北京科技大學數(shù)學模型課件M07差分模型.ppt

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7 1差分方程介紹7 2減肥計劃 節(jié)食與運動7 3差分形式的阻滯增長模型 第七章差分方程模型 1 的平衡點x 代數(shù)方程x f x 的根 穩(wěn)定性判斷 1 的近似線性方程 x 也是 2 的平衡點 x 是 2 和 1 的穩(wěn)定平衡點 x 是 2 和 1 的不穩(wěn)定平衡點 差分方程介紹 7 1市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型 問題 供大于求 現(xiàn)象 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定 描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律 數(shù)量與價格在振蕩 7 2減肥計劃 節(jié)食與運動 背景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標 或不能維持 通過控制飲食和適當?shù)倪\動 在不傷害身體的前提下 達到減輕體重并維持下去的目標 分析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食 吸收熱量 引起體重增加 代謝和運動 消耗熱量 引起體重減少 體重指數(shù)BMI w kg l2 m2 18 525 超重 BMI 30 肥胖 模型假設 1 體重增加正比于吸收的熱量 每8000千卡增加體重1千克 2 代謝引起的體重減少正比于體重 每周每公斤體重消耗200千卡 320千卡 因人而異 相當于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡 3 運動引起的體重減少正比于體重 且與運動形式有關 4 為了安全與健康 每周體重減少不宜超過1 5千克 每周吸收熱量不要小于10000千卡 某甲體重100千克 目前每周吸收20000千卡熱量 體重維持不變 現(xiàn)欲減肥至75千克 第一階段 每周減肥1千克 每周吸收熱量逐漸減少 直至達到下限 10000千卡 第二階段 每周吸收熱量保持下限 減肥達到目標 2 若要加快進程 第二階段增加運動 試安排計劃 1 在不運動的情況下安排一個兩階段計劃 減肥計劃 3 給出達到目標后維持體重的方案 確定某甲的代謝消耗系數(shù) 即每周每千克體重消耗20000 100 200千卡 基本模型 w k 第k周 末 體重 c k 第k周吸收熱量 代謝消耗系數(shù) 因人而異 1 不運動情況的兩階段減肥計劃 每周吸收20000千卡w 100千克不變 第一階段 w k 每周減1千克 c k 減至下限10000千卡 第一階段10周 每周減1千克 第10周末體重90千克 吸收熱量為 1 不運動情況的兩階段減肥計劃 第二階段 每周c k 保持Cm w k 減至75千克 1 不運動情況的兩階段減肥計劃 基本模型 第二階段 每周c k 保持Cm w k 減至75千克 第二階段19周 每周吸收熱量保持10000千卡 體重按減少至75千克 運動 t 24 每周跳舞8小時或自行車10小時 14周即可 2 第二階段增加運動的減肥計劃 t 每周運動時間 小時 3 達到目標體重75千克后維持不變的方案 每周吸收熱量c k 保持某常數(shù)C 使體重w不變 不運動 運動 內(nèi)容同前 7 3差分形式的阻滯增長模型 連續(xù)形式的阻滯增長模型 Logistic模型 t x N x N是穩(wěn)定平衡點 與r大小無關 離散形式 x t 某種群t時刻的數(shù)量 人口 yk 某種群第k代的數(shù)量 人口 若yk N 則yk 1 yk 2 N 討論平衡點的穩(wěn)定性 即k yk N y N是平衡點 離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性 一階 非線性 差分方程 1 的平衡點y N 討論x 的穩(wěn)定性 變量代換 的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點 穩(wěn)定性 另一平衡點為x 0 不穩(wěn)定 的平衡點及其穩(wěn)定性 初值x0 0 2 數(shù)值計算結(jié)果 b 3 x b 3 3 x 兩個極限點 b 3 45 x 4個極限點 b 3 55 x 8個極限點 倍周期收斂 x 不穩(wěn)定情況的進一步討論 單周期不收斂 2倍周期收斂 的平衡點 x 不穩(wěn)定 研究x1 x2 的穩(wěn)定性 倍周期收斂 的穩(wěn)定性 倍周期收斂的進一步討論 出現(xiàn)4個收斂子序列x4k x4k 1 x4k 2 x4k 3 平衡點及其穩(wěn)定性需研究 時有4個穩(wěn)定平衡點 2n倍周期收斂 n 1 2 bn 2n倍周期收斂的上界 b0 3 b1 3 449 b2 3 544 n bn 3 57 b 3 57 不存在任何2n倍收斂子序列 的收斂 分岔及混沌現(xiàn)象 b 差之厘毫 失之千里 補充知識 認識混沌 線性迭代要么收斂于它的不動點 要么趨于無窮大 不收斂的非線性迭代可能會趨于無窮大 也可能趨于一個周期解 但也有可能在一個有限區(qū)域內(nèi)雜亂無章地游蕩 這類由確定性運動導致的貌似隨機的現(xiàn)象稱為混沌現(xiàn)象 混沌的特征 i 初值敏感性 兩個任意近的點出發(fā)的兩條軌跡遲早會分得很開 ii 遍歷性 任意點出發(fā)的軌跡總會進入 0 1 內(nèi)任意小的開區(qū)間