高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章 第6講 不等式選講課件 理.ppt

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第6講 不等式選講 1 理解絕對值的幾何意義 并能利用含絕對值不等式的幾 何意義證明以下不等式 1 a b a b 2 a b a c c b 3 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式 ax b c ax b c x c x b a 2 了解下列柯西不等式的幾種不同形式 理解它們的幾何意義 并會證明 3 會用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形 4 會用向量遞歸方法討論排序不等式 5 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍 會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題 6 會用數(shù)學(xué)歸納法證明伯努利不等式 1 x n 1 nx x 1 x 0 n為大于1的正整數(shù) 了 解當(dāng)n為大于1的實數(shù)時伯努利不等式也成立 7 會用上述不等式證明一些簡單問題 能夠利用平均值不 等式 柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值 8 了解證明不等式的基本方法 比較法 綜合法 分析法 反證法 縮放法 1 常用的證明不等式的方法 1 比較法 比較法包括作差比較法和作商比較法 2 綜合法 利用某些已經(jīng)證明過的不等式 例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理 和不等式的性質(zhì) 推導(dǎo)出所要證明的不等式 3 分析法 證明不等式時 有時可以從求證的不等式出發(fā) 分析使這個不等式成立的充分條件 把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題 如果能夠肯定這些充分條件都已具備 那么就可以斷定原不等式成立 4 反證法 可以從正難則反的角度考慮 即要證明不等式A B 先假設(shè)A B 由題設(shè)及其他性質(zhì) 推出矛盾 從而肯定A B 凡涉及的證明不等式為否定命題 唯一性命題或含有 至多 至少 不存在 不可能 等詞語時 可以考慮用反證法 5 放縮法 要證明不等式A B成立 借助一個或多個中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法 2 絕對值不等式 1 含絕對值不等式的解法 設(shè)a 0 f x a f x a 2 理解絕對值的幾何意義 a b a b a b D 1 用反證法證明時 其中的結(jié)論 a b 應(yīng)假設(shè)為 A a b B a b C a b D a b 2 若關(guān)于x的不等式 x a 1的解集為 1 3 則實數(shù)a的值為 A 2 B 1 C 1 D 2 3 不等式 2x 3 1的解集為 1 2 A 4 2014年廣東韶關(guān)調(diào)研 不等式 x 1 x 2 1的解集 是 1 5 2013年江西 在實數(shù)范圍內(nèi) 不等式 x 2 1 1的解 集為 0 4 考點1 比較法證明不等式 例1 2013年江蘇 已知a b 0 求證 2a3 b3 2ab2 a2b 證明 2a3 b3 2ab2 a2b 2a3 2ab2 a2b b3 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 規(guī)律方法 比較法證不等式的步驟可歸納為 作差并化簡 其化簡目標(biāo)應(yīng)是n個因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式 判斷差值與零的大小關(guān)系 必要時須進(jìn)行討論 得出結(jié)論 又 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 a b a b 2a b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 考點2 綜合法證明不等式 例2 2013年新課標(biāo) 設(shè)a b c均為正實數(shù) 且a b c 1 證明 規(guī)律方法 分析法證明不等式 就是 執(zhí)果索因 從所證的不等式出發(fā) 不斷用充分條件代替前面的不等式 直至使不等式成立的條件已具備 就斷定原不等式成立 當(dāng)證題不知從何入手時 有時可以運(yùn)用分析法而獲得解決 特別對于條件 簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法 用分析法論證 若A 則B 這個命題的模式是 欲證命題B為真 只需證明命題B1為真 從而又只需證明命題B2為真 從而又 只需證明命題A為真 今已知A真 故B必真 簡寫為 B B1 B2 Bn A 考點3 分析法證明不等式 規(guī)律方法 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程之間不能直接互化 必需以普通方程為橋梁 即將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程 或?qū)?shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程 要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性 考點4利用放縮法證明不等式時應(yīng)把握好度 規(guī)律方法 要證A B 可適當(dāng)選擇一個C 使得C B 反之亦然 主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時的證明 一般的放縮技巧有 分式放縮 固定分子 放縮分母 固定分母 放縮分子 多見于分式類不等式的證明 添舍放縮 視情況丟掉或增多一些項進(jìn)行放縮 多見于整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明 考點5 解絕對值不等式 例5 已知函數(shù)f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若關(guān)于x的不等式f x a恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 思維點撥 1 只要分區(qū)去掉絕對值 即轉(zhuǎn)化為普通的一次不等式 最后把各個區(qū)間內(nèi)的解集合并即可 2 問題等價于f x max 可以利用不等式 a b a b a b 考點6 不等式 a b a b a b 的應(yīng)用 例6 1 不等式 x 3 x 1 a2 3a對任意實數(shù)x恒成立 則實數(shù)a的取值范圍為 A 1 4 C 2 5 B 2 5 D 1 4 解析 由絕對值的幾何意義易知 x 3 x 1 的最小值為4 所以不等式 x 3 x 1 a2 3a對任意實數(shù)x恒成立 只需a2 3a 4 解得 1 a 4 答案 A 2 若關(guān)于x的不等式 x 3 x 4 a的解集不是空集 則實數(shù)a的取值范圍是 解析 設(shè)y x 3 x 4 1 x 3 則y 2x 7 3 x 4 圖象如圖6 6 1 1 x 4 圖6 6 1 由圖象 可知 1 y 1 當(dāng)a 1時 不等式的解集不是空集 答案 1 規(guī)律方法 對于比較復(fù)雜的含絕對值不等式的問題 若用常規(guī)解法需分類討論 去掉絕對值符號 解法繁瑣 而靈活運(yùn)用絕對值的幾何意義 往往能簡便 巧妙地將問題解決 互動探究 1 若不等式 x 4 x 3 a的解集為非空集合 則實數(shù)a 的取值范圍是 A a 7C a 1 B 1 a 7D a 1 解析 由題意 得a x 4 x 3 min x 4 x 3 x 4 x 3 即a 1 C 2 若不等式 x a x 2 1對任意實數(shù)x恒成立 則實 數(shù)a的取值范圍為 a 3或a 1 解析 設(shè)y x a x 2 則ymin a 2 因為不等式 x a x 2 1對 x R恒成立 所以 a 2 1 解得a 3 或a 1 3 2015年廣東廣州一模 已知a為實數(shù) 則 a 1是關(guān)于 x的絕對值不等式 x x 1 a有解的 B A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件