2018-2019學年高中物理 第三章 萬有引力定律 3 萬有引力定律的應(yīng)用學案 教科版必修2.doc

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3　萬有引力定律的應(yīng)用 [學習目標]　1.了解萬有引力定律在天文學上的重要應(yīng)用.2.了解“稱量地球質(zhì)量”“計算太陽質(zhì)量”的基本思路，會用萬有引力定律計算天體的質(zhì)量.3.理解運用萬有引力定律處理天體運動問題的思路和方法． 一、預(yù)言彗星回歸和未知星體 1．預(yù)言彗星回歸 (1)哈雷根據(jù)牛頓的引力理論對彗星軌道進行計算，預(yù)言彗星將于1758年再次出現(xiàn)． (2)克雷洛預(yù)言由于受木星和土星的影響，彗星推遲于1759年經(jīng)過近日點，且得到證實． 2．預(yù)言未知星體 根據(jù)天王星的運動軌道與由萬有引力定律計算出來的軌道存在的明顯偏差，英國的亞當斯和法國的勒維耶預(yù)言了天王星軌道外的一顆行星的存在，并計算出了這顆未知行星的質(zhì)量、軌道和位置．伽勒于1846年9月23日在預(yù)定區(qū)域發(fā)現(xiàn)了海王星，繼而1930年湯姆博夫又發(fā)現(xiàn)了冥王星． 二、計算天體的質(zhì)量 1．稱量地球的質(zhì)量 (1)思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力． (2)關(guān)系式：mg＝G. (3)結(jié)果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量． 2．太陽質(zhì)量的計算 (1)思路：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當向心力． (2)關(guān)系式：＝mr. (3)結(jié)論：M＝，只要知道行星繞太陽運動的周期T和軌道半徑r就可以計算出太陽的質(zhì)量． (4)推廣：若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，可計算行星的質(zhì)量M. 1．判斷下列說法的正誤． (1)海王星是依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的．(√) (2)牛頓根據(jù)萬有引力定律計算出了海王星的軌道．() (3)海王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性．(√) (4)地球表面的物體的重力必然等于地球?qū)λ娜f有引力．() (5)若只知道某行星的自轉(zhuǎn)周期和行星繞太陽做圓周運動的半徑，則可以求出太陽的質(zhì)量．() (6)已知地球繞太陽轉(zhuǎn)動的周期和軌道半徑，可以求出地球的質(zhì)量．() 2．已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半徑R＝6.4106 m，則可知地球的質(zhì)量約為(　　) A．21018 kg B．21020 kg C．61022 kg D．61024 kg 答案　D 一、天體質(zhì)量和密度的計算 1．卡文迪許在實驗室測出了引力常量G的值，他稱自己是“可以稱量地球質(zhì)量的人”． (1)他“稱量”的依據(jù)是什么？ (2)若還已知地球表面重力加速度g，地球半徑R，求地球的質(zhì)量和密度． 答案　(1)若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力． (2)由mg＝G得，M＝ ρ＝＝＝. 2．如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽的距離r，能求出太陽的質(zhì)量嗎？若要求太陽的密度，還需要哪些量？ 答案　由＝m地r知M太＝，可以求出太陽的質(zhì)量．由密度公式ρ＝可知，若要求太陽的密度還需要知道太陽的半徑． 天體質(zhì)量和密度的計算方法 重力加速度法 環(huán)繞法 情景 已知天體(如地球)的半徑R和天體(如地球)表面的重力加速度g 行星或衛(wèi)星繞中心 天體做勻速圓周運動 思路 物體在表面的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝G 行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當向心力： G＝m()2r(G＝m或G＝mω2r) 天體質(zhì)量 天體(如地球)質(zhì)量：M＝ 中心天體質(zhì)量：M＝(M＝或M＝) 天體密度 ρ＝＝ ρ＝＝(以T為例) 說明 利用mg＝求M是忽略了天體自轉(zhuǎn)，且g為天體表面的重力加速度 由F引＝F向求M，求得的是中心天體的質(zhì)量，而不是做圓周運動的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量 例1　假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星．若它貼近該天體的表面做勻速圓周運動的周期為T1，已知引力常量為G. (1)則該天體的密度是多少？ (2)若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為h，測得衛(wèi)星在該處做圓周運動的周期為T2，則該天體的密度又是多少？ 答案　(1)　(2) 解析　設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體的質(zhì)量為M. (1)衛(wèi)星貼近天體表面運動時有G＝mR，M＝ 根據(jù)幾何知識可知天體的體積為V＝πR3 故該天體的密度為ρ＝＝＝. (2)衛(wèi)星距天體表面的高度為h時，有 G＝m(R＋h) M＝ ρ＝＝＝. 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 求解天體質(zhì)量和密度時的兩種常見錯誤 1．根據(jù)軌道半徑r和運行周期T，求得M＝是中心天體的質(zhì)量，而不是行星(或衛(wèi)星)的質(zhì)量． 2．混淆或亂用天體半徑與軌道半徑，為了正確并清楚地運用，應(yīng)一開始就養(yǎng)成良好的習慣，比如通常情況下天體半徑用R表示，軌道半徑用r表示，這樣就可以避免如ρ＝誤約分；只有衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運動時，如近地衛(wèi)星，軌道半徑r才可以認為等于天體半徑R. 針對訓(xùn)練1　過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的.該中心恒星與太陽的質(zhì)量的比值約為(　　) A. B．1 C．5 D．10 答案　B 解析　由G＝mr得M∝ 已知＝，＝，則＝()3()2≈1，B項正確． 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】已知周期、半徑求質(zhì)量 例2　有一星球的密度與地球相同，但它表面處的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求： (1)星球半徑與地球半徑之比； (2)星球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比． 答案　(1)4∶1　(2)64∶1 解析　(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝＝＝4. (2)由(1)可知該星球半徑是地球半徑的4倍．根據(jù)M＝得＝＝64. 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】已知重力加速度求質(zhì)量 二、天體運動的分析與計算 1．基本思路：一般行星(或衛(wèi)星)的運動可看做勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供，即F引＝F向． 2．常用關(guān)系： (1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr. (2)忽略自轉(zhuǎn)時，mg＝G(物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”． 3．天體運動的物理量與軌道半徑的關(guān)系 (1)由G＝m得v＝，r越大，v越?。? (2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越?。? (3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大． (4)由G＝ma得a＝，r越大，a越?。? 例3　2009年2月，俄羅斯的“宇宙－2251”衛(wèi)星和美國的“銥－33”衛(wèi)星在西伯利亞上空約805 km處發(fā)生碰撞，這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件．碰撞過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會影響太空環(huán)境．假定有甲、乙兩塊碎片繞地球運動的軌道都是圓，甲的運行速率比乙的大，則下列說法中正確的是(　　) A．甲的運行周期一定比乙的長 B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的向心加速度一定比乙的大 答案　D 解析　甲的運行速率大，由G＝m，得v＝，由此可知，甲碎片的軌道半徑小，故B錯；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期小，故A錯；由于未知兩碎片的質(zhì)量，無法判斷向心力的大小，故C錯；由＝ma得a＝，可知甲的向心加速度比乙的大，故D對． 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 針對訓(xùn)練2　如圖1所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑)．下列說法中正確的是(　　) 圖1 A．a(chǎn)、b的線速度大小之比是∶1 B．a(chǎn)、b的周期之比是1∶2 C．a(chǎn)、b的角速度大小之比是3∶4 D．a(chǎn)、b的向心加速度大小之比是9∶2 答案　C 解析　兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，F(xiàn)萬＝F向． 由＝m得，＝＝＝，故A錯誤． 由＝mr2得，＝＝，故B錯誤． 由＝mrω2得，＝＝，故C正確． 由＝ma得，＝＝，故D錯誤． 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 1．(天體質(zhì)量的計算)土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖2所示)，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)圓軌道半徑約為1.2106 km，已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(　　) 圖2 A．51017 kg B．51026 kg C．71033 kg D．41036 kg 答案　B 解析　“泰坦”圍繞土星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，G＝mr，其中T＝16243 600 s≈1.4106 s，代入數(shù)據(jù)解得M≈51026 kg. 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】天體質(zhì)量的綜合問題 2．(天體密度的計算)一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要(引力常量G已知)(　　) A．測定飛船的運行周期 B．測定飛船的環(huán)繞半徑 C．測定行星的體積 D．測定飛船的運行速度 答案　A 解析　取飛船為研究對象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故選A. 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 3．(衛(wèi)星各運動參量與軌道半徑的關(guān)系)我國高分系列衛(wèi)星的高分辨對地觀察能力不斷提高.2018年5月9日發(fā)射的“高分五號”軌道高度約為705 km，之前已運行的“高分四號”軌道高度約為36 000 km，它們都繞地球做圓周運動．與“高分四號”相比，下列物理量中“高分五號”較小的是(　　) A．周期 B．角速度 C．線速度 D．向心加速度 答案　A 解析　“高分五號”的軌道半徑小于“高分四號”的軌道半徑，即r五ω四，故B錯； v＝∝，v五>v四，故C錯； a＝∝，a五>a四，故D錯． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 4．(天體運動各參量的比較)如圖3所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是(　　) 圖3 A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的運行周期比乙的小 C．甲的角速度比乙的大 D．甲的線速度比乙的大 答案　A 解析　甲、乙兩衛(wèi)星分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運動，萬有引力提供各自做勻速圓周運動的向心力．由牛頓第二定律有G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π，ω＝，v＝.由已知條件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正確選項為A. 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 5．(天體運動的分析與計算)如圖4所示，A、B為地球周圍的兩顆衛(wèi)星，它們離地面的高度分別為h1、h2，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，求： 圖4 (1)A的線速度大小v1； (2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2. 答案　(1)　(2) 解析　(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，A衛(wèi)星質(zhì)量為m1， 由萬有引力提供向心力，對A有：＝m1① 在地球表面對質(zhì)量為m′的物體有：m′g＝G② 由①②得v1＝ (2)由G＝mω2(R＋h)得，ω＝ 所以A、B的角速度大小之比＝. 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 一、選擇題 考點一　天體質(zhì)量和密度的計算 1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有(　　) A．月球的質(zhì)量 B．地球的質(zhì)量 C．地球的半徑 D．地球的密度 答案　B 解析　由天體運動規(guī)律知G＝mR可得，地球質(zhì)量M＝，由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項B正確． 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】已知周期、半徑求質(zhì)量 2．若地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R，月球繞地球的公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由萬有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝. 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】已知周期、半徑求質(zhì)量 3．如圖1所示是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道．若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達式正確的是(　　) 圖1 A．M＝，ρ＝ B．M＝，ρ＝ C．M＝，ρ＝ D．M＝，ρ＝ 答案　D 解析　設(shè)“卡西尼”號的質(zhì)量為m，它圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星體積V＝πR3，所以ρ＝＝. 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 4．2015年7月，美國宇航局通過開普勒太空望遠鏡發(fā)現(xiàn)了迄今“最接近另一個地球”的系外行星開普勒－452b，開普勒－452b圍繞一顆類似太陽的恒星做勻速圓周運動，公轉(zhuǎn)周期約為385天(約3.3107 s)，軌道半徑約為1.51011 m，已知引力常量G＝6.6710－11 Nm2/kg2，利用以上數(shù)據(jù)可以估算出類似太陽的恒星的質(zhì)量約為(　　) A．1.81030 kg B．1.81027 kg C．1.81024 kg D．1.81021 kg 答案　A 解析　根據(jù)萬有引力充當向心力，有G＝mr，則中心天體的質(zhì)量M＝≈ kg≈1.81030 kg，故A正確． 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】已知周期、半徑求質(zhì)量 5．2018年2月，我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms.假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知引力常量為6.6710－11 Nm2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　) A．5109 kg/m3 B．51012 kg/m3 C．51015 kg/m3 D．51018 kg/m3 答案　C 解析　脈沖星自轉(zhuǎn)，邊緣物體m恰對星體無壓力時萬有引力提供向心力，則有G＝mr， 又知M＝ρπr3 整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈51015 kg/m3. 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 6．已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為m，太陽與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T，則太陽的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　對地球繞太陽的圓周運動有＝mr 對地球表面的物體有m′g＝ 聯(lián)立兩式可得太陽質(zhì)量M＝，B正確． 【考點】天體密度的計算 【題點】已知周期、半徑求密度 考點二　天體的運動規(guī)律 7．(多選)如圖2所示，飛船從軌道1變軌至軌道2.若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運動，不考慮質(zhì)量變化，相對于在軌道1上，飛船在軌道2上的(　　) 圖2 A．速度大 B．向心加速度大 C．運行周期長 D．角速度小 答案　CD 解析　飛船繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即F引＝F， 所以G＝ma＝＝＝mrω2， 即a＝，v＝，T＝，ω＝. 因為r1v2，a1>a2，T1ω2，選項C、D正確． 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 8.a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運行的四顆人造衛(wèi)星．其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個圓軌道上，b、c軌道在同一平面上．某時刻四顆衛(wèi)星的運行方向及位置如圖3所示，下列說法中正確的是(　　) 圖3 A．a(chǎn)、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C．a(chǎn)、c的線速度大小相等，且小于d的線速度 D．a(chǎn)、c存在在P點相撞的危險 答案　A 解析　由G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可知，選項B、C錯誤，A正確；因a、c軌道半徑相同，周期相同，由題圖可知當c運動到P點時不相撞，以后就不可能相撞了，選項D錯誤． 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 9．伽利略用他自制的望遠鏡發(fā)現(xiàn)了圍繞木星的四顆衛(wèi)星，假定四顆衛(wèi)星均繞木星做勻速圓周運動，它們的轉(zhuǎn)動周期如表所示，關(guān)于這四顆衛(wèi)星，下列說法中正確的是(　　) 名稱 周期/天 木衛(wèi)一 1.77 木衛(wèi)二 3.65 木衛(wèi)三 7.16 木衛(wèi)四 16.7 A.木衛(wèi)一角速度最小 B．木衛(wèi)四線速度最大 C．木衛(wèi)四軌道半徑最大 D．木衛(wèi)一受到的木星的萬有引力最大 答案　C 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 10．(多選)地球半徑為R0，地面重力加速度為g，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運動，則(　　) A．衛(wèi)星的線速度為 B．衛(wèi)星的角速度為 C．衛(wèi)星的加速度為 D．衛(wèi)星的加速度為 答案　ABD 解析　由＝ma＝m＝mω2(2R0)及GM＝gR02，可得衛(wèi)星的向心加速度a＝，角速度ω＝，線速度v＝，所以A、B、D正確，C錯誤． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用重力等于萬有引力分析天體運動規(guī)律 11．兩顆行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b，衛(wèi)星軌道接近各自行星的表面，如果兩行星的質(zhì)量之比為＝p，兩行星的半徑之比為＝q，則兩個衛(wèi)星的周期之比為(　　) A. B．q C．p D．q 答案　D 解析　衛(wèi)星做勻速圓周運動時，萬有引力提供做勻速圓周運動的向心力，則有：G＝mR()2，得T＝，解得：＝q，故D正確，A、B、C錯誤． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 二、非選擇題 12．(天體質(zhì)量、密度的計算)若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地．若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面．已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響) (1)月球表面的自由落體加速度大小g月． (2)月球的質(zhì)量M. (3)月球的密度ρ. 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)月球表面附近的物體做自由落體運動，則h＝g月t2，月球表面自由落體的加速度大小g月＝. (2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有G＝mg月，月球的質(zhì)量M＝. (3)月球的密度ρ＝＝＝. 【考點】萬有引力定律和力學其他問題的綜合應(yīng)用 【題點】萬有引力定律和力學其他問題的綜合應(yīng)用 13．(天體運動規(guī)律)我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征二號丁”運載火箭，將“高分一號”衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，這是我國重大科技專項高分辨率對地觀測系統(tǒng)的首發(fā)星．設(shè)“高分一號”軌道的離地高度為h，地球半徑為R，地面重力加速度為g，求“高分一號”在時間t內(nèi)，繞地球運轉(zhuǎn)多少圈？(忽略地球的自轉(zhuǎn)) 答案　 解析　在地球表面的物體m′g＝ “高分一號”在軌道上，由萬有引力提供向心力得＝m(R＋h) 所以T＝2π＝2π 故n＝＝. 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 一、選擇題 考點一　天體的運動規(guī)律 1．把太陽系各行星的運動近似看成勻速圓周運動，則離太陽越遠的行星(　　) A．周期越大 B．線速度越大 C．角速度越大 D．向心加速度越大 答案　A 解析　行星繞太陽做勻速圓周運動，所需的向心力由太陽對行星的引力提供，由G＝m得v＝，可知r越大，線速度越小，B錯誤．由G＝mω2r得ω＝，可知r越大，角速度越小，C錯誤．由＝k知，r越大，周期越大，A對．由G＝ma得a＝，可知r越大，向心加速度越小，D錯誤． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 2．據(jù)報道，“嫦娥一號”和“嫦娥二號”繞月飛行的圓形工作軌道距月球表面分別約為200 km和100 km，運行速率分別為v1和v2.那么，v1和v2的比值為(月球半徑取1 700 km)(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根據(jù)衛(wèi)星運動的向心力由萬有引力提供，有G＝m，那么衛(wèi)星的線速度跟其軌道半徑的平方根成反比，則有＝＝. 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星的線速度與半徑的關(guān)系 3．(多選)火星直徑約為地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑的1.5倍．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是(　　) A．火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面的小 B．火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長 C．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大 D．火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大 答案　AB 解析　由G＝m′g得g＝G，計算得A對；由G＝m()2r得T＝2π，計算得B對；周期長的線速度小(或由v＝判斷軌道半徑大的線速度小)，C錯；公轉(zhuǎn)的向心加速度a＝G，計算得D錯． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 4．(多選)土星外層有一個環(huán)，為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系，則下列判斷正確的是(　　) A．若v2∝R，則該層是土星的衛(wèi)星群 B．若v∝R，則該層是土星的一部分 C．若v∝，則該層是土星的一部分 D．若v2∝，則該層是土星的衛(wèi)星群 答案　BD 解析　若外層的環(huán)為土星的一部分，則它們各部分轉(zhuǎn)動的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正確，C錯誤；若是土星的衛(wèi)星群，則由G＝m，得v2∝，A錯誤，D正確． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 5．(多選)如圖1所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則(　　) 圖1 A．b所需向心力最小 B．b、c的周期相同且大于a的周期 C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度 答案　ABD 解析　因衛(wèi)星運動的向心力是由它們所受的萬有引力提供，由F向＝知b所受的引力最小，A對．由＝mrω2＝mr()2得T＝2π，r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B對．由＝ma，得a＝，即a∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯．由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D對． 【考點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量與半徑的關(guān)系 6．(多選)如圖2所示，2018年2月2日，我國成功將電磁監(jiān)測試驗衛(wèi)星“張衡一號”發(fā)射升空，標志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運行高精度地球物理場探測衛(wèi)星的國家之一．通過觀測可以得到衛(wèi)星繞地球運動的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度．若將衛(wèi)星繞地球的運動看做是勻速圓周運動，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計算出衛(wèi)星的(　　) 圖2 A．密度 B．向心力的大小 C．離地高度 D．線速度的大小 答案　CD 解析　設(shè)衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r，地球質(zhì)量和半徑分別為M、R，則在地球表面的物體：G＝m′g，GM＝gR2① 對衛(wèi)星：根據(jù)萬有引力提供向心力，有 G＝m2r② 聯(lián)立①②式可求軌道半徑r，而r＝R＋h，故可求得衛(wèi)星的離地高度． 由v＝rω＝r，從而可求得衛(wèi)星的線速度大?。? 衛(wèi)星的質(zhì)量未知，故衛(wèi)星的密度不能求出，萬有引力即向心力F＝G也不能求出．故選項C、D正確． 【考點】人造衛(wèi)星各物理量的關(guān)系 【題點】人造衛(wèi)星各物理量的關(guān)系 7．(多選)科學探測表明，月球上至少存在豐富的氧、硅、鋁、鐵等資源，設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經(jīng)長期的開采后月球與地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的軌道運動，則與開采前相比(提示：a＋b＝常量，則當a＝b時，ab乘積最大)(　　) A．地球與月球間的萬有引力將變大 B．地球與月球間的萬有引力將變小 C．月球繞地球運行的周期將變大 D．月球繞地球運行的周期將變小 答案　BD 解析　萬有引力公式F＝中，G和r不變，因地球和月球的總質(zhì)量不變，當M增大而m減小時，兩者的乘積減小，萬有引力減小，故選項A錯誤，B正確；又＝mr，T＝ ，M增大，則T減小，故選項C錯誤，D正確． 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律 8.如圖3所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星在同一平面上繞地球做勻速圓周運動，公轉(zhuǎn)方向相同．已知衛(wèi)星甲的公轉(zhuǎn)周期為T，每經(jīng)過最短時間9T，衛(wèi)星乙都要運動到與衛(wèi)星甲在地球同一側(cè)且三者共線的位置上，則衛(wèi)星乙的公轉(zhuǎn)周期為(　　) 圖3 A.T B.T C.T D.T 答案　A 解析　由題意得， (－)t＝2π① t＝9T② 聯(lián)立①②得T乙＝T，選項A正確． 【考點】衛(wèi)星的“追趕”問題 【題點】衛(wèi)星的“追趕”問題 考點二　天體質(zhì)量和密度的計算 9．(多選)2016年10月19日凌晨，“神舟十一號”飛船與“天宮二號”成功實施自動交會對接．如圖4所示，已知“神舟十一號”與“天宮二號”對接后，組合體在時間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，組合體軌道半徑為r，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)．則(　　) 圖4 A．可求出地球的質(zhì)量 B．可求出地球的平均密度 C．可求出組合體做圓周運動的線速度 D．可求出組合體受到的地球的萬有引力 答案　ABC 解析　組合體在時間t內(nèi)沿圓周軌道繞地球轉(zhuǎn)過的角度為θ，則角速度ω＝，萬有引力提供組合體做圓周運動的向心力，則＝mω2r，所以M＝＝①，A正確．不考慮地球的自轉(zhuǎn)時，組合體在地球表面的重力等于地球?qū)M合體的萬有引力，則mg＝G，解得R＝，地球的密度ρ＝＝＝()，將①式代入即可求出平均密度，B正確．根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系v＝ωr可知v＝，C正確．由于不知道組合體的質(zhì)量，所以不能求出組合體受到的萬有引力，D錯誤． 【考點】天體質(zhì)量和密度的計算 【題點】天體質(zhì)量和密度的計算 10．“嫦娥三號”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號”在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，該弧長對應(yīng)的圓心角為θ(弧度)，如圖5所示．已知引力常量為G，由此可推導(dǎo)出月球的質(zhì)量為(　　) 圖5 A. B. C. D. 答案　A 解析　根據(jù)弧長及對應(yīng)的圓心角，可得“嫦娥三號”的軌道半徑r＝，根據(jù)轉(zhuǎn)過的角度和時間，可得ω＝，由于月球?qū)Α版隙鹑枴钡娜f有引力提供“嫦娥三號”做圓周運動的向心力，可得G＝mω2r，聯(lián)立可得M＝. 【考點】計算天體的質(zhì)量 【題點】天體質(zhì)量的綜合問題 二、非選擇題 11．(物體的運動與萬有引力的結(jié)合)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計) (1)求該星球表面附近的重力加速度g星的大?。? (2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為＝，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比. 答案　(1)2 m/s2　(2)1∶80 解析　(1)在地球表面以一定的初速度v0豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處， 根據(jù)運動學公式可知t＝. 同理，在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，經(jīng)過時間5t小球落回原處，則5t＝ 根據(jù)以上兩式，解得g星＝g＝2 m/s2 (2)在天體表面時，物體的重力近似等于萬有引力，即 mg＝，所以M＝ 由此可得，＝＝＝. 【考點】萬有引力定律和力學其他問題的綜合應(yīng)用 【題點】重力加速度和拋體運動的綜合問題 12．(天體運動規(guī)律分析)某課外科技小組長期進行天文觀測，發(fā)現(xiàn)某行星周圍有眾多小衛(wèi)星，這些小衛(wèi)星靠近行星且分布相當均勻，經(jīng)查對相關(guān)資料，該行星的質(zhì)量為M.現(xiàn)假設(shè)所有衛(wèi)星繞該行星的運動都是勻速圓周運動，已知引力常量為G. (1)若測得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運動軌道半徑為R1，忽略其他小衛(wèi)星對該衛(wèi)星的影響，求該衛(wèi)星的運行速度v1為多大？ (2)在進一步的觀測中，發(fā)現(xiàn)離行星很遠處還有一顆衛(wèi)星，其運動軌道半徑為R2，周期為T2，試估算靠近行星周圍眾多小衛(wèi)星的總質(zhì)量m衛(wèi)為多大？ 答案　(1)　(2)－M 解析　(1)設(shè)離行星最近的一顆衛(wèi)星的質(zhì)量為m1， 有G＝m1，解得v1＝. (2)由于靠近行星周圍的眾多衛(wèi)星分布均勻，可以把行星及靠近行星的小衛(wèi)星看做一星體，其質(zhì)量中心在行星的中心，設(shè)離行星很遠的衛(wèi)星質(zhì)量為m2，則有 G＝m2R2 解得m衛(wèi)＝－M. 【考點】天體運動規(guī)律分析 【題點】應(yīng)用萬有引力提供向心力分析天體運動規(guī)律