2019高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù) 3.1.2 復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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3.1.2　復(fù)數(shù)的概念 1．了解引進復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)集的擴充過程：自然數(shù)集(N)―→整數(shù)集(Z)―→有理數(shù)集(Q)―→實數(shù)集(R)―→復(fù)數(shù)集(C)． 2．理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念，例如：虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件． 1．實數(shù)系 實數(shù)就是小數(shù)，它包括____________________________和________________________． 實數(shù)的性質(zhì)有：①實數(shù)對四則運算是封閉的，即兩個實數(shù)進行四則運算的結(jié)果仍然是實數(shù)；②0與1的性質(zhì)為0＋a＝a＋0＝a，1a＝a1＝a；③加法和乘法都適合交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律．實數(shù)系和數(shù)軸上的點可以建立________關(guān)系． 【做一做1】數(shù)系擴充的脈絡(luò)是：________→________→________，用集合符號表示為________________________． 2．虛數(shù)單位的性質(zhì) i2＝______. 顯然i是－1的一個平方根，即i是方程x2＝－1的一個解． 【做一做2】關(guān)于x的方程x2＋1＝0的解是(　　)． A．1 B．i C．i D．無解 3．復(fù)數(shù)的概念 (1)設(shè)a，b都是實數(shù)，形如a＋bi的數(shù)叫做______，復(fù)數(shù)通常用小寫字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的______，b叫做復(fù)數(shù)z的______，i稱作虛數(shù)單位． 當b＝0時，復(fù)數(shù)就成為實數(shù)；除了實數(shù)以外的數(shù)，即當b≠0時，a＋bi叫做______．而當b≠0且a＝0時，bi叫做______． (2)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做______．復(fù)數(shù)集通常用大寫字母C表示，即C＝{z|z＝a＋bi，a∈R，b∈R}． 顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的______，即RC. 【做一做3－1】設(shè)C＝{復(fù)數(shù)}，A＝{實數(shù)}，B＝{純虛數(shù)}，全集U＝C，那么下面結(jié)論正確的是(　　)． A．A∪B＝C B．?UA＝B C．A∩?UB＝ D．B∪?UB＝C 【做一做3－2】若z＝a＋bi(a，b∈R)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)． A．若a＝0，則z是純虛數(shù) B．若b＝0，則z是實數(shù) C．若a＋(b－2)i＝5＋3i，則a＝5，b＝2i D．z的平方不可能為－1 4．復(fù)數(shù)相等 如果兩個復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di的實部與虛部分別對應(yīng)相等，我們就說這兩個復(fù)數(shù)______，記作a＋bi＝c＋di. 這就是說，如果a，b，c，d都是實數(shù)，那么 a＋bi＝c＋di____________； a＋bi＝0____________. 【做一做4－1】實數(shù)x，y滿足方程(x＋y)＋(2x－y)i＝5＋4i，則x＝________，y＝________. 【做一做4－2】若復(fù)數(shù)(m2－5m－6)＋(m2＋4m＋3)i等于零，則實數(shù)m的值是(　　)． A．－3或－1 B．6或－1 C．－3 D．－1 如何理解“兩個復(fù)數(shù)(不全為實數(shù))只能說相等或不相等，不能比較大小”？ 剖析：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，知在a＝c，b＝d兩式中，只要有一個不成立，那么a＋bi≠c＋di. (2)若兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)，則可以比較大小，反之，若兩個復(fù)數(shù)能比較大小，則它們必都是實數(shù)(即虛部均為0)． (3)若兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)，則不能比較大?。安荒鼙容^大小”的確切含義是指：不論怎樣定義兩個復(fù)數(shù)之間的一個關(guān)系，都不能使這種關(guān)系同時滿足實數(shù)集中大小關(guān)系的四種性質(zhì)： ①對于任意實數(shù)a，b來說，a＜b，a＝b，b＜a這三種情況有且只有一種成立； ②若a＜b，b＜c，則a＜c； ③若a＜b，則a＋c＜b＋c； ④若a＜b，c＞0，則ac＜bc. 題型一 復(fù)數(shù)的分類 【例題1】實數(shù)k為何值時，復(fù)數(shù)(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i分別是：(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？(4)零？ 分析：根據(jù)定義求解． 題型二 復(fù)數(shù)相等 【例題2】已知x是實數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足(3x－10)＋i＝y(tǒng)－3i，求x與y. 分析：因為y是純虛數(shù)，所以可設(shè)y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右兩邊都整理成a＋bi的形式后，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x與b的方程組，求解后得x與b的值． 反思：一般利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，可由一個復(fù)數(shù)等式得到兩個實數(shù)等式組成的方程組，從而可確定兩個獨立參數(shù)．復(fù)數(shù)相等是實現(xiàn)復(fù)數(shù)向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)化的橋梁． 題型三 復(fù)數(shù)與實數(shù)之間的關(guān)系 【例題3】已知z1＝m2－(m2－3m)i，z2＝(m2－4m＋3)i＋10，(m∈R) 若z1＜z2，求實數(shù)m的取值范圍． 分析：由z1＜z2，可知z1，z2∈R，故虛部為0. 反思：兩個復(fù)數(shù)，只有當它們?nèi)菍崝?shù)時才能比較大小． 題型四 易錯辨析 易錯點：本節(jié)常出現(xiàn)的錯誤是混淆復(fù)數(shù)中的有關(guān)概念，忽視復(fù)數(shù)集與實數(shù)集中有關(guān)性質(zhì)的不同而導(dǎo)致做題錯誤，避免錯誤發(fā)生的關(guān)鍵是弄清虛數(shù)、純虛數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)相等等有關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系． 【例題4】下列命題中： ①兩個復(fù)數(shù)不能比較大小； ②若z＝a＋bi，則僅當a＝0，b≠0時z為純虛數(shù)； ③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3； ④x＋yi＝1＋i?x＝y(tǒng)＝1； ⑤若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)． 其中正確命題的個數(shù)是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 錯解：B 1若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　)． A．1 B．2 C．1或2 D．－1 2若z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ，當z1＝z2時，θ為(　　)． A．kπ B．＋2kπ C．＋2kπ D．＋2kπ，k∈Z 3已知復(fù)數(shù)z＝－x＋(x2－4x＋3)i＞0，則實數(shù)x＝________. 4給出下列五個命題： ①若a＜0，則＝a； ②若x為任意實數(shù)，則(x2＋1)0＝1； ③方程＝0沒有實數(shù)根； ④方程＋＝0無實數(shù)根； ⑤當a＞0時，關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋a＝0有兩個正根． 其中正確的命題有________． 答案： 基礎(chǔ)知識梳理 1．有理數(shù)(有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù))　無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))　一一對應(yīng) 【做一做1】自然數(shù)系　有理數(shù)系　實數(shù)系　N　Q　R 2．－1 【做一做2】C　由于i2＝－1，∴(－i)2＝－1，∴i都是x2＋1＝0的解． 3．(1)復(fù)數(shù)　實部　虛部　虛數(shù)　純虛數(shù)　(2)復(fù)數(shù)集　真子集 【做一做3－1】D　∵{實數(shù)}∪{虛數(shù)}＝{復(fù)數(shù)}，∴選項A不正確．由以上分析知?UA＝{虛數(shù)}．∴選項B不正確．∵?UB中會有實數(shù)，∴選項C不正確． 【做一做3－2】B　若z是純虛數(shù)，則a＝0且b≠0；a＋(b－2)i＝5＋3i，由于a，b均為實數(shù)，∴a＝5，b＝5；當a＝0，b＝1時，z＝i，其平方為－1. 4．相等　a＝c，且b＝d　a＝0，且b＝0 【做一做4－1】3　2　由題意可得∴ 【做一做4－2】D　由復(fù)數(shù)相等的定義可得，解得m＝－1. 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：由于z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)當k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1時，z是實數(shù)． (2)當k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1時，z是虛數(shù)． (3)當即k＝4時，z為純虛數(shù)． (4)當即k＝－1時，z是0. 【例題2】解：設(shè)y＝bi(bR且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y(tǒng)－3i 整理，得(3x－10)＋i＝bi－3i， 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得 ∴x＝，y＝4i. 【例題3】解：∵z1＜z2，故z1，z2均為實數(shù)，且z1的實部小于z2的實部， ∴∴ ∴m＝3. 【例題4】錯因分析：因為實數(shù)也是復(fù)數(shù)，而兩個實數(shù)是能比較大小的，故①不對；在②中未對a，b加以限制，故②錯誤；在③中將虛數(shù)的平方與實數(shù)的平方等同，故③錯誤；在④中當x，yR時，可推出x＝y(tǒng)＝1，而此題未限制x，yR，故④錯誤；在⑤中忽視0i＝0，故⑤錯誤． 正解：A 隨堂練習(xí)鞏固 1．B　由題意，有解得a＝2. 2．D　由z1＝z2得∴ ∴θ＝2kπ＋，kZ. 3．1　根據(jù)題意，有 由①得x＝1或x＝3， 代入②檢驗知x＝1. 4．②③④　①應(yīng)為＝－a，故①錯；⑤中Δ＝a2－4a不一定為正，因此方程不一定有實根，故⑤錯．