高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 第3節(jié) 一元二次不等式及其解法課件.ppt

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第六章不等式 第3節(jié)一元二次不等式及其解法 1 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù) 一元二次方程的關(guān)系 3 會解一元二次不等式 對給定的一元二次不等式 會設(shè)計求解的程度框圖 要點梳理 1 一元二次不等式及標(biāo)準(zhǔn)形式只含有一個未知數(shù) 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式不等式叫做一元二次不等式 其標(biāo)準(zhǔn)形式為ax2 bx c 0 ax2 bx c0 2 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解過程用程序框圖表示為 3 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表 質(zhì)疑探究 以上解法是按照a 0進(jìn)行的 若a 0情況應(yīng)該如何處理 提示 若a 0 則可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化 使x2的系數(shù)為正 但是一定要注意在轉(zhuǎn)化過程中不等號的變化 解析 原不等式化為 x 1 x 2 0 解得 2 x 1 故原不等式的解集為 2 1 答案 C 答案 C 如圖由 穿針引線法 可解得 0 x 1或x 1 答案 A 解析 由x2 x 12 0得 x 3 x 4 0 x 4或x 3 答案 4 3 5 已知不等式x2 2x k2 1 0對一切實數(shù)x恒成立 則實數(shù)k的取值范圍為 拓展提高 1 分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 2 在解含參數(shù)的不等式時 應(yīng)注意分類討論 其分類標(biāo)準(zhǔn)一般有三種 按二次項系數(shù)分為a 0和a 0 有時需分a 0與a0 0 0時 按兩根的大小進(jìn)行分類 活學(xué)活用1 1 不等式ax2 bx c 0的解集為 x 20的解集為 解析 令f x ax2 bx c 則f x ax2 bx c 結(jié)合圖像 可得ax2 bx c 0的解集為 x 3 x 2 答案 x 3 x 2 2 解關(guān)于x的不等式ax2 2 2x ax a R 考向二與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題例2 1 若不等式mx2 2x 1 0恒成立 則m的取值范圍是 2 若關(guān)于x的不等式ax2 x 2a 0的解集為 則實數(shù)a的取值范圍是 思路點撥 1 首先對不等式中二次項系數(shù)m討論確定不等式類型然后求解 2 題中條件等價于 關(guān)于x的不等式ax2 x 2a 0恒成立 活學(xué)活用2 1 若關(guān)于x的不等式x2 ax a 0的解集為R 則實數(shù)a的取值范圍是 2 若關(guān)于x的不等式x2 ax a 3的解集不是空集 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 1 由題意知 a2 4a 0 解得 4 a 0 因此實數(shù)a的取值范圍為 4 a 0 2 由題意知關(guān)于x的一元二次方程x2 ax a 3 0有解 因此有 a 2 4 3 a a2 4a 12 0 所以a 6或a 2 因此實數(shù)a的取值范圍為 a 6或a 2 答案 1 4 0 2 6 2 考向三一元二次不等式的實際應(yīng)用例3某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元 輛 出廠價為12萬元 輛 年銷售量為10000輛 本年度為適應(yīng)市場需求 計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量 適度增加投入成本 若每輛車投入成本增加的比例為x 0 x 1 則出廠價相應(yīng)地提高比例為0 75x 同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0 6x 已知年利潤 出廠價 投入成本 年銷售量 1 寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式 2 為使本年度的年利潤比上年度有所增加 則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi) 思路點撥 1 依據(jù) 年利潤 出廠價 投入成本 年銷售量 寫出 2 年利潤有所增加 即y 12 10 10000 0 解此不等式即可得x的范圍 解 1 由題意得y 12 1 0 75x 10 1 x 10000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 拓展提高不等式應(yīng)用題常以函數(shù) 數(shù)列為背景出現(xiàn) 多是解決現(xiàn)實生活 生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題 在解題中主要涉及到不等式的解法等問題 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是解不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵 活學(xué)活用3某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購某農(nóng)產(chǎn)品 并每100元納稅10元 又稱征稅率為10個百分點 計劃可收購a萬擔(dān) 政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品 決定將征稅率降低x x 0 個百分點 預(yù)測收購量可增加2x個百分點 1 寫出降稅后稅收y 萬元 與x的函數(shù)關(guān)系式 2 要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后 不少于原計劃稅收的83 2 試確定x的取值范圍 思想方法13數(shù)形結(jié)合思想在不等式問題中的應(yīng)用典例若x 0時 均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 則a 審題視角當(dāng)a 1時 a 1 x 10恒成立 而當(dāng)a 1時 f x a 1 x 1與g x x2 ax 1均過點 0 1 故可用數(shù)形結(jié)合思想解題 解析 1 當(dāng)a 1時 對x 0 恒有 a 1 x 10 恒有x2 ax 1 0 由于二次函數(shù)y x2 ax 1的圖像開口向上 式不恒成立 即a 1時 原不等式不會恒成立 2 當(dāng)a 1時 令f x a 1 x 1 g x x2 ax 1 兩函數(shù)圖像都過定點P 0 1 方法點睛 1 對于常規(guī)方法不易解決的不等式問題 可構(gòu)造函數(shù) 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決 2 解決本題的關(guān)鍵點是 找到參數(shù)a分類討論的標(biāo)準(zhǔn) 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像間的關(guān)系問題 借助函數(shù)圖像特征 找到兩函數(shù)零點的關(guān)系 答案 D 思維升華 方法與技巧 1 三個二次 的關(guān)系是解一元二次不等式的理論基礎(chǔ) 一般可把a(bǔ)0時的情形 2 f x 0的解集即為函數(shù)y f x 的圖像在x軸上方的點的橫坐標(biāo)的集合 充分利用數(shù)形結(jié)合思想 3 簡單的分式不等式可以等價轉(zhuǎn)化 利用一元二次不等式解法進(jìn)行求解 失誤與防范 1 對于不等式ax2 bx c 0 求解時不要忘記討論a 0時的情形 2 當(dāng) 0 a 0 的解集為R還是 要注意區(qū)別 3 含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn) 避免盲目討論