八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第2章 特殊三角形 2.4 等腰三角形的判定定理練習(xí) （新版）浙教版.doc

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2.4 等腰三角形的判定定理 A組 1．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列條件不能判定△ABC是等腰三角形的是(D) A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3 B． a∶b∶c＝2∶2∶3 C． ∠B＝50，∠C＝80 D． 2∠A＝∠B＋∠C 2．給出下列三角形：①有兩個(gè)角等于60；②有一個(gè)角等于60的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的是(D) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ (第3題) 3．如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則△AEF的周長為(C) A． 9　　　 　　　　B． 11 C． 12　　 　　　　D． 13 4．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，確定△ABC是等腰三角形．你添加的條件是BD＝CD(答案不唯一)． ,(第4題))　　,(第5題)) 5．如圖，已知OA＝5，P是射線ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AON＝60．當(dāng)OP＝__5__時(shí)，△AOP為等邊三角形． (第6題) 6．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出圖中的等腰三角形，并給出證明． 【解】　△AEF是等腰三角形．證明如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵EG∥AD， ∴∠E＝∠CAD，∠EFA＝∠BAD， ∴∠E＝∠EFA， ∴△AEF是等腰三角形． (第7題) 7．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90， AD⊥BC，BE平分∠ABC．求證： △AEF是等腰三角形． 【解】　∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90． ∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180， ∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180， ∴∠BFD＝∠BEA． ∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE． ∴△AEF是等腰三角形． 8．如圖，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 則BC＝CD，請(qǐng)說明理由． (第8題) 　　　(第8題解) 【解】　如解圖，連結(jié)BD． ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB． ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC， 即∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD． B組 　　　　　　　　　　 (第9題) 9．如圖，E是等邊三角形ABC中AC邊上的點(diǎn)，∠1＝∠2，BE＝CD，則△ADE的形狀是(B) A．一般等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．不能確定形狀 【解】　∵△ABC為等邊三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60． 又∵∠1＝∠2，BE＝CD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)． ∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60． ∴△ADE是等邊三角形． (第10題) 10．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F． (1)求∠F的度數(shù)． (2)若CD＝2，求DF的長． 【解】　(1)∵△ABC為等邊三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60． ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60． ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90， ∴∠F＝180－∠DEF－∠EDF＝30． (2)∵∠ACB＝60，∠F＝30， ∴∠CEF＝∠ACB－∠F＝30＝∠F， ∴CE＝CF． ∵∠EDF＝∠ACB＝60， ∴△CDE為等邊三角形， ∴CD＝CE， ∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD＝4． 11．如圖①，A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形． (1)連結(jié)BE，DC，求證：BE＝DC． (2)如圖②，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′． ①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為__60__度時(shí)，邊AD′落在AE上． ②在①的條件下，延長DD′交CE于點(diǎn)P，連結(jié)BD′，CD′．當(dāng)線段AB，AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明． (第11題) 【解】　(1)∵△ABD和△ACE都是等邊三角形． ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60， ∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE， 即∠BAE＝∠DAC． 在△BAE和△DAC中，∵ ∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC． (2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60， ∴∠DAE＝180－602＝60． ∵邊AD′落在AE上， ∴旋轉(zhuǎn)角＝∠DAE＝60． ②當(dāng)AC＝2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等． 證明如下： 由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合， ∴AB＝DB＝DD′＝AD′． 又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)． ∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝60＝30． 同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30，∴DP∥BC． ∵△ACE是等邊三角形， ∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60． ∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′． ∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝60＝30． ∴∠ABD′＝∠ACD′．∴BD′＝CD′． ∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30． ∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30． 在△BDD′與△CPD′中，∵ ∴△BDD′≌△CPD′(ASA)． 數(shù)學(xué)樂園 (第12題) 12．如圖，△ABC和△ADC都是等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)分別從點(diǎn)B，A出發(fā)，以相同的速度各自沿BA，AD的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，D停止，連結(jié)EC，F(xiàn)C． (1)在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，∠ECF的度數(shù)是否隨之變化？請(qǐng)說明理由． (2)在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎？請(qǐng)說明理由． (3)連結(jié)EF，在圖中找出所有和∠ACE相等的角，并說明理由． (4)若點(diǎn)E，F(xiàn)在射線BA，射線AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，(1)中的結(jié)論還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不必說明理由．導(dǎo)學(xué)號(hào)：91354011 【解】　(1)沒有變化．理由如下： ∵點(diǎn)E，F(xiàn)的速度相同，且同時(shí)運(yùn)動(dòng)， ∴BE＝AF． ∵△ABC和△ADC都是等邊三角形， ∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60． 在△BCE和△ACF中，∵ ∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠BCE＝∠ACF， ∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60． (2)沒有變化．理由如下： 由(1)知，△BCE與△ACF的面積相等， ∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC． ∴四邊形AECF的面積沒有變化． (3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE．理由如下： ∵△ABC和△ADC都是等邊三角形， ∴∠EAC＝∠FDC＝60，AB＝AC＝DC＝AD． ∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF， ∴△ACE≌△DCF(SAS)， ∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC． 又∵∠ECF＝60， ∴△ECF是等邊三角形，∴∠EFC＝60， ∴∠AFE＋∠DFC＝120． ∵∠D＝60，∴∠DCF＋∠DFC＝120， ∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE． (4)(1)中的結(jié)論仍成立．