山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3章 圓 3.3 垂徑定理同步練習(xí) （新版）北師大版.doc

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3.3垂徑定理 一、夯實(shí)基礎(chǔ) 1．下列語(yǔ)句中，不正確的個(gè)數(shù)是 (　　) ①弦是直徑　②半圓是弧?、坶L(zhǎng)度相等的弧是等弧　④經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直徑 A．1 B．2 C．3 D．4 2．△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC＝160，則∠ABC的度數(shù)是 (　　) A．80 B．160 C．100 D．80或100 3. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50，則∠OCD的度數(shù)是(　　) A．40　　B．45 C．50　　D．60 4.如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55，則∠BCD的度數(shù)為（　　) A．35 B．45 C．55 D．75 5.如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長(zhǎng)為 (　　) A．3 B．4 C．3 D．4 6.如圖，已知⊙O的直徑CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5，若CD=6cm，則AB的長(zhǎng)為（　?。? A． 4cm B． 3cm C． 2cm D． 2cm 二、能力提升 7.（xx貴州安順4分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB=8，CD=6，則BE=　 ． 8.如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第35秒時(shí)，點(diǎn)E在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是________度． 9．直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是________． 10．當(dāng)寬為3 cm的刻度尺的一邊與圓相切時(shí)，另一邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)如圖所示(單位：cm)，那么該圓的半徑為_(kāi)_______cm. 11．（xx?湖南張家界，第16題，3分）如圖，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為　?。? 12. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE、AD交于點(diǎn)P.求證： (1)D是BC的中點(diǎn)； (2)△BEC∽△ADC. 13. 如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F. 求證：CF＝BF. 三、課外拓展 14．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為E，連接BD. (1)求證：BD平分∠ABC； (2)當(dāng)∠ODB＝30時(shí)，求證：BC＝OD. 15. 如圖所示為圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖．已知圖中ABCD為等腰梯形(AB∥DC)，支點(diǎn)A與B相距8 m，罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1 m．設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5 m，∠D＝56，求：U型槽的橫截面(陰影部分)的面積．(參考數(shù)據(jù)：sin 53≈0.8，tan 56≈1.5，π≈3，結(jié)果保留整數(shù)) 四、中考鏈接 1．（xx湖北黃石3分）如圖所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長(zhǎng)度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 2. （xx陜西3分）如圖，⊙O的半徑為4，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC．若∠BAC與∠BOC互補(bǔ)，則弦BC的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 答案 1、解析：直徑是弦，但弦不一定是直徑故①不正確，弧包括半圓，優(yōu)弧和劣弧故②正確，等弧是能夠重合的弧故③不正確，而經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)只能作一條直徑或無(wú)數(shù)條直徑(圓內(nèi)一點(diǎn)正好是圓心，故④不正確。) 答案　C 2．解析　如圖，∵∠AOC＝160， ∴∠ABC＝∠AOC＝160＝80， ∵∠ABC＋∠AB′C＝180， ∴∠AB′C＝180－∠ABC＝180－80＝100. ∴∠ABC的度數(shù)是：80或100. 答案　D 3.解析　連接OB， ∵∠A＝50， ∴∠BOC＝2∠A＝100， ∵OB＝OC， ∴∠OCD＝∠OBC＝(180－∠BOC)＝40. 答案　A 4.解析　連接AD， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90， ∵∠ABD＝55， ∴∠A＝90－∠ABD＝35， ∴∠BCD＝∠A＝35. 答案　A 5.解析　作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OB，OD， 由垂徑定理、勾股定理得：OM＝＝3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90 ∴四邊形MONP是正方形，∴OP＝3. 答案　C 6.解：連結(jié)OA，如圖， ∵∠ACD=22.5， ∴∠AOD=2∠ACD=45， ∵⊙O的直徑CD垂直于弦AB， ∴AE=BE，△OAE為等腰直角三角形， ∴AE=OA， ∵CD=6， ∴OA=3， ∴AE=， ∴AB=2AE=3（cm）． 故選B． 7.解：如圖，連接OC． ∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，CD=6， ∴CE=ED=CD=3． ∵在Rt△OEC中，∠OEC=90，CE=3，OC=4， ∴OE= ∴BE=OB﹣OE=4﹣． 故答案為4﹣． 8. 解析：連接OE， ∵∠ACB＝90， ∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上， 即點(diǎn)C在⊙O上， ∴∠EOA＝2∠ECA， ∵∠ECA＝235＝70， ∴∠AOE＝2∠ECA＝270＝140. 答案　140 9．解析　由勾股定理可知： ①當(dāng)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為16時(shí)，這個(gè)三角形的外接圓半徑為8； ②當(dāng)兩條直角邊長(zhǎng)分別為16和12，則直角三角形的斜邊長(zhǎng)＝＝20， 因此這個(gè)三角形的外接圓半徑為10. 綜上所述：這個(gè)三角形的外接圓半徑等于8或10. 答案　8或10 10． 解析　連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D， ∵OD⊥AB， ∴AD＝AB＝ (9－1)＝4，設(shè)OA＝r，則OD＝r－3， 在Rt△OAD中， OA2－OD2＝AD2，即r2－(r－3)2＝42， 解得r＝ cm. 答案　 11.解：連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H． 根據(jù)垂徑定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3， ∴OE===3， OF===4， ∴CH=OE+OF=3+4=7， BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7， 在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=7， 則PA+PC的最小值為． 12. 證明　(1)∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90，即AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴D是BC的中點(diǎn)； (2)∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ADB＝90， 即∠CEB＝∠CDA＝90， ∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC. 13. 證明　如圖．∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90，又∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90. ∴∠2＝90－∠ACE＝∠A. 又∵C是弧BD的中點(diǎn)，∴∠1＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴ CF＝BF. 14．證明　(1)∵OD⊥AC　OD為半徑， ∴＝，∴∠CBD＝∠ABD， ∴BD平分∠ABC； (2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30， ∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30＋30＝60， 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90， ∴∠A＝180－∠OEA－∠AOD＝180－90－60＝30， 又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90， 在Rt△ACB中，BC＝AB， ∵OD＝AB，∴BC＝OD. 15. 解　如圖，連接AO、BO.過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥DC于點(diǎn)N，ON交⊙O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，則OF⊥AB. ∵OA＝OB＝5 m，AB＝8 m， ∴AF＝BF＝AB＝4(m)，∠AOB＝2∠AOF，在Rt△AOF中，sin∠AOF＝＝0.8＝sin 53， ∴∠AOF＝53，則∠AOB＝106， ∵OF＝＝3(m)，由題意得：MN＝1 m， ∴FN＝OM－OF＋MN＝3(m)， ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，F(xiàn)N⊥AB， ∴AE＝FN＝3 m，DC＝AB＋2DE. 在Rt△ADE中，tan 56＝＝， ∴DE＝2 m，DC＝12 m. ∴S陰＝S梯形ABCD－(S扇形OAB－S△OAB)＝(8＋12)3－ ≈20(m2)． 答　U型槽的橫截面積約為20 m2. 中考鏈接： 1．解：由題意可得， OA=13，∠ONA=90，AB=24， ∴AN=12， ∴ON=， 故選A． 2.解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D， 則BC=2BD， ∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補(bǔ)， ∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180， ∴∠BOC=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB==30， ∵⊙O的半徑為4， ∴BD=OB?cos∠OBC=4=2， ∴BC=4． 故選：B．