2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5 2018 2019 高中數(shù)學(xué) 三講 不等式 排序 復(fù)習(xí) 課學(xué)案 新人 選修
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第三講 柯西不等式與排序不等式 復(fù)習(xí)課 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.梳理本專(zhuān)題主要知識(shí),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式,熟練掌握柯西不等式的各種形式及應(yīng)用技巧.3.理解排序不等式及應(yīng)用.4.進(jìn)一步體會(huì)柯西不等式與排序不等式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法. 1.二維形式的柯西不等式 (1)二維形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (2)柯西不等式的向量形式:設(shè)α,β是兩個(gè)向量,則|αβ|≤|α||β|,當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量,或存在實(shí)數(shù)k,使α=kβ時(shí),等號(hào)成立. (3)二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥. 2.一般形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實(shí)數(shù),則(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時(shí),等號(hào)成立. 3.排序不等式 設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù),c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,則a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn. 類(lèi)型一 利用柯西不等式證明不等式 例1 已知a,b,c,d為不全相等的正數(shù),求證:+++>+++. 證明 由柯西不等式知, ≥2, 于是+++≥+++. ① 等號(hào)成立?=== ?===?a=b=c=d. 又已知a,b,c,d不全相等,則①中等號(hào)不成立. 即+++>+++. 反思與感悟 利用柯西不等式證題的技巧 (1)柯西不等式的一般形式為(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式簡(jiǎn)潔、美觀、對(duì)稱(chēng)性強(qiáng),靈活地運(yùn)用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式的證明問(wèn)題迎刃而解. (2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì). 跟蹤訓(xùn)練1 若n是不小于2的正整數(shù),求證:<1-+-+…+-<. 證明 1-+-+…+- =-2 =++…+, 所以求證式等價(jià)于<++…+<. 由柯西不等式,有 [(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2, 于是++…+> ==≥=, 又由柯西不等式,有++…+ < <=. 綜上,<1-+-+…+-<. 類(lèi)型二 利用排序不等式證明不等式 例2 設(shè)A,B,C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù),a,b,c表示其對(duì)邊,求證:≥. 證明 不妨設(shè)0<a≤b≤c,于是A≤B≤C. 由排序不等式,得 aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC. 相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C) =π(a+b+c),得≥. 引申探究 若本例條件不變,求證:<. 證明 不妨設(shè)0<a≤b≤c,于是A≤B≤C. 由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b, 有0<A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b) =a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C) =a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C) =(a+b+c)π-2(aA+bB+cC). 得<. 反思與感悟 利用排序不等式證明不等式的策略 (1)在利用排序不等式證明不等式時(shí),首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組,并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合.這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇. (2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn),與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問(wèn)題,利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷. 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:++≥a10+b10+c10. 證明 由a,b,c的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)a≥b≥c, 于是a12≥b12≥c12,≥≥. 由排序不等式,得 ++≥++=++. ① 又因?yàn)閍11≥b11≥c11,≤≤, 再次由排序不等式,得 ++≤++. ② 由①②得++≥a10+b10+c10. 類(lèi)型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值 例3 (1)求實(shí)數(shù)x,y的值使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2達(dá)到最小值. (1)解 由柯西不等式,得 (12+22+12)[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2] ≥[1(y-1)+2(3-x-y)+1(2x+y-6)]2=1, 即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥, 當(dāng)且僅當(dāng)==, 即x=,y=時(shí),上式取等號(hào).故x=,y=. (2)設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整數(shù),求M=a1++++的最小值. 解 設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一個(gè)排列,且b1<b2<b3<b4<b5. 因此b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5. 又1≥≥≥≥. 由排序不等式,得 a1++++≥b1++++ ≥11+2+3+4+5 =1++++=.即M的最小值為. 反思與感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有關(guān)不等式問(wèn)題往往要涉及對(duì)式子或量的范圍的限定,其中含有多變量限制條件的最值問(wèn)題往往難以處理.在這類(lèi)題目中,利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易. (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí),要關(guān)注等號(hào)成立的條件,不能忽略. 跟蹤訓(xùn)練3 已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范圍. 解?。埽? = ≤=. 故λ的取值范圍是. 1.函數(shù)y=2+的最大值為(  ) A. B.- C.-3 D.3 答案 D 解析 y2=(+1)2≤[()2+12][()2+()2] =33=9. ∴y≤3,y的最大值為3. 2.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,則a的最大值是(  ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 ∵(2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2, 即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. ∴5-a2≥(3-a)2. 解得1≤a≤2. 驗(yàn)證:當(dāng)a=2時(shí),等號(hào)成立. 3.已知2x+3y+4z=10,則x2+y2+z2取到最小值時(shí)的x,y,z的值為(  ) A.,, B.,, C.1,, D.1,, 答案 B 解析 由柯西不等式得 (22+32+42)(x2+y2+z2)≥(2x+3y+4z)2, 即x2+y2+z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),等號(hào)成立, 所以聯(lián)立 可得x=,y=,z=. 4.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:++≥a+b+c. 證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0, 則≤≤,ab≥ac≥bc, ∵++≥++=a+b+c, ∴++≥a+b+c. 1.對(duì)于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義,從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式,柯西不等式的一般形式也可以寫(xiě)成向量形式. 2.參數(shù)配方法是由舊知識(shí)得到的新方法,注意體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)思想. 3.對(duì)于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義:兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大,反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小,注意等號(hào)成立條件是其中一序列為常數(shù)序列. 4.?dāng)?shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種新形式,它為學(xué)生提供了自己學(xué)習(xí)的空間,有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系. 一、選擇題 1.已知a,b是給定的正數(shù),則+的最小值為(  ) A.2a2+b2 B.2ab C.(2a+b)2 D.4ab 答案 C 解析 +=(sin2α+cos2α)≥2=(2a+b)2, 當(dāng)且僅當(dāng)sin α=cosα?xí)r,等號(hào)成立. 故+的最小值為(2a+b)2. 2.已知a,b,c為正數(shù)且a+b+c=3,則++的最小值為(  ) A.4B.4C.6D.6 答案 C 解析 ∵a,b,c為正數(shù), ∴=≥a+b. 同理≥b+c,≥c+a, 相加得(++) ≥2(b+c+a)=6, 即++≥6, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào). 3.已知(x-1)2+(y-2)2=4,則3x+4y的最大值為(  ) A.21 B.11 C.18 D.28 答案 A 解析 根據(jù)柯西不等式,得 [(x-1)2+(y-2)2][32+42]≥[3(x-1)+4(y-2)]2 =(3x+4y-11)2, ∴(3x+4y-11)2≤100. 可得3x+4y≤21,當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí)取等號(hào). 4.已知x,y,z是非負(fù)實(shí)數(shù),若9x2+12y2+5z2=9,則函數(shù)u=3x+6y+5z的最大值是(  ) A.9B.10C.14D.15 答案 A 解析 ∵(3x+6y+5z)2≤[12+()2+()2][(3x)2+(2y)2+(z)2]=9(9x2+12y2+5z2)=81,當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y=z時(shí),等號(hào)成立. 故u=3x+6y+5z的最大值為9. 5.已知x,y,z∈R+,且++=1,則x++的最小值為(  ) A.5B.6C.8D.9 答案 D 解析 由柯西不等式知, ≥(1+1+1)2=9, 因?yàn)椋?, 所以x++≥9. 即x++的最小值為9. 6.設(shè)c1,c2,…,cn是a1,a2,…,an的某一排列(a1,a2,…,an均為正數(shù)),則++…+的最小值是(  ) A.nB.C.D.2n 答案 A 解析 不妨設(shè)a1≥a2≥…≥an>0, 則≤≤…≤, 由排序不等式知, ++…+≥a1+a2+…+an=n. 二、填空題 7.設(shè)a,b,c,d,m,n∈R+,P=+,Q=,則P,Q的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 答案 P≤Q 解析 由柯西不等式得P=+≤=Q,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立, ∴P≤Q. 8.設(shè)x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,則x-2y+2z的最小值為_(kāi)_______. 答案?。? 解析 由柯西不等式,得 (x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]≥(x-2y+2z)2, 故(x-2y+2z)2≤49=36. 當(dāng)且僅當(dāng)===k,k=時(shí),上式取得等號(hào), 當(dāng)k=-時(shí),x-2y+2z取得最小值-6. 9.已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),它到三邊的距離分別為x,y,z,則x,y,z所滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)_______,x2+y2+z2的最小值是________. 答案 x+y+z=3 3 解析 利用三角形面積相等,得 2(x+y+z)=(2)2, 即x+y+z=3. 由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9, 得x2+y2+z2≥3, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=1時(shí)取等號(hào). 10.若a,b,c∈R,設(shè)x=a3+b3+c3,y=a2b+b2c+c2a,則x,y的大小關(guān)系為_(kāi)_______. 答案 x≥y 解析 取兩組數(shù)a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小順序如何,a3+b3+c3都是順序和,a2b+b2c+c2a都是亂序和,a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a. 三、解答題 11.(2018江蘇)若x,y,z為實(shí)數(shù),且x+2y+2z=6,求x2+y2+z2的最小值. 解 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2. 因?yàn)閤+2y+2z=6,所以x2+y2+z2≥4, 當(dāng)且僅當(dāng)==時(shí),不等式取等號(hào), 此時(shí)x=,y=,z=, 所以x2+y2+z2的最小值為4. 12.已知a,b,c為正數(shù),求證:≥abc. 證明 考慮到正數(shù)a,b,c的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)a≥b≥c>0, 則≤≤,bc≤ca≤ab, 由排序不等式知,順序和≥亂序和, ∴++≥++, 即≥a+b+c. ∵a,b,c為正數(shù), ∴兩邊同乘以, 得≥abc. 13.設(shè)a,b,c,d∈R+,令S=+++,求證:1<S<2. 證明 首先證明<(a>b>0,m>0). 因?yàn)椋? =<0, 所以S=+++ <+++==2, 所以S<2. 又S>+++ ==1, 所以1<S<2. 四、探究與拓展 14.已知5a2+3b2=,則a2+2ab+b2的最大值為_(kāi)_______. 答案 1 解析 ∵[(a)2+(b)2] ≥2=(a+b)2=a2+2ab+b2, 當(dāng)且僅當(dāng)5a=3b,即a=,b=時(shí)取等號(hào). ∴(5a2+3b2)≥a2+2ab+b2. ∴a2+2ab+b2≤(5a2+3b2)==1. ∴a2+2ab+b2的最大值為1. 15.已知a,b,c均為實(shí)數(shù),且a+b+c+2-2m=0,a2+b2+c2+m-1=0. (1)求證:a2+b2+c2≥; (2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍. (1)證明 由柯西不等式得(12+22+32)≥(a+b+c)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立, 即14≥(a+b+c)2, ∴a2+b2+c2≥. (2)解 由已知得a+b+c=2m-2, a2+b2+c2=1-m, ∴由(1)可知,14(1-m)≥(2m-2)2, 即2m2+3m-5≤0,解得-≤m≤1. 又∵a2+b2+c2=1-m≥0,∴m≤1, ∴-≤m≤1. 即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
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