2020版高考數學一輪復習 第11章 算法復數推理與證明 第3講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第11章 算法復數推理與證明 第3講 A組　基礎關 1．由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“ab＝ba”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③“(mn)t＝m(nt)”類比得到“(ab)c＝a(bc)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，ap＝xp?a＝x”； ⑤“|mn|＝|m||n|”類比得到“|ab|＝|a||b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結論正確的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵向量的數量積滿足交換律，∴①正確； ∵向量的數量積滿足分配律，∴②正確； ∵向量的數量積不滿足結合律，∴③不正確； ∵向量的數量積不滿足消去律，∴④不正確； 由向量的數量積公式，可知⑤不正確； ∵向量的數量積不滿足消去律，∴⑥不正確； 綜上知，正確的個數為2個，故B正確． 2．在用演繹推理證明通項公式為an＝cqn(cq≠0)的數列{an}是等比數列的過程中，大前提是(　　) A．an＝cqn B.＝q(n≥2) C．若數列{an}滿足(n∈N*)是常數，則{an}是等比數列 D．若數列{an}滿足(n≥2)是常數，則{an}是等比數列 答案　C 解析　證明一個數列是等比數列的依據是等比數列的定義，其公式表示為(n∈N*)或(n≥2)是常數． 3．(2018江西南昌模擬)已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，則n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　C 解析　觀察所提供的式子可知，等號左邊最后一個數是n3時，等號右邊的數為2，因此，令2＝3025，則＝55，n＝10或n＝－11(舍去)． 4.(2018山西孝義期末)我們知道：在平面內，點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為(　　) A．3 B．5 C. D．3 答案　B 解析　利用類比的方法，在空間中，點(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離d′＝，所以點(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距離d＝＝＝5. 5．將自然數0,1,2，…按照如下形式進行擺列： 根據以上規(guī)律判定，從2017到2019的箭頭方向是(　　) 答案　B 解析　看作一個循環(huán)體，又因為2016＝5044.所以從2017到2019的箭頭方向是. 6．(2018安徽江淮十校三聯)我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現的是一種無限與有限的轉化過程，比如在 中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確定x＝2，則1＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故選C. 7．(2018陜西一模)設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝，類比這個結論可知，四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內切球半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設四面體的內切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，由平面圖形中r的求解過程類比空間圖形中R的求解過程可得四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和，則四面體的體積為 V＝V四面體S－ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝.故選C. 8．(2018湖北八校聯考)二維空間中，圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝πr3.應用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝________. 答案　2πr4 解析　在二維空間中，圓的二維測度(面積)S＝πr2，則其導數S′＝2πr，即為圓的一維測度(周長)l＝2πr；在三維空間中，球的三維測度(體積)V＝πr3，則其導數V′＝4πr2，即為球的二維測度(表面積)S＝4πr2；應用合情推理，在四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝2πr4. 9．(2018重慶調研)甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后互相交換．三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最后讀的書與丙讀的第二本書相同．”乙說：“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同．”根據以上說法，推斷乙讀的最后一本書是________讀的第一本書． 答案　丙 解析　因為共有三本書，而乙讀的第一本書與第二本書已經明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書． 10．已知點A(x1，ax1)，B(x2，a x2)是函數y＝ax的圖象上任意不同的兩點，依據圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數圖象的上方，因此有成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數y＝sinx(x∈(0，π))圖象上任意不同的兩點，則類似地有______________成立． 答案　1，n∈N*)，若fm(x)＝(m∈N*)，則m＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．126 答案　B 解析　由題意可得f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1＝＝， 同理可得，f3(x)＝，f4(x)＝， f5(x)＝，…，fn(x)＝， 由fm(x)＝(m∈N*)恒成立，可得2m－2＝256＝28，即有m－2＝8，即m＝10. 3．已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，試歸納猜想出Sn的表達式為(　　) A．Sn＝ B．Sn＝ C．Sn＝ D．Sn＝ 答案　A 解析　∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝Sn－1，又S1＝a1＝1，則S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故選A. 4．(2017全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則(　　) A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績 答案　D 解析　由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．故選D. 5．(2018黑龍江檢測)設等差數列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數列．類比以上結論我們可以得到的一個真命題為：設等比數列{bn}的前n項積為Tn，則________________成等比數列． 答案　T4，，， 解析　設等比數列{bn}的公比為q，首項為b1， 則T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28， T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66， T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120， ∴＝bq22，＝bq38，＝bq54， 故T4，，，成等比數列． 6．如圖，平面上，點A，C為射線PM上的兩點，點B，D為射線PN上的兩點，則有＝(其中S△PAB，S△PCD分別為△PAB，△PCD的面積)；空間中，點A，C為射線PM上的兩點，點B，D為射線PN上的兩點，點E，F為射線PL上的兩點，則有＝________(其中VP－ABE，VP－CDF分別為四面體P－ABE，P－CDF的體積)． 答案　 解析　設PM與平面PDF所成的角為α， 則A到平面PDF的距離h1＝PAsinα，C到平面PDF的距離h2＝PCsinα，∴VP－ABE＝VA－PBE＝S△PBEh1， VP－CDF＝VC－PDF＝S△PDFh2， ∴＝＝ ＝. 7．如圖，將邊長分別為1,2,3的正八邊形疊放在一起，同一邊上相鄰珠子之間的距離為1，若以此方式再放置邊長為4,5,6，…，10的正八邊形，則這10個正八邊形鑲嵌的珠子總數是________． 答案　341 解析　邊長為1,2,3，…，10的正八邊形疊放在一起，則各個正八邊形上的珠子數分別為8,28,38，…，108，其中，有3個珠子被重復計算了10次，有2個珠子被重復計算了9次，有2個珠子被重復計算了8次，有2個珠子被重復計算了7次，有2個珠子被重復計算了6次，…，有2個珠子被重復計算了1次，故不同的珠子總數為(8＋28＋38＋…＋108)－(39＋28＋27＋26＋…＋21)＝440－＝341，故所求總數為341. 8．如圖，將平面直角坐標系中的格點(橫、縱坐標均為整數的點)按如下規(guī)則標上數字標簽：原點處標0，點(1,0)處標1，點(1，－1)處標2，點(0，－1)處標3，點(－1，－1)處標4，點(－1,0)處標5，點(－1，1)處標6，點(0,1)處標7，依此類推，則標簽為20192的格點的坐標為________． 答案　(1010,1009) 解析　觀察已知圖形可知， 點(1,0)處標1，即12， 點(2,1)處標9，即32， 點(3,2)處標25，即52， …… 由此推斷， 點(n＋1，n)處標(2n＋1)2. 當2n＋1＝2019時，n＝1009， 故標簽為20192的格點的坐標為(1010,1009)．