2019高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題能力訓(xùn)練13 空間幾何體 理.doc

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專題能力訓(xùn)練13　空間幾何體 一、能力突破訓(xùn)練 1.(2018北京,理5)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3 3.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 4.已知平面α截球O的球面得圓M,過(guò)圓心Μ的平面β與α的夾角為π6,且平面β截球O的球面得圓N.已知球Ο的半徑為5,圓M的面積為9π,則圓N的半徑為(　　) A.3 B.13 C.4 D.21 5.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則 (　　) A.S1=S2=S3 B.S2=S1,且S2≠S3 C.S3=S1,且S3≠S2 D.S3=S2,且S3≠S1 6.(2018全國(guó)Ⅰ,理7)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如下圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A.217 B.25 C.3 D.2 7.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為　　　　　. 8.由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為　　　　　. 9.(2018全國(guó)Ⅱ,理16)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為　. 10.下列三個(gè)圖中,左面是一個(gè)正方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖.右面兩個(gè)是其正視圖和側(cè)視圖. (1)請(qǐng)按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖(不要求敘述作圖過(guò)程); (2)求該多面體的體積(尺寸如圖). 11. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫法和理由); (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值. 二、思維提升訓(xùn)練 12.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　　) A.9(2+1)π+83 B.9(3+2)π+43-8 C.9(3+2)π+43 D.9(2+1)π+83-8 13. 如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是　　　　　. 14. 如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為　　　　　　. 15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60,則球O的表面積為　　　　　. 16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖②),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上. (1)證明:AD⊥平面DBC; (2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問(wèn):當(dāng)球的體積最大時(shí),球的半徑是多少?  專題能力訓(xùn)練13　空間幾何體 一、能力突破訓(xùn)練 1.C　解析 由該四棱錐的三視圖,得其直觀圖如圖. 由正視圖和側(cè)視圖都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以側(cè)面PAD和PDC都是直角三角形. 由俯視圖為直角梯形,易知DC⊥平面PAD. 又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以側(cè)面PAB也是直角三角形. 易知PC=22,BC=5,PB=3,從而△PBC不是直角三角形.故選C. 2.A　解析 V=13312π12+1221=π2+1,故選A. 3.A　解析 由三視圖可知該幾何體是球截去后所得幾何體, 則784π3R3=28π3,解得R=2, 所以它的表面積為784πR2+34πR2=14π+3π=17π. 4.B　解析 如圖,∵OA=5,AM=3,∴OM=4. ∵∠NMO=π3,∴ON=OMsinπ3=23. 又∵OB=5,∴NB=OB2-ON2=13,故選B. 5.D　解析 三棱錐的各頂點(diǎn)在xOy坐標(biāo)平面上的正投影分別為A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).顯然點(diǎn)D1為A1C1的中點(diǎn),如圖(1),正投影為Rt△A1B1C1,其面積S1=1222=2. 三棱錐的各頂點(diǎn)在yOz坐標(biāo)平面上的正投影分別為A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,2).顯然B2,C2重合,如圖(2),正投影為△A2B2D2,其面積S2=1222=2. 三棱錐的各頂點(diǎn)在zOx坐標(biāo)平面上的正投影分別為A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,2),由圖(3)可知,正投影為△A3D3C3,其面積S3=1222=2. 綜上,S2=S3,S3≠S1.故選D. 圖(1) 圖(2) 圖(3) 　 6.B　解析 如圖所示,易知N為 CD 的中點(diǎn),將圓柱的側(cè)面沿母線MC剪開,展平為矩形MCCM,易知CN=CC=4,MC=2,從M到N的路程中最短路徑為MN. 在Rt△MCN中,MN=MC2+NC2=25. 7.772π　解析 構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,使得它的三條面對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,5,6,設(shè)長(zhǎng)方體的三條邊長(zhǎng)分別為x,y,z,則x2+y2+z2=772,而長(zhǎng)方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4πR2=772π. 8.2+π2　解析 由三視圖還原幾何體如圖所示,故該幾何體的體積V=211+214π121=2+π2. 9.402π　解析 設(shè)O為底面圓圓心, ∵cos∠ASB=78,∴sin∠ASB=1-782=158. ∴S△ASB=12|AS||BS|158=515. ∴SA2=80. ∴SA=45. ∵SA與圓錐底面所成的角為45,∠SOA=90, ∴SO=OA=22SA=210. ∴S圓錐側(cè)=πrl=45210π=402π. 10.解 (1)作出俯視圖如圖所示. (2)依題意,該多面體是由一個(gè)正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個(gè)三棱錐(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱錐體積VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23, 正方體體積V正方體ABCD-A1B1C1D1=23=8, 故所求多面體的體積V=8-23=223. 11.解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)作EM⊥AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因?yàn)镋HGF為正方形, 所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱, 所以其體積的比值為9779也正確. 二、思維提升訓(xùn)練 12.D　解析 由三視圖可知,該幾何體是由一個(gè)四棱錐和一個(gè)圓錐拼接而成,故S=12(2π3)32+π32-(22)2+4348=9(2+1)π+83-8.故選D. 13.32　解析 設(shè)球O的半徑為r,則圓柱O1O2的高為2r,故V1V2=πr22r43πr3=32,答案為32. 14.415　解析 如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC. 設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x, 三棱錐的高h(yuǎn)=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x. 因?yàn)镾△ABC=1223x3x=33x2, 所以三棱錐的體積V=13S△ABCh=3x225-10x=325x4-10x5. 令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,則f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2, 則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減, 所以f(x)max=f(2)=80. 所以V≤380=415,所以三棱錐體積的最大值為415. 15.64π　解析 如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,因?yàn)锳B=1,AC=2,∠BAC=60, 所以BC=3, 所以∠ABC=90. 所以△ABC截球O所得的圓O的半徑r=1. 設(shè)OO=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12, 所以x2+1=(215-x)2+1, 解得x=15,R2=(15)2+12,R=4. 所以球O的表面積為4πR2=64π. 16. (1)證明 設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖, 則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩DH=H, 所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC. 又AD⊥DC,DC∩BC=C, 所以AD⊥平面DBC. (2)解 當(dāng)球的體積最大時(shí),易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設(shè)球的半徑為R,球心為O, 則VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6. 過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC. 易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=124374=372. 在△DAB和△BCD中, 因?yàn)锳D=BC,AB=DC,DB=DB, 所以△DAB≌△BCD, 故S△DBC=372,VD-ABC=136374=372. 則R36+327+6+327=372, 于是(4+7)R=327, 所以R=372(4+7)=47-76.