2020版高中數學 第三章 變化率與導數 3 計算導數學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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3　計算導數 學習目標　1.會求函數在一點處的導數.2.理解導函數的概念并能求一些簡單函數的導函數． 知識點一　導函數 如果一個函數f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點x處都有導數，導數值記為f′(x)，f′(x)＝，則f′(x)是關于x的函數，稱f′(x)為f(x)的導函數，通常也簡稱為導數. 區(qū)別 聯系 f′(x0) f′(x0)是具體的值，是數值 在x＝x0處的導數f′(x0)是導函數f′(x)在x＝x0處的函數值，因此求函數在某一點處的導數，一般先求導函數，再計算導函數在這一點的函數值 f′(x) f′(x)是f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數而定義的一個新函數，是函數 知識點二　導數公式表 函數 導函數 y＝c(c是常數) y′＝0 y＝xα (α為實數) y′＝αxα－1 y＝ax (a>0，a≠1) y′＝axlna y＝ex y′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ y＝lnx y′＝ y＝sinx y′＝cosx y＝cosx y′＝－sinx y＝tanx y′＝ y＝cotx y′＝－ 1．函數f(x)與f′(x)的定義域相同．(　√　) 2．求f′(x0)時，可先計算出f(x0)，再對f(x0)求導．(　　) 3．求f′(x0)時，可先求出f′(x)，再求f′(x)在x＝x0處的函數值．(　√　) 題型一　利用導函數求某點處的導數 例1　求函數f(x)＝－x2＋3x的導函數f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)． 考點　導函數 題點　利用導函數求某點處的導數 解　∵f′(x)＝ ＝ ＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3， 即f′(x)＝－2x＋3， ∴f′(3)＝－23＋3＝－3， f′(－1)＝－2(－1)＋3＝5. 反思感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0處的函數值．計算f′(x0)可以直接使用定義，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0處的函數值f′(x0)． 跟蹤訓練1　求函數y＝f(x)＝＋5的導函數f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2)． 考點　導函數 題點　利用導函數求某點處的導數 解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝＋5－ ＝， ∴＝， ∴f′(x)＝＝＝－. ∴f′(2)＝－. 題型二　導數公式表的應用 例2　求下列函數的導數． (1)y＝sin； (2)y＝x； (3)y＝log3x； (4)y＝； (5)y＝5x. 考點　基本初等函數的導數公式 題點　基本初等函數導數公式的應用 解　(1)y′＝0. (2)因為y＝x＝， 所以y′＝＝＝. (3)y′＝(log3x)′＝. (4)因為y＝＝＝tanx， 所以y′＝(tanx)′＝. (5)y′＝(5x)′＝5xln5. 反思感悟　對于教材中出現的8個基本初等函數的導數公式，要想在解題過程中應用自如，必須做到以下兩點：一是正確理解，如sin＝是常數，而常數的導數一定為零，就不會出現′＝cos這樣的錯誤結果．二是準確記憶，靈活變形．如根式、分式可先轉化為指數式，再利用公式求導． 跟蹤訓練2　求下列函數的導數． (1)y＝(1－)＋； (2)y＝x13； 考點　基本初等函數的導數公式 題點　基本初等函數導數公式的應用 解　(1)∵y＝(1－)＋ ＝＋＝＝， ∴y′＝. (2)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12. 題型三　導數公式的綜合應用 命題角度1　利用導數公式求解切線問題 例3　已知點P(－1,1)，點Q(2,4)是曲線y＝x2上兩點，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程，若沒有，說明理由． 考點　基本初等函數的導數公式 題意　利用導數公式求解切線問題 解　因為y′＝(x2)′＝2x，假設存在與直線PQ垂直的切線． 設切點為(x0，y0)，由PQ的斜率為k＝＝1， 而切線與PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－. 所以切點為(－，)． 所以所求切線方程為y－＝(－1)(x＋)， 即4x＋4y＋1＝0. 引申探究 若本例條件不變，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程． 解　因為y′＝(x2)′＝2x，設切點為M(x0，y0)， 由PQ的斜率為k＝＝1， 而切線平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝. 所以切點為M. 所以所求切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 反思感悟　解決切線問題，關鍵是確定切點，要充分利用 (1)切點處的導數是切線的斜率． (2)切點在切線上． (3)切點又在曲線上這三個條件聯立方程解決． 跟蹤訓練3　(1)若直線l過點A(0，－1)且與曲線y＝x3切于點B，求B點坐標； (2)若直線l與曲線y＝x3在第一象限相切于某點，切線的斜率為3，求直線l與坐標軸圍成的三角形面積． 解　(1)y′＝3x2，設B(x0，x)(x0≠0)， 則切線斜率k＝3x. 又直線l過點(0，－1)，∴k＝. ∴3x＝， ∴2x＝1，∴x0＝，x＝， ∴B. (2)設切點為(x0，x)(x0>0)，則該切線斜率為3x， ∴3x＝3，x0＝1，則切點為(1,1)． ∴直線l的方程為y－1＝3(x－1)． ∴直線l與坐標軸的交點分別為(0，－2)，， ∴直線l與坐標軸圍成的三角形面積 S＝|－2|＝. 命題角度2　利用導數公式求解參數問題 例4　已知直線y＝kx是曲線y＝lnx的切線，則k的值等于(　　) A．e B．－e C. D．－ 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 答案　C 解析　y′＝(lnx)′＝. 設切點坐標為(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝(x－x0)， 即y＝＋lnx0－1. ∵直線y＝kx過原點， ∴l(xiāng)nx0－1＝0，得x0＝e，∴k＝. 反思感悟　解決利用導數公式求解參數問題的關鍵是設出切點，根據導數的幾何意義表示出切線的斜率進一步寫出切線方程． 跟蹤訓練4　已知函數f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 解　設兩曲線的交點為(x0，y0)， 由題意知，f′(x0)＝g′(x0)，即＝， 即a＝，① ∵點(x0，y0)為兩曲線的交點， ∴＝alnx0，② 由①②可得x0＝e2， 將x0＝e2代入①得a＝. 1．下列結論： ①(sinx)′＝cosx；②＝； ③(lnx)′＝. 其中正確的有(　　) A．0個B．1個C．2個D．3個 考點　基本初等函數的導數公式 題點　基本初等函數的導數公式的應用 答案　C 解析　∵②＝， ∴②錯誤，故選C. 2．函數f(x)＝，則f′(3)等于(　　 ) A. B．0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝. 3．設函數f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝. 考點　基本初等函數的導數公式 題點　指數函數、對數函數的導數 答案　 解析　∵f′(x)＝， 又f′(1)＝＝－1，∴a＝. 4．在曲線y＝上一點P處的切線的斜率為－4，則點P的坐標為． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 答案　或 解析　設P(x0，y0)，y′＝－，則－＝－4， 得x0＝. 當x0＝時，y0＝2. 當x0＝－時，y0＝－2， ∴點P的坐標為或. 5．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 答案　e2 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2. 當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1. ∴S＝1|－e2|＝e2. 1．利用常見函數的導數公式可以比較簡捷的求出函數的導數，其關鍵是牢記和運用好導數公式．解題時，能認真觀察函數的結構特征，積極地進行聯想與化歸． 2．有些函數可先化簡再求導．如求y＝1－2sin2的導數．因為y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx. 3．對于正弦、余弦函數的導數，一是注意函數名稱的變化，二是注意函數符號的變化． 一、選擇題 1．下列結論中正確的個數為(　　) ①y＝ln2，則y′＝；②y＝f(x)＝，則f′(3)＝－； ③y＝2x，則y′＝2xln2；④y＝log2x，則y′＝. A．0B．1C．2D．3 考點　基本初等函數的導數公式 題點　基本初等函數的導數公式的應用 答案　D 解析?、僦衴＝ln2為常數， 所以y′＝0.①錯． 2．已知f(x)＝，則f等于(　　) A．－25 B．－ C. D．25 考點　幾個常用函數的導數 題點　幾個常用函數導數的應用 答案　B 解析　因為f(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－. 3．設函數f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，則a等于(　　) A．2B．－2C．3D．－3 考點　函數在某一點處的導數 題點　根據導數值求坐標或參數 答案　C 解析　∵f′(1)＝ ＝＝a， ∵f′(1)＝3，∴a＝3. 4．正弦曲線y＝sinx上切線的斜率等于的點為(　　) A. B.或 C.(k∈Z) D.或(k∈Z) 考點　基本初等函數的導數公式 題點　正弦、余弦函數的導數 答案　D 解析　設斜率等于的切線與曲線的切點為P(x0，y0)，∵函數在點P處的導數為y′＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－. 5．設曲線y＝ax2在點(2,4a)處的切線與直線4x－y＋4＝0垂直，則a等于(　　) A．－ B. C．－ D. 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 答案　C 解析　由題意知切線的斜率是－， ∵y′＝2ax，∴4a＝－，得a＝－. 6．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實數k的值為(　　) A. B．－ C．－e D．e 答案　D 解析　y′＝ex，設切點為(x0，y0)，則 ∴＝x0， ∴x0＝1，∴k＝e. 7．設正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 答案　A 解析　∵(sinx)′＝cosx， ∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪. 8．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2018(x)等于(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 考點　基本初等函數的導數公式 題點　正弦、余弦函數的導數 答案　B 解析　f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx， f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx， f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx， f4(x)＝(－cosx)′＝sinx， f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)， f6(x)＝f2(x)，…， fn＋4(x)＝fn(x)， 可知周期為4， ∴f2018(x)＝f5044＋2(x)＝－sinx. 二、填空題 9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，則m＝. 考點　幾個常用函數的導數 題點　幾個常用函數導數的應用 答案?。? 解析　∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－， 又g′(2)＝，∴m＝－4. 10．設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 答案　(1,1) 解析　因為y′＝ex，所以曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1. 設P(m，n)，y＝(x>0)的導數為y′＝－ (x>0)， 曲線y＝ (x>0)在點P處的切線斜率k2＝－ (m>0)． 因為兩切線垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，點P的坐標為(1,1)． 11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，則關于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集為． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　基本初等函數導數公式的應用 答案　 解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0， 即sinx≥1，則sinx＝1， 解得x＝＋2kπ，k∈Z， ∴其解集為. 三、解答題 12．已知曲線y＝5(x＞0)，求： (1)曲線上與直線y＝2x－4平行的切線方程； (2)過點P(0,5)，且與曲線相切的切線方程． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 解　(1)設切點為(x0，y0)， 由y＝5，得曲線在x＝x0處的切線的斜率 k＝. 因為切線與直線y＝2x－4平行，所以＝2， 解得x0＝，所以y0＝. 故所求切線方程為y－＝2， 即16x－8y＋25＝0. (2)因為點P(0,5)不在曲線y＝5上， 所以設切點坐標為M(x1，y1)， 則切線斜率為(x1≠0)， 又因為切線斜率為， 所以＝＝， 解得x1＝4(x1＝0舍去)． 所以切點為M(4,10)，斜率為， 故切線方程為y－10＝(x－4)， 即5x－4y＋20＝0. 13．點P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離． 考點　基本初等函數的導數公式 題點　利用導數公式求解切線問題 解　如圖，當曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時，點P到直線y＝x的距離最近． 則曲線y＝ex在點P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)． 利用點到直線的距離公式得最小距離為. 14．設函數f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　基本初等函數的導數公式 題點　指數函數、對數函數的導數 答案　B 解析　設ex＝t，則x＝lnt(t>0)， ∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2. 15．已知拋物線y＝x2，直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最短距離． 解　根據題意可知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2的切線，對應的切點到直線x－y－2＝0的距離最短，設切點坐標為(x0，x)，則k＝2x0＝1， 所以x0＝， 所以切點坐標為， 切點到直線x－y－2＝0的距離 d＝＝， 所以拋物線上的點到直線x－y－2＝0的最短距離為.