高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.4 數(shù)列求和課件 理.ppt

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第六章數(shù)列 6 4數(shù)列求和 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 題型分類深度剖析 審題路線圖系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法 1 公式法 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 當(dāng)q 1時(shí) Sn na1 知識(shí)梳理 1 答案 2 分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng) 使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差 等比數(shù)列 再求解 3 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和 正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng) 常見的裂項(xiàng)公式 4 倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加 即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣 5 錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和 即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣 6 并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中 可兩兩結(jié)合求解 則稱之為并項(xiàng)求和 形如an 1 nf n 類型 可采用兩項(xiàng)合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 3 求Sn a 2a2 3a3 nan之和時(shí) 只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得 思考辨析 答案 5 推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法 利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44 5 答案 考點(diǎn)自測(cè) 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 1 n 1 4n 3 則它的前100項(xiàng)之和S100 解析S100 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 100 3 4 1 2 3 4 99 100 4 50 200 200 解析答案 1 2 3 4 5 解析當(dāng)x1 x2 1時(shí) 即S 5 f x1 f x2 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 2n 1 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 2n 1 2 n2 解析答案 1 2 3 4 5 a1 0 a2 2 a3 0 a4 4 故S4 a1 a2 a3 a4 2 S2017 S2016 a2017 1008 1008 解析答案 1 2 3 4 5 返回 題型分類深度剖析 解當(dāng)n 1時(shí) a1 S1 1 a1也滿足an n 故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 題型一分組轉(zhuǎn)化法求和 解析答案 2 設(shè) 求數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和 解由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 記數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和為T2n 則T2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 記A 21 22 22n B 1 2 3 4 2n B 1 2 3 4 2n 1 2n n 故數(shù)列 bn 的前2n項(xiàng)和T2n A B 22n 1 n 2 解析答案 例1 2 中 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 解由 1 知bn 2n 1 n n 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) Tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 解析答案 思維升華 引申探究 思維升華 某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差 從而求得原數(shù)列的和 這就要通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究 將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化 特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n項(xiàng)和Sn 跟蹤訓(xùn)練1 解析答案 解Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 解析答案 例2 2015 湖北 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 前n項(xiàng)和為Sn 等比數(shù)列 bn 的公比為q 已知b1 a1 b2 2 q d S10 100 1 求數(shù)列 an bn 的通項(xiàng)公式 題型二錯(cuò)位相減法求和 解析答案 解析答案 可得 解析答案 思維升華 思維升華 用錯(cuò)位相減法求和時(shí) 應(yīng)注意 1 要善于識(shí)別題目類型 特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形 2 在寫出 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊 以便下一步準(zhǔn)確寫出 Sn qSn 的表達(dá)式 3 在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí) 若等比數(shù)列的公比為參數(shù) 應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 已知數(shù)列 an 滿足首項(xiàng)為a1 2 an 1 2an n N 設(shè)bn 3log2an 2 n N 數(shù)列 cn 滿足cn anbn 1 求證 數(shù)列 bn 為等差數(shù)列 證明由已知可得 an a1qn 1 2n bn 3log22n 2 bn 3n 2 bn 1 bn 3 數(shù)列 bn 為首項(xiàng)b1 1 公差d 3的等差數(shù)列 跟蹤訓(xùn)練2 解析答案 2 求數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和Sn 解cn anbn 3n 2 2n Sn 1 2 4 22 7 23 3n 2 2n 2Sn 1 22 4 23 7 24 3n 5 2n 3n 2 2n 1 得 Sn 2 3 22 23 24 2n 3n 2 2n 1 10 5 3n 2n 1 Sn 10 5 3n 2n 1 解析答案 解由題意知 題型三裂項(xiàng)相消法求和 即a1 3或2 又an為正數(shù) 所以a1 2 解析答案 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 Sn 3 Sn n2 n 0 則Sn n2 n或Sn 3 又?jǐn)?shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) 所以Sn n2 n Sn 1 n 1 2 n 1 所以當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 又a1 2 2 1 所以an 2n 解析答案 解析答案 證明當(dāng)n 1時(shí) 解析答案 所以對(duì)一切正整數(shù)n 解析答案 思維升華 思維升華 1 求Sn的表達(dá)式 跟蹤訓(xùn)練3 解析答案 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 由題意得Sn 1 Sn 0 解析答案 返回 審題路線圖系列 1 確定常數(shù)k 并求an 審題路線圖系列 四審結(jié)構(gòu)定方案 解析答案 審題路線圖 審題路線圖 解析答案 規(guī)范解答 當(dāng)n 1時(shí) 上式也成立 溫馨提醒 解析答案 返回 審題路線圖 審題路線圖 溫馨提醒 解析答案 規(guī)范解答 溫馨提醒 溫馨提醒 1 根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特征和最值確定k和Sn 求出an后再根據(jù) 的結(jié)構(gòu)特征確定利用錯(cuò)位相減法求Tn 在審題時(shí) 要通過題目中數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征判定解題方案 2 利用Sn求an時(shí)不要忽視n 1的情況 錯(cuò)位相減時(shí)不要漏項(xiàng)或算錯(cuò)項(xiàng)數(shù) 3 可以通過n 1 2時(shí)的特殊情況對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證 返回 思想方法感悟提高 非等差 等比數(shù)列的一般數(shù)列求和 主要有兩種思想 1 轉(zhuǎn)化的思想 即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列 這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成 2 不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列 往往通過裂項(xiàng)相消法 錯(cuò)位相減法 倒序相加法 并項(xiàng)法 數(shù)列的周期性等來求和 方法與技巧 1 直接應(yīng)用公式求和時(shí) 要注意公式的應(yīng)用范圍 如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù) 字母 時(shí) 應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論 2 在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí) 注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào) 結(jié)論中形如an an 1的式子應(yīng)進(jìn)行合并 3 在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí) 要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性 即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng) 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析f x mxm 1 a a 1 m 2 f x x2 x 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知函數(shù)f n n2cos n 且an f n f n 1 則a1 a2 a3 a100 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 100 解析若n為偶數(shù) 則an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首項(xiàng)為a2 5 公差為 4的等差數(shù)列 若n為奇數(shù) 則an f n f n 1 n2 n 1 2 2n 1 所以an是首項(xiàng)為a1 3 公差為4的等差數(shù)列 所以a1 a2 a3 a100 a1 a3 a99 a2 a4 a100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a1 2 且對(duì)任意正整數(shù)k l 都有ak l ak al 則S8的值是 解析因?yàn)閍1 2 且對(duì)任意正整數(shù)k l 都有ak l ak al 令k n l 1 得an 1 an a1 即an 1 an 2 所以 an 是首項(xiàng)為2 公差為2的等差數(shù)列 從而有an 2n 所以Sn n n 1 故S8 72 72 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由題意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 100 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 在等差數(shù)列 an 中 a1 0 a10 a11 0 若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10 36 前18項(xiàng)和S18 12 則數(shù)列 an 的前18項(xiàng)和T18的值是 解析由a1 0 a10 a11 0可知d 0 a10 0 a11 0 T18 a1 a10 a11 a18 S10 S18 S10 60 60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 整數(shù)數(shù)列 an 滿足an 2 an 1 an n N 若此數(shù)列的前800項(xiàng)的和是2013 前813項(xiàng)的和是2000 則其前2015項(xiàng)的和為 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由an 2 an 1 an 得an 2 an an 1 an an 1 易得該數(shù)列是周期為6的數(shù)列 且an 2 an 1 0 S800 a1 a2 2013 S813 a1 a2 a3 2000 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此可知an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 an 6 0 S2015 S5 13 答案 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 an 1 an an 1 an 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又 an 為正項(xiàng)數(shù)列 an 1 an 1 0 即an 1 an 1 數(shù)列 an 是以1為首項(xiàng) 1為公差的等差數(shù)列 an n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 T1 T2 T3 T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為9 答案9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知數(shù)列 an 中 a1 3 a2 5 且 an 1 是等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解 an 1 是等比數(shù)列且a1 1 2 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若bn nan 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解bn nan n 2n n 故Tn b1 b2 b3 bn 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 令T 2 2 22 3 23 n 2n 則2T 22 2 23 3 24 n 2n 1 兩式相減 得 T 2 22 23 2n n 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 T 2 1 2n n 2n 1 2 n 1 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得 Sn n2 n Sn 1 0 由于 an 是正項(xiàng)數(shù)列 所以Sn 1 0 所以Sn n2 n n N n 2時(shí) an Sn Sn 1 2n n 1時(shí) a1 S1 2適合上式 所以an 2n n N 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 證明由an 2n n N 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 已知數(shù)列2008 2009 1 2008 2009 這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和 則這個(gè)數(shù)列的前2014項(xiàng)之和S2014 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由已知得an an 1 an 1 n 2 an 1 an an 1 故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2008 2009 1 2008 2009 1 2008 2009 由此可知數(shù)列為周期數(shù)列 周期為6 且S6 0 2014 6 335 4 S2014 S4 2008 2009 1 2008 2010 答案2010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 當(dāng)n 17時(shí) an 0 從而b1 b2 b14 0 b17 b18 b15 a15a16a17 0 b16 a16a17a18 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故S14 S13 S1 S14 S15 S15 S16 S16 S17 S18 所以b15 b16 a16a17 a15 a18 0 所以S16 S14 故當(dāng)Sn取得最大值時(shí)n 16 答案16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 得當(dāng)n 2時(shí) cn c1 c2 c1 c3 c2 cn cn 1 0 3 5 2n 1 n2 1 n 1 n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15