2019-2020年高中數(shù)學 第四章 圓與方程學案 新人教A版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第四章 圓與方程學案 新人教A版必修2 圓的標準方程 [提出問題] “南昌之星”摩天輪是目前世界上第二高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標志性建筑．該摩天輪總高度為160米，轉盤直徑為153米，比位于英國泰晤士河邊的135米高的“倫敦之眼”摩天輪還要高． 問題1：游客在摩天輪轉動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？ 提示：一樣．圓上的點到圓心距離都是相等的，都是圓的半徑． 問題2：若以摩天輪中心所在位置為原點，建立平面直角坐標系，游客在任一點(x，y)的坐標滿足什么關系？ 提示： ＝. 問題3：以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點的坐標(x，y)滿足什么關系？ 提示： ＝3. [導入新知] 圓的標準方程 (1)圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑． (2)確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示． (3)圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓． [化解疑難] 1．由圓的標準方程，可直接得到圓的圓心坐標和半徑大小；反過來說，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫出圓的標準方程，這一點體現(xiàn)了圓的標準方程的直觀性，為其優(yōu)點． 2．幾種特殊位置的圓的標準方程： 條件 圓的標準方程 過原點 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0) 圓心在x軸上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圓心在y軸上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圓心在x軸上且過原點 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圓心在y軸上且過原點 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 與x軸相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 與y軸相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 點與圓的位置關系 [提出問題] 愛好運動的小華，小強，小兵三人相邀搞一場擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰的飛鏢離靶心O越近，誰獲勝，如圖A，B，C分別是他們擲一輪飛鏢的落點．看圖回答下列問題： 問題1：點與圓的位置關系有幾種？ 提示：三種．點在圓外、圓上、圓內． 問題2：如何判斷他們的勝負？ 提示：利用點與圓心的距離． [導入新知] 點與圓的位置關系 圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設所給點為M(x0，y0)，則 位置關系 判斷方法 幾何法 代數(shù)法 點在圓上 │MA│＝r?點M在圓A上 點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 點在圓內 │MA│r?點M在圓A外 點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 [化解疑難] 1．點與圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外． 2．判斷點與圓的位置關系常用幾何法和代數(shù)法． 求圓的標準方程 [例1]　過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 [解析]　法一：設所求圓的標準方程為 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知條件知 解此方程組，得 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：設點C為圓心，∵點C在直線x＋y－2＝0上， ∴可設點C的坐標為(a,2－a)． 又∵該圓經過A，B兩點， ∴|CA|＝|CB|. ∴ ＝， 解得a＝1. ∴圓心坐標為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2. 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得線段AB的中點坐標為(0,0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點， 由得 即圓心為(1,1)，圓的半徑為＝ 2， 故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. [答案]　C [類題通法] 確定圓的標準方程就是設法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，如解法一，建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質直接求得圓心坐標和半徑，如解法二、三．一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質作轉化較為簡捷． [活學活用] 1．求下列圓的標準方程： (1)圓心是(4，－1)，且過點(5,2)； (2)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)； (3)求過兩點C(－1,1)和D(1,3)，圓心在x軸上的圓的標準方程． 解：(1)圓的半徑長r＝ ＝， 故圓的標準方程為(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)設圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8，則圓心為(0,0)或(0，－8)． 又∵半徑r＝5， ∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)直線CD的斜率kCD＝＝1， 線段CD中點E的坐標為(0,2)， 故線段CD的垂直平分線的方程為 y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2， 即圓心為(2,0)．由兩點間的距離公式， 得r＝ ＝. 所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝10. 點與圓的位置關系 [例2]　如圖，已知兩點P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2為直徑的圓的方程； (2)試判斷點M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圓上，在圓內，還是在圓外． [解]　(1)設圓心C(a，b)，半徑長為r，則由C為P1P2的中點，得a＝＝5，b＝＝6. 又由兩點間的距離公式得 r＝|CP1|＝ ＝， 故所求圓的方程為(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)由(1)知，圓心C(5,6)，則分別計算點到圓心的距離： |CM|＝ ＝； |CN|＝ ＝＞； |CQ|＝ ＝3＜. 因此，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內． [類題通法] 1．判斷點與圓的位置關系的方法 (1)只需計算該點與圓的圓心距離，與半徑作比較即可； (2)把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷． 2．靈活運用 若已知點與圓的位置關系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍． [活學活用] 2．點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則a的取值范圍是(　　) A．－1＜a＜1　　　　　　　　　　 B．0＜a＜1 C．a＞1或a＞－1 D．a＝1 解析：選A　由于點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1. 　　　　 [典例]　已知某圓圓心在x軸上，半徑長為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標準方程． [解]　法一：如圖所示，由題設|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4.在Rt△AOC中， |OC|＝ ＝ ＝3. 設點C坐標為(a,0)， 則|OC|＝|a|＝3，∴a＝3. ∴所求圓的方程為(x＋3)2＋ y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25. 法二：由題意設所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝ 25. ∵圓截y軸線段長為8，∴圓過點A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25， ∴a＝3. ∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25. [易錯防范] 1．若解題分析只畫一種圖形，而忽略兩種情況，考慮問題不全面，漏掉圓心在x軸負半軸的情況而導致出錯． 2．借助圖形解決數(shù)學問題，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究問題，就要考慮到幾何圖形的各種情況． [成功破障] 圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為________． 解析：結合題意可知，圓心在直線y＝－3上，又圓心在直線2x－y－7＝0上，故圓心坐標是(2，－3)，從而r2＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，圓的標準方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5 [隨堂即時演練] 1．圓(x－1)2＋(y＋)2＝1的圓心坐標是(　　) A．(1，)　　　　　　　　　 B．(－1，) C．(1，－) D．(－1，－) 答案：C 2．點P(m,5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是(　　) A．在圓外 B．在圓內 C．在圓上 D．不確定 解析：選A　∵m2＋25＞24， ∴點P在圓外． 3．若點P(－1，)在圓x2＋y2＝m2上，則實數(shù)m＝________. 解析：∵P點在圓x2＋y2＝m2上， ∴(－1)2＋()2＝4＝m2， ∴m＝2. 答案：2 4．經過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑為2的圓的方程是________． 解析：圓心是(－2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4. 答案：(x＋2)2＋y2＝4 5．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)為頂點的三角形的外接圓的方程． 解：設所求圓的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 將點A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)代入上式得 解此方程組，得 所以，△ABC的外接圓方程是(x－4)2＋(y－1)2＝5. [課時達標檢測] 一、選擇題 1．已知點P(3,2)和圓的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，則它們的位置關系為(　　) A．在圓心 B．在圓上 C．在圓內 D．在圓外 解析：選C　∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4， ∴點P在圓內． 2．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心、半徑是(　　) A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(－1,2)，2 答案：D 3．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為(　　) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：選A　法一(直接法)：設圓心坐標為(0，b)，則由題意知 ＝1，解得b＝2， 故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 法二(數(shù)形結合法)：根據(jù)點(1,2)到圓心的距離為1，易知圓心為(0,2)，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1. 法三(驗證法)：將點(1,2)代入四個選擇項，排除B、D，又由于圓心在y軸上，排除C，選A. 4．(xx福建六校聯(lián)考)以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析：選D　圓心坐標為(1,2)，半徑r＝＝5，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25. 5．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析：選C　直線方程變?yōu)?x＋1)a－x－y＋1＝0. 由得，∴C(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5. 二、填空題 6．圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點，且過原點的圓的標準方程是__________________． 解析：由可得x＝2，y＝4，即圓心為(2,4)，從而r＝＝2，故圓的標準方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20. 答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20 7．(xx嘉興高一檢測)點(5＋1，)在圓(x－1)2＋y2＝26的內部，則a的取值范圍是________． 解析：由于點在圓的內部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26， 即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1. 答案：0≤a＜1 8．若圓心在x軸上，半徑為的圓C位于y軸左側，且與直線x＋2y＝0相切，則圓C的方程是________． 解析：如圖所示，設圓心C(a,0)，則圓心C到直線x＋2y＝0的距離為＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)， ∴圓心是(－5,0)．故圓的方程是(x＋5)2＋y2＝5. 答案：(x＋5)2＋y2＝5 三、解答題 9．求經過A(－1,4)，B(3,2)兩點且圓心在y軸上的圓的方程． 解：法一：設圓心坐標為(a，b)． ∵圓心在y軸上，∴a＝0. 設圓的標準方程為x2＋(y－b)2＝r2. ∵該圓過A，B兩點， ∴解得 ∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10. 法二：∵線段AB的中點坐標為(1,3)，kAB＝＝－， ∴弦AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1. 由解得∴點(0,1)為所求圓的圓心． 由兩點間的距離公式，得圓的半徑r＝， ∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10. 10．求過點A(1,2)和B(1,10)且與直線x－2y－1＝0相切的圓的方程． 解：圓心在線段AB的垂直平分線y＝6上，設圓心為(a,6)，半徑為r，則圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝r2.將點(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，① 而r＝， 代入①，得(a－1)2＋16＝， 解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4. 故所求圓為(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80. 4．1.2　圓的一般方程 [提出問題] 已知圓心(2,3)，半徑為2. 問題1：寫出圓的標準方程． 提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4. 問題2：上述方程能否化為二元二次方程的形式？ 提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0. 問題3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圓？ 提示：配方化為(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圓． 問題4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？ 提示：不一定． [導入新知] (1)圓的一般方程的概念： 當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程． (2)圓的一般方程對應的圓心和半徑： 圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為(－，－)，半徑長為 . [化解疑難] 1．圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點： (1)x2、y2的系數(shù)相等且不為0； (2)沒有xy項． 2．對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的說明： 方程 條件 圖形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何圖形 D2＋E2－4F＝0 表示一個點(－，－) D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)為圓心，以為半徑的圓 圓的一般方程的概念辨析 [例1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓， 求(1)實數(shù)m的取值范圍； 　(2)圓心坐標和半徑． [解]　(1)據(jù)題意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范圍為(－∞，)． (2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標準方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圓心坐標為(－m,1)，半徑r＝. [類題通法] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法： ①由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F＞0，成立則表示圓，否則不表示圓，②將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解，應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解． [活學活用] 1．下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． 解：(1)∵D＝1，E＝0，F(xiàn)＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程(1)不表示任何圖形． (2)∵D＝2a，E＝0，F(xiàn)＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示點(－a,0)． (3)兩邊同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0， D＝a，E＝－a，F(xiàn)＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0， ∴方程(3)表示圓，它的圓心為(－，)， 半徑r＝ ＝|a|. 圓的一般方程的求法 [例2]　已知△ABC的三個頂點為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑． [解]　法一：設△ABC的外接圓方程為 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圓上， ∴∴ ∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴外心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5. 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kABkAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A為直角的直角三角形， ∴外心是線段BC的中點， 坐標為(1，－1)，r＝|BC|＝5. ∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25. [類題通法] 應用待定系數(shù)法求圓的方程時： (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r. (2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F. [活學活用] 2．求經過點A(－2，－4)且與直線x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程． 解：設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則圓心坐標為. ∵圓與x＋3y－26＝0相切，∴＝－1，即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圓上， ∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③聯(lián)立①②③，解得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30，故所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0. 代入法求軌跡方程 [例3]　已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點C的軌跡方程． [解]　以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標系(如圖)，則A(－2,0)，B(2,0)，設C(x，y)，BC中點D(x0，y0)． ∴?、? ∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.?、? 將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. ∵點C不能在x軸上，∴y≠0. 綜上，點C的軌跡是以(－6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12,0)和(0,0)兩點． 軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． [類題通法] 用代入法求軌跡方程的一般步驟 [活學活用] 3．(xx嘉峪關高一檢測)過點A(8,0)的直線與圓x2＋y2＝4交于點B，則AB中點P的軌跡方程為________________． 解析：設點P的坐標為(x，y)，點B為(x1，y1)，由題意，結合中點坐標公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化簡得(x－4)2＋y2＝1，即為所求． 答案：(x－4)2＋y2＝1 　　　　 [典例]　(12分)已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經過點A(1,2)的圓的弦的中點P的軌跡． [解題流程] 畫出圖形，結合圓的弦的中點的性質，由AP⊥OP建立關系求解． 設動點P的坐標(x，y)―→由AP⊥OP―→討論AP垂直于x軸情形―→列kAPkOP＝－1的關系式―→檢驗―→得出結論 [規(guī)范解答] 設動點P的坐標為(x，y)，根據(jù)題意可知AP⊥OP.(2分) 當AP垂直于x軸時，P的坐標為(1,0)，此時x＝1；(3分) 當x＝0時，y＝0；(4分) 當x≠0，且x≠1時，有kAPkOP＝－1，(5分) ∵kAP＝，kOP＝，(6分) ∴＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．(8分) 經檢驗，點(1,0)，(0,0)適合上式．(10分) 綜上所述，點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．(12分) 　　　　　　　　　　　[名師批注] AP垂直于x軸時及x＝0時容易漏掉.　 檢驗步驟不可少 [活學活用] 一動點M到點A(－4,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，求動點的軌跡． 解：設動點M的坐標為(x，y)， 則|MA|＝2|MB|， 即＝2， 整理得x2＋y2－8x＝0，即所求動點的軌跡方程為x2＋y2－8x＝0. [隨堂即時演練] 1．(xx四川高考)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：選D　圓的方程化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圓心(2，－3)，選D. 2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－，＋∞) 解析：選A　方程可化為：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1時才能表示圓． 3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圓心為C(2,2)，半徑為2的圓，則a＝________，b＝________，c＝________. 解析：∵∴ 答案：－2,4,4 4．設A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線且|PA|＝1，則P點的軌跡方程是________． 解析：設P(x，y)是軌跡上任一點， 圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為B(1,0)， 則|PA|2＋1＝|PB|2， ∴(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 5．求過點(－1,1)，且圓心與已知圓x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圓心相同的圓的方程． 解：設所求的圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圓x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圓心為(3,4)，依題意得 解此方程組，可得 ∴所求圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0. [課時達標檢測] 一、選擇題 1．(xx安徽高考)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1　　 B．1 C．3　　 D．－3 解析：選B　∵圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1,2)， ∴3x＋y＋a過點(－1,2)， 即－3＋2＋a＝0， ∴a＝1. 2．已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍，那么點M的軌跡方程是(　　) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16 解析：選B　設M(x，y)，則M滿足＝2，整理得x2＋y2＝16. 3．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的圖形是(　　) A．一個圓 B．只有當a＝0時，才能表示一個圓 C．一個點 D．a，b不全為0時，才能表示一個圓 解析：選D　(2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)， 當a＝b＝0時，方程表示一個點； 當ab≠0時方程表示一個圓． 4．如果圓x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全為零)與y軸相切于原點，那么(　　) A．a＝0，b≠0，c≠0 B．b＝c＝0，a≠0 C．a＝c＝0，b≠0 D．a＝b＝0，c≠0 解析：選B　符合條件的圓方程為(x＋)2＋y2＝， 即x2＋y2＋ax＝0. ∴b＝0，a≠0，c＝0. 5．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：選B　設動點軌跡坐標為(x，y)，則由|PA|＝2|PB|， 知 ＝2，化簡得(x－2)2＋y2＝4，得軌跡曲線為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，該圓面積為4π. 二、填空題 6．若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圓，則λ的取值范圍是____________________． 解析：∵(λ－1)2＋(2λ)2－4λ＞0， 即5λ2－6λ＋1＞0， ∴λ∈∪(1，＋∞)． 答案：∪(1，＋∞) 7．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上任意一點關于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝________. 解析：由題意可得圓C的圓心在直線x－y＋2＝0上，將代入直線方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2. 答案：－2 8．已知A，B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點，且│AB│＝6，若以AB為直徑的圓M恰好經過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是____________________． 解析：設圓心為M(x，y)，由│AB│＝6知，圓M的半徑r＝3，則│MC│＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9 三、解答題 9．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為，求圓的一般方程． 解：圓心C，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.① 又∵半徑長r＝＝， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又∵圓心在第二象限，∴－＜0即D＞0. 則 故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的圖形是圓． (1)求t的取值范圍； (2)求其中面積最大的圓的方程； (3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內，求t的取值范圍． 解：(1)已知方程可化為 (x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1， ∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－＜t＜1. 即t的取值范圍是 (2)r＝ ＝ . 當t＝∈時，rmax＝， 此時圓的面積最大，對應的圓的方程是2＋2＝. (3)當且僅當32＋(4t2)2－2(t＋3)3＋2(1－4t2)4t2＋16t4＋9＜0時，點P恒在圓內，化簡得8t2－6t＜0， 即0＜t＜.故t的取值范圍是 4.2直線、圓的位置關系 4．2.1　直線與圓的位置關系 第一課時　直線與圓的位置關系(新授課) [提出問題] “大漠孤煙直，長河落日圓”是唐朝詩人王維的詩句，它描述了黃昏日落時分塞外特有的景象．如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽落山的圖片． 問題1：圖片中，地平線與太陽的位置關系怎樣？ 提示：(1)相離　(2)相切　(3)相交 問題2：結合初中平面幾何中學過的直線與圓的位置關系，直線與圓有幾種位置關系？ 提示：3種，分別是相交、相切、相離． 問題3：如何判斷直線與圓的位置關系？ 提示：可利用圓心到直線的距離d與半徑r的關系． [導入新知] 1．直線與圓有三種位置關系 位置關系 交點個數(shù) 相交 有兩個公共點 相切 只有一個公共點 相離 沒有公共點 2．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷 位置關系 相交 相切 相離 公共點個數(shù) 兩個 一個 零個 判定方法 幾何法：設圓心到直線的距離d＝ d＜r d＝r d＞r 代數(shù)法：由消元得到一元二次方程的判別式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 [化解疑難] 判斷直線與圓的位置關系，一般常用幾何法，因為代數(shù)法計算繁瑣，書寫量大，易出錯，幾何法則較簡潔，但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關系時，常用代數(shù)法． 直線與圓位置關系的判斷 [例1]　若直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100有如下關系：①相交；②相切；③相離，試分別求實數(shù)a的取值范圍． [解]　法一：(代數(shù)法) 由方程組消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0. Δ＝(8a)2－425(a2－900)＝－36a2＋90 000. ①當直線和圓相交時，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－5050. 法二：(幾何法) 圓x2＋y2＝100的圓心為(0,0)，半徑r＝10， 則圓心到直線的距離d＝＝， ①當直線和圓相交時，dr，即>10，a<－50或a>50. [類題通法] 直線與圓位置關系判斷的三種方法 (1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷． (2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷． (3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系． [活學活用] 1．(xx湛江檢測)直線x－ky＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是(　　) A．相交　　　　　　　　　　 B．相離 C．相交或相切 D．相切 解析：選C　直線x－ky＋1＝0恒過定點(－1,0)，而(－1,0)在圓上，故直線與圓相切或相交. 切 線 問 題 [例2]　過點A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程． [解]　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴點A在圓外． 法一：當直線l的斜率不存在時，l的方程是x＝－1， 不滿足題意． 設直線l的斜率為k，則方程為y－4＝k(x＋1) 即kx－y＋4＋k＝0. 圓心(2,3)到切線l的距離為＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直線l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0. 法二：由于直線l與圓相切，所以方程組只有一解． 消去y，得到關于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0， 則Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得8k2＋6k＝0， 即k＝0或k＝－， 因此，所求直線l的方程為y＝4或3x＋4y－13＝0. [類題通法] 1．求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0. 2．過圓外一點(x0，y0)的切線方程的求法 設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解． [活學活用] 2．(xx昆明高一檢測)直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為(　　) A．0或2 B．2 C. D．無解 解析：選B　由于直線與圓相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2. 3．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，)處的切線方程為(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 解析：選D　點P在圓上，圓x2＋y2－4x＝0化為(x－2)2＋y2＝4， 圓心M(2,0)，半徑為2. kMP＝＝－， 切線l的斜率kl＝， 因此切線l的方程為y－＝(x－1)， 整理得x－y＋2＝0. 弦 長 問 題 [例3]　已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦． (1)當α＝135時，求AB的長； (2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程． [解]　(1)法一：(幾何法) 如圖所示，過點O作OC⊥AB. 由已知條件得直線的斜率為k＝tan 135＝－1， ∴直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0. ∵圓心為(0,0)， ∴|OC|＝＝. ∵r＝2，∴|BC|＝＝， ∴|AB|＝2|BC|＝. 法二：(代數(shù)法)當α＝135時，直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8， 得2x2－2x－7＝0. ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝＝. (2)如圖，當弦AB被點P平分時，OP⊥AB， ∵kOP＝－2，∴kAB＝， ∴直線AB的方程為y－2＝(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. [類題通法] 求直線與圓相交時弦長的兩種方法 (1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有2＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直線l的斜率k存在)． 　　　　 [典例]　過點A(3,1)和圓(x－2)2＋y2＝1相切的直線方程是(　　) A．y＝1　　　　　　　　　　 B．x＝3 C．x＝3或y＝1 D．不確定 [解析]　由題意知，點A在圓外，故過點A的切線應有兩條．當所求直線斜率存在時，設其為k，則直線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直線與圓相切，所以d＝＝1，解得k＝0，所以切線方程為y＝1.當所求直線斜率不存在時，x＝3也符合條件．綜上所述，所求切線方程為x＝3或y＝1. [答案]　C [易錯防范] 1．解題時只考慮所求直線的斜率存在的情況，而忽視了斜率不存在的情況，而錯誤地選A；若只考慮斜率不存在的情形，而忽視了斜率存在的情況，而錯誤地選B. 2．過一點求圓的切線時，首先要判斷點與圓的位置關系，以此來確定切線的條數(shù)，經過圓外一點可以作圓的兩條切線，求解中若只求出一個斜率，則另一條必然斜率不存在． [成功破障] 已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，則過點(3,5)并與圓C相切的切線方程為________． 解析：由于點(3,5)到圓心的距離為＝＞2＝r，得到點(3,5)在圓外． 當切線的斜率存在時，設方程為y－5＝k(x－3)，由圓心到切線的距離d＝＝2， 化簡得12k＝5，可解得k＝， ∴切線方程為5x－12y＋45＝0. 當過(3,5)的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，與圓相切． 綜上可知切線方程為5x－12y＋45＝0或x＝3. 答案：5x－12y＋45＝0或x＝3 [隨堂即時演練] 1．直線x＋2y－1＝0與圓2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置關系是(　　) A．相離　　　　　　　　　　 B．相切 C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心 解析：選C　圓心坐標為，半徑長r＝，圓心到直線的距離d＝＜r，所以直線與圓是相交的但不過圓心，故選C. 2．(xx湛江高一檢測)設直線l過點P(－2,0)，且與圓x2＋y2＝1相切，則l的斜率是(　　) A．1 B． C． D． 解析：選C　設l：y＝k(x＋2)即kx－y＋2k＝0. 又l與圓相切，∴＝1.∴k＝. 3．(xx重慶高考)過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為______． 解析：設所求直線方程為y＝kx，即kx－y＝0.由于直線kx－y＝0被圓截得的弦長等于2，圓的半徑是1，因此圓心到直線的距離等于＝0，即圓心位于直線kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直線方程是2x－y＝0. 答案：2x－y＝0 4．過點P(－1,2)且與圓C：x2＋y2＝5相切的直線方程是________． 解析：點P(－1,2)是圓x2＋y2＝5上的點，圓心為C(0,0)， 則kPC＝＝－2， 所以k＝，y－2＝(x＋1)．故所求切線方程是x－2y＋5＝0. 答案：x－2y＋5＝0 5．(xx湖北高考改編)過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為，求直線l的方程． 解：由題意，直線與圓要相交，斜率必須存在，設為k. 設直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)． 又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d＝＝＝. 解得k＝1或.所以直線l的方程為y＋2＝x＋1或y＋2＝(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0. [課時達標檢測] 一、選擇題 1．若直線ax＋by＝1與圓C：x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)與圓C的位置關系是(　　) A．P在圓內 B．P在圓外 C．P在圓上 D．不確定 解析：選B　∵直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交， ∴圓心到直線的距離d＝＜1， ∴a2＋b2＞1. 2．過原點且傾斜角為60的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　直線的方程為y＝x，圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝4，圓心(0,2)到直線的距離d＝＝1，知所求弦長為d＝2＝2，故選D. 3．若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為(　　) A．[－，] B．(－，) C. D. 解析：選C　設直線為y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0，圓心(2,0)到直線的距離 d＝＝，d應滿足d≤r， 即≤1，解得k∈. 4．由直線y＝x＋1上的點向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為(　　) A．1 B．2 C. D．3 解析：選C　圓C的方程可變?yōu)椋?x－3)2＋y2＝1，圓心C(3,0)，半徑為1.直線y＝x＋1上點P(x0，y0)到圓心C的距離|PC|與切線長d滿足 d＝＝ ＝＝≥. 5．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 解析：選B　如下圖所示，設圓的圓心為M，則M(3,4)，半徑r＝5. 當過點P的直線過圓心M時，對應的弦AC是最長的，此時，|AC|＝2r＝10；當過點P的直線與MP垂直時，對應的弦BD最小， 此時在Rt△MPD中， |MD|＝r＝5，|MP|＝1， 故|BD|＝2＝4. 此時四邊形ABCD的面積為： S＝|AC||BD|＝20，故選B. 二、填空題 6．過點P(－1,6)且與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直線方程是____________________． 解析：當所求直線的斜率存在時， 設所求直線的方程為y－6＝k(x＋1)，則d＝＝2， 解得k＝，此時，直線方程為：4y－3x－27＝0；當所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為x＝－1，驗證可知符合題意． 答案：4y－3x－27＝0或x＝－1 7．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為____________________． 解析：令y＝0得x＝－1，所以直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1,0)．因為直線與圓相切， 所以圓心到直線的距離等于半徑， 即r＝＝， 所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 8．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為____________． 解析：由題意，設所求的直線方程為x＋y＋m＝0，設圓心坐標為(a,0)，則由題意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3，或a＝－1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標為(3,0)，因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直線方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 三、解答題 9．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程． 解：設圓心坐標為(3m，m)． ∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|， ∴圓心到直線y＝x的距離為＝|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關系得9m2＝7＋2m2，∴m＝1， ∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 10．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，過點P(2，－1)作圓C的切線，切點為A，B. (1)求直線PA，PB的方程； (2)過P點的圓C的切線長． 解：(1)切線的斜率存在，設切線方程為 y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 圓心到直線的距離等于， 即＝， ∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1， 故所求的切線方程為 y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)， 即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0. (2)在Rt△PAC中，PA2＝PC2－AC2 ＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴過P點的圓C的切線長為2. 第二課時　直線與圓的位置關系(習題課) 1．直線與圓的位置關系有哪幾種？ 2．如何用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系？ 3．如何求過某點的圓的切線方程？ 4．如何求圓的弦長？ 與圓有關的切線問題 [例1]　自點P(－6,7)發(fā)出的光線l射到x軸上的點A處，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于點Q.求光線l所在直線方程． [解]　如圖，作圓x2＋y2－8x－6y＋21＝0關于x軸的對稱圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由幾何光學原理，知直線l與圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切． 由于l的斜率必存在，故可設直線l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0. 由圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圓心(4，－3)到直線l的距離等于半徑，知 ＝＝2，解得k＝－或k＝－， 故光線l所在直線的方程為3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0. [類題通法] 過已知圓外一點求切線的方程一般有三種方法： (1)設切線斜率，用判別式法； (2)設切線斜率，用圓心到直線的距離等于半徑長； (3)設切點(x0，y0)，用切線公式法． [活學活用] 1．已知圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求： (1)過A(3,4)的圓C的切線方程； (2)在兩坐標軸上的截距相等的圓C的切線方程． 解：(1)當所求直線的斜率存在時，設過A(3,4)的直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0， 由＝1，得k＝. 所以切線方程為y－4＝(x－3)，即4x－3y＝0. 當所求直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3，也符合題意． 故所求直線方程為4x－3y＝0或x＝3. (2)設在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為＋＝1或y＝kx， 于是由圓心(2,1)到切線距離為1，得＝1或＝1. 解得a＝3，k＝0或k＝. 故所求切線方程為x＋y＝3或y＝0或y＝x. 與圓有關的參數(shù)問題 [例2]　已知直線l：y＝－x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內有兩個不同的交點，求m的取值范圍． [解]　∵l：y＝－x＋m，圓x2＋y2＝1， ∴l(xiāng)可變形為：x＋3y－3m＝0，圓的圓心為(0,0)，半徑長r＝1. 當直線和該圓相切時，應滿足d＝＝1，解得m＝.在平面直角坐標系中作出圖象，如圖所示，其中l(wèi)2：y＝－x＋，l3：y＝－x－. 過原點作直線l0：y＝－x，m0：y＝－x. ∵直線l的斜率k＝－，直線AB的斜率k＝－1， ∴只有當直線l在移動到過A(0,1)后才開始與圓在第一象限內有兩個交點，此時對應的直線l1：y＝－x＋1，要使直線與圓在第一象限內有兩個不同交點，直線l只有在直線l1和直線l2之間運動才可，此時相應的m∈. ∴m的取值范圍是. [類題通法] 要注意結合圖象，得出正確的答案，不能想當然．要注意直線之間傾斜程度的比較，像在此例題中，我們要注意比較直線l的斜率k＝－與直線AB的斜率k＝－1，如果注意到它們的關系了，就不易出錯． [活學活用] 2．已知直線l：y＝－x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內有交點，求m的取值范圍． 解：∵l：y＝－x＋m，圓x2＋y2＝1， ∴l(xiāng)可變形為：x＋3y－3m＝0，圓的圓心為(0,0)，半徑長r＝1. 當直線和該圓相切時，應滿足d＝＝1，解得m＝，在平面直角坐標系中作出圖象， 如下圖所示，其中l(wèi)2：y＝－x＋， l3：y＝－x－. ∵直線l與圓在第一象限內有交點， ∴直線l應該在過點B(1,0)的直線與切線l2之間才可以，而當B(1,0)在直線l上時， m＝，∴m的范圍是. 直線與圓的綜合問題 [例3]　已知圓x2＋y2＋x－6