山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2章 二次函數(shù)（2）復(fù)習(xí)教案 （新版）北師大版.doc

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第二章二次函數(shù)（2） 一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 1、熟練把握二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系并能熟練應(yīng)用； 2、能用二次函數(shù)的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題及簡(jiǎn)單的綜合運(yùn)用。 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、復(fù)習(xí)重難點(diǎn) 熟練把握二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系并能熟練應(yīng)用；能用二次函數(shù)的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題及簡(jiǎn)單的綜合運(yùn)用。 四、教學(xué)過(guò)程 （一）知識(shí)梳理 1．利用二次函數(shù)求最值的問(wèn)題 (1)利潤(rùn)最大化——體會(huì)利用二次函數(shù)求解最值的一般步驟． 利用二次函數(shù)解決“利潤(rùn)最大化”問(wèn)題的一般步驟： ①找出銷(xiāo)售單價(jià)與利潤(rùn)之間的函數(shù)關(guān)系式(注明范圍)； ②求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)； ③由函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得其最值，即求得“最大利潤(rùn)”． (2)產(chǎn)量最大化——體會(huì)利用二次函數(shù)求解最值的幾種方式． 產(chǎn)量最大化問(wèn)題與最大利潤(rùn)問(wèn)題類(lèi)似，若問(wèn)題中的函數(shù)類(lèi)型是二次函數(shù)，可以利用求二次函數(shù)的頂點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)解決．也可以應(yīng)用配方法求其頂點(diǎn)，利用函數(shù)圖象也可以判斷函數(shù)的最值． [注意] 在求最值問(wèn)題中，我們常用二次函數(shù)的表達(dá)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求最值；也可以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法，結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)判斷求解最值；還可以利用列表的方法估計(jì)最值． (3)與圖形有關(guān)的最值問(wèn)題 直角三角形中矩形的最大面積：要求面積就需要知道矩形的兩條邊，因此，把這兩條邊分別用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，代入面積公式就能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題了． [警示] 在利用二次函數(shù)解答涉及圖形的最值問(wèn)題時(shí)，要注意圖形中自變量的取值范圍及是否有實(shí)際意義，這是很多同學(xué)易犯錯(cuò)的地方． 2．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 對(duì)于一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，只要令y等于某個(gè)具體的數(shù)y0，就可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次方程，這個(gè)方程的解是拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為y0的點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 特殊地，如果令y值為0，所得方程為ax2＋bx＋c＝0，該方程的解是拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．若方程無(wú)解，則說(shuō)明拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)． 二次函數(shù)的圖象和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，可以總結(jié)如下：設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0. 當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有　　個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸只有　　個(gè)交點(diǎn)(即頂點(diǎn))； 當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)． （二）題型、方法歸納 類(lèi)型一　一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系 例1　拋物線(xiàn)y＝kx2－7x－7的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是(　　) A．k≥－ B．k≥－且k≠0 C．k>－ D．k>－且k≠0 [解析] B　先根據(jù)(－7)2－4k(－7)≥0得到k≥－，由于是拋物線(xiàn)，所以k≠0. 類(lèi)型二　二次函數(shù)與圖形面積 例2　如圖X2－8，苗圃的形狀是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD.其中AB，AD是已有的墻，∠BAD＝135，另外兩邊BC與CD的長(zhǎng)度之和為30米，如果梯形的高BC為變量x(米)，梯形面積為y(米2)，問(wèn)：當(dāng)x取何值時(shí)，梯形的面積最大？最大面積是多少？ [解析] 從題中已知梯形(除去一腰)的長(zhǎng)和一個(gè)特殊角∠BAD＝135，這里可利用梯形面積公式等相關(guān)知識(shí)構(gòu)造出函數(shù)解析式． 解：作AE⊥CD于點(diǎn)E，如圖X2－9，因?yàn)椤螧AD＝135，則∠ADC＝45.所以BC＝AE＝ED.又因?yàn)锽C＋CE＋ED＝30， 則AB＝30－2x，CD＝30－x， 故y＝(AB＋CD)BC＝[(30－2x)＋(30－x)]x， 所以y＝－x2＋30x(0＜x＜15)． 配方得：y＝－(x－10)2＋150.即當(dāng)x＝10時(shí)，y最大＝150(米2)． 類(lèi)型三　二次函數(shù)與幾何圖形 例3　如圖，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常數(shù))，BC＝8，E為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)．連接DE，作EF⊥DE，EF與射線(xiàn)BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE＝x，BF＝y(tǒng). (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)若m＝8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？ (3)若y＝，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？ [解析] (1)設(shè)法證明y與x這兩條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形相似，由比例式建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)將m的值代入(1)中的函數(shù)關(guān)系式，配方化成頂點(diǎn)式后求最值；(3)逆向思考，當(dāng)△DEF是等腰三角形，因?yàn)镈E⊥EF，所以只能是EF＝ED，再由(1)可得Rt△BFE≌Rt△CED，從而求出m的值． 解：(1)在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90， ∴在Rt△BFE中，∠BEF＋∠BFE＝90. 又∵EF⊥DE，∴∠BEF＋∠CED＝90， ∴∠CED＝∠BFE， ∴Rt△BFE∽R(shí)t△CED， ∴＝，即＝.∴y＝. (2)當(dāng)m＝8時(shí)，y＝，化成頂點(diǎn)式：y＝－2＋2， ∴當(dāng)x＝4時(shí)，y的值最大，最大值是2. (3)由y＝及y＝得x的方程：x2－8x＋12＝0， 解得x1＝2，x2＝6. ∵△DEF中∠FED是直角， ∴要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF＝ED， 此時(shí)，Rt△BFE≌Rt△CED， ∴當(dāng)EC＝2時(shí)，m＝CD＝BE＝6； 當(dāng)EC＝6時(shí)，m＝CD＝BE＝2. 即m的值為6或2時(shí)，△DEF是等腰三角形． 在幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，要注意運(yùn)用“相似法”“面積法”與“勾股法”建立有關(guān)等式，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式．這也是中考試卷中的常見(jiàn)考點(diǎn)． 類(lèi)型四　二次函數(shù)與生活應(yīng)用 例4　利達(dá)經(jīng)銷(xiāo)店為某工廠代銷(xiāo)一種建筑材料(這里的代銷(xiāo)是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理)．當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷(xiāo)售量為45噸．該經(jīng)銷(xiāo)店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷(xiāo)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷(xiāo)售量就會(huì)增加7.5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其他費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x(元)，該經(jīng)銷(xiāo)店的月利潤(rùn)為y(元)． (1)當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷(xiāo)售量； (2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出x的取值范圍)； (3)該經(jīng)銷(xiāo)店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？ (4)小靜說(shuō)：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷(xiāo)售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． [解析] 當(dāng)每噸材料售價(jià)為x元時(shí)，對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售量為噸，由此就可以列出函數(shù)解析式．而對(duì)于當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷(xiāo)售額也最大的問(wèn)題時(shí)，我們只需注意兩者的區(qū)別就是一個(gè)減去成本，一個(gè)不減成本． 解：(1)45＋7.5＝60(噸)． (2)y＝(x－100)， 化簡(jiǎn)得：y＝－x2＋315x－24000. (3)y＝－x2＋315x－24000＝－(x－210)2＋9075. 當(dāng)x為210元時(shí)，月利潤(rùn)y最大． 答：利達(dá)經(jīng)銷(xiāo)店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸210元． (4)我認(rèn)為，小靜說(shuō)的不對(duì)． 理由：方法一：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元， 而對(duì)于月銷(xiāo)售額W＝x＝－(x－160)2＋19200來(lái)說(shuō)，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷(xiāo)售額W最大． ∴當(dāng)x為210元時(shí)，月銷(xiāo)售額W不是最大． ∴小靜說(shuō)的不對(duì)． 方法二：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷(xiāo)售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷(xiāo)售額為18000元． ∵17325<18000， ∴當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷(xiāo)售額W不是最大． ∴小靜說(shuō)的不對(duì)． “每每型”二次函數(shù)模型成為近年考試的熱點(diǎn)問(wèn)題，其特點(diǎn)就是每下降，就每增加；或每增長(zhǎng)，就每減少．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是找到單價(jià)提高后，該經(jīng)銷(xiāo)店每天售出的建筑材料的噸數(shù)，而等量關(guān)系為銷(xiāo)售利潤(rùn)＝銷(xiāo)售噸數(shù)每噸的利潤(rùn)． （三）典例精講 例5　某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體(看成一點(diǎn))在空中的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)(如圖X2－11所示，圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件)．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10 m，入水距池邊的距離為4 m，同時(shí)運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5 m之前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水的姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤． (1)求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式； (2)在某次試跳時(shí)，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是(1)中的拋物線(xiàn)，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為3 m，問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由． [解析] 解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，將運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)抽象為所給出的直角坐標(biāo)系中的拋物線(xiàn)，用待定系數(shù)法求出表達(dá)式，再利用函數(shù)知識(shí)求解． 解：(1)在給定的直角坐標(biāo)系中，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c. 由題意知，O，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)，(2，－10)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為. 則有解得或 因拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)， 所以－＞0，即a與b異號(hào)，又開(kāi)口向下，則a＜0，b＞0， 所以a＝－，b＝－2，c＝0不符合題意，舍去． 故所求拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝－x2＋x. (2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為3 m，即x＝3－2＝ m時(shí)，y＝2＋＝－.所以此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10－＝＜5.因此，此次跳水會(huì)出現(xiàn)失誤． （四）歸納小結(jié) 說(shuō)一說(shuō)：通過(guò)這節(jié)課對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，你應(yīng)該學(xué)什么？你學(xué)會(huì)了什么？ 1、熟練把握二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系并能熟練應(yīng)用； 2、能用二次函數(shù)的知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題及簡(jiǎn)單的綜合運(yùn)用。 （五）隨堂檢測(cè) 1．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖X2－12所示，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝1，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)c>0 B．方程ax2＋bx＋c＝0的兩根是x1＝－1，x2＝3 C．2a－b＝0 D．當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小 2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖X2－13所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①b2－4ac>0；②a>0；③b>0；④c>0；⑤9a＋3b＋c<0.則其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖X2－14所示，則下列說(shuō)法正確的是(　　) 圖X2－14 A．b2－4ac<0 B．a(chǎn)bc<0 C．－<－1 D．a(chǎn)－b＋c<0 4.春節(jié)期間某水庫(kù)養(yǎng)殖場(chǎng)為適應(yīng)市場(chǎng)需求，連續(xù)用20天時(shí)間，采用每天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對(duì)水庫(kù)中某種鮮魚(yú)進(jìn)行捕撈、銷(xiāo)售． 九(1)班數(shù)學(xué)建模興趣小組根據(jù)調(diào)查，整理出第x天(1≤x≤20且x為整數(shù))的捕撈與銷(xiāo)售的相關(guān)信息如下： 鮮魚(yú)銷(xiāo)售單價(jià)(元/kg) 20 單位捕撈成本價(jià)(元/kg) 5－ 捕撈量(kg) 950－10x (1)在此期間該養(yǎng)殖場(chǎng)每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比是如何變化的？ (2)假定該養(yǎng)殖場(chǎng)每天捕撈和銷(xiāo)售的鮮魚(yú)沒(méi)有損失，且能在當(dāng)天全部售出，求第x天的收入y(元)與x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式．(當(dāng)天收入＝日銷(xiāo)售額－日捕撈成本) (3)試說(shuō)明(2)中的函數(shù)y隨x的變化情況，并指出在第幾天y取得最大值，最大值是多少？ 5.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,1)，且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0)． (1)求c的值； (2)求a的取值范圍； (3)該二次函數(shù)的圖象與直線(xiàn)y＝1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)P，記△PCD的面積為S1，△PAB的面積為S2，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求證：S1－S2為常數(shù)，并求出該常數(shù)． 【答案】 1.B 2.B 3.C 4. 解：(1)該養(yǎng)殖場(chǎng)每天的捕撈量與前一天的捕撈量相比每天減少10 kg. (2)由題意，得 y＝20(950－10x)－(950－10x)＝－2x2＋40x＋14250. (3)∵y＝－2x2＋40x＋14250＝－2(x－10)2＋14450， ∴當(dāng)1≤x≤10時(shí)，y隨x的增大而增大； 當(dāng)10≤x≤20時(shí)，y隨x的增大而減??； 當(dāng)x＝10時(shí)，即在第10天，y取得最大值，最大值為14450元． 5. 解：(1)c＝1 (2)將C(0,1)，A(1,0)代入得a＋b＋1＝0，故b＝―a―1. 由題意可知，b2－4ac＞0，可得(－a－1)2－4a＞0，即(a－1)2＞0，故a≠1.又a＞0， 所以a的取值范圍是a＞0且a≠1. (3)由題意0＜a＜1，b＝―a―1可得－＞1，故B在A的右邊，B點(diǎn)坐標(biāo)為，C(0,1)，D， |AB|＝－－1－1＝－－2，|CD|＝－. S1－S2＝S△CDA－SABC＝|CD|1－|AB|1＝1－1＝1. 所以S1－S2為常數(shù)，該常數(shù)為1. 五、板書(shū)設(shè)計(jì) 第二章二次函數(shù)（2） 1．利用二次函數(shù)求最值的問(wèn)題 (1)利潤(rùn)最大化——體會(huì)利用二次函數(shù)求解最值的一般步驟． 利用二次函數(shù)解決“利潤(rùn)最大化”問(wèn)題的一般步驟： ①找出銷(xiāo)售單價(jià)與利潤(rùn)之間的函數(shù)關(guān)系式(注明范圍)； ②求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)； ③由函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得其最值，即求得“最大利潤(rùn)”． 2.二次函數(shù)的圖象和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系 ：設(shè)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0. 當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有　　個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸只有　　個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)． 六、作業(yè)布置 單元檢測(cè)試題（二） 七、教學(xué)反思