：②當0≤x＜8時，y＝－2x2＋20x＝－2(x2－10x＋25)＋50=－2(x－5)2＋50，∴當x＝5時，y的最大值為50．當8≤x≤16時，y＝－2x2＋52x－256=－2(x－13)2＋82，∴當x＝13時，y的最大值為82．綜上可得，y的最大值為82． 解法2：②y＝－2x2＋20x(0≤x＜8)，當x＝－＝5時，y最大值＝＝50．y=－2x2＋52x－256(8≤x≤16)，當x=－＝13時，y最大值=＝82．綜上可得，y的最大值為82． 中考鏈接： 1.A 2.解答：（1）解：∵二次函數(shù)圖象的頂點在原點O， ∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2， 將點A（1，）代入y=ax2得：a=， ∴二次函數(shù)的解析式為y=x2； （2）證明：∵點P在拋物線y=x2上， ∴可設(shè)點P的坐標為（x，x2）， 過點P作PB⊥y軸于點B，則BF=x2﹣1，PB=x， ∴Rt△BPF中， PF==x2+1， ∵PM⊥直線y=﹣1， ∴PM=x2+1， ∴PF=PM， ∴∠PFM=∠PMF， 又∵PM∥x軸， ∴∠MFH=∠PMF， ∴∠PFM=∠MFH， ∴FM平分∠OFP； （3）解：當△FPM是等邊三角形時，∠PMF=60， ∴∠FMH=30， 在Rt△MFH中，MF=2FH=22=4， ∵PF=PM=FM， ∴x2+1=4， 解得：x=2， ∴x2=12=3， ∴滿足條件的點P的坐標為（2，3）或（﹣2，3）．