2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題09 導數(shù)意義及導數(shù)運算 理.doc

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專題09 導數(shù)意義及導數(shù)運算 一、 考綱要求: 1.了解導數(shù)概念的實際背景 2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義. 3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2y＝x3，y＝的導數(shù). 4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，并了解復合函數(shù)求導法則，能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復合函數(shù))的導數(shù)． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1．奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)． 2．＝－(f(x)≠0)． 3．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)． 4．函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”． 　5.求函數(shù)導數(shù)的一般原則如下 (1）)遇到連乘的形式，先展開化為多項式形式，再求導. (2）)遇到根式形式，先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導. (3）)遇到復雜分式，先將分式化簡，再求導. 4）.復合函數(shù)求導，應先確定復合關系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元處理. 6.求函數(shù)圖象的切線方程的注意事項: (1）)首先應判斷所給點是不是切點，如果不是，需將切點設出. (2）)切點既在函數(shù)的圖象上，也在切線上，可將切點代入兩者的解析式建立方程組. (3）)在切點處的導數(shù)值對應切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件. (4）)曲線上一點處的切線與該曲線并不一定只有一個公共點. (5）)當曲線y=f(x)在點(x0,fx0)處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導數(shù)不存在，切線方程是x＝x0. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷Ⅰ）設函數(shù)f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為（　?。? A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 解析：函數(shù)f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)， 可得a=1，所以函數(shù)f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線的斜率為：1， 則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為：y=x． 故選：D． 例2.（2018全國卷II）曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為　?。? 解析：∵y=2ln（x+1）， ∴y′=， 當x=0時，y′=2， ∴曲線y=2ln（x+1）在點（0，0）處的切線方程為y=2x． 故答案為：y=2x． 例3.（2018全國卷Ⅲ）曲線y=（ax+1）ex在點（0，1）處的切線的斜率為﹣2，則a=　﹣3　． 例4.(2017全國卷Ⅰ)曲線y＝x＋在點(1,2)處的切線方程為________． x－y＋1＝0　 解析：∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1， 即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k＝1， ∴切線方程為y－2＝x－1， 即x－y＋1＝0. 例5.(2016全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________． y＝－2x－1　 解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x>0時，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，則f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1. 例6.(2017天津高考)已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝ax－ln x的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________ 解析：∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1. 又∵f(1)＝a，∴切線l的斜率為a－1，且過點(1，a)， ∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1. 導數(shù)意義及導數(shù)運算練習 一、 選擇題 1．函數(shù)f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數(shù)為(　　) A．2(x2－a2)　　　　 B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) C　解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3， ∴f′(x)＝3(x2－a2)．　 2．曲線f(x)＝2x－ex與y軸的交點為P，則曲線在點P處的切線方程為(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0 3．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，則f′(1)等于(　　) A．－e　　 B．－1 C．1　　　　D．e B 解析：　由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，則f′(1)＝－1.　 4．曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1 C．y＝3x＋1 D．y＝－3x－1 A　解析：由題意得y′＝(x＋1)ex＋2，則曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線的斜率為(0＋1)e0＋2＝3，故曲線y＝xex＋2x－1在點(0，－1)處的切線方程為y＋1＝3x，即y＝3x－1. 5．若直線y＝kx＋1是函數(shù)f(x)＝ln x圖象的一條切線，則k＝(　　) A． B． C．e D．e2 A 解析：　由f(x)＝ln x，得f′(x)＝.設切點為(x0，ln x0)，則 解得x0＝e2， 則k＝＝，故選A． 6.已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋mx＋n相切于點A(1,3)，則n＝(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 C　解析：對于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3. 7．已知y＝f(x)是可導函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 8.曲線y＝1－在點(－1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 9.若直線y＝ax是曲線y＝2ln x＋1的一條切線，則實數(shù)a＝(　　) A．e　　　 B．2e　　　　 C．e　　　　 D．2e B解析：　依題意，設直線y＝ax與曲線y＝2ln x＋1的切點的橫坐標為x0，則有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，a＝＝2e，選B. 10．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的值為(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 D解析：　∵f′(x)＝， ∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0， ∴切線l的方程為y＝x－1. g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)， 則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0， 解得m＝－2. 11．曲線y＝e在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為(　　) A．e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 D　解析：易知曲線y＝e在點(4，e2)處的切線斜率存在，設其為k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切線方程為y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面積為S＝2|－e2|＝e2. 12．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的值為(　　) A．－1 B．－3 C．－4 D．－2 二、填空題 13．(2016全國卷Ⅱ)若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________. 1－ln 2　解析：分別求出兩個對應函數(shù)的導數(shù)，設出兩個切點坐標，利用導數(shù)得到兩個切點坐標之間的關系，進而求出切線斜率，求出b的值． 求得(ln x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝. 設曲線y＝ln x＋2上的切點為(x1，y1)，曲線y＝ln(x＋1)上的切點為(x2，y2)， 則k＝＝，所以x2＋1＝x1. 又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1， 所以k＝＝2， 所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln 2， 所以b＝y(tǒng)1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 14．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖象在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________. 1　解析：∵f′(x)＝3ax2＋1， ∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 15．曲線y＝aln x(a＞0)在x＝1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，則a＝________. 16．設曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線y＝(x＞0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________． (1,1)　解析：∵函數(shù)y＝ex的導函數(shù)為y′＝ex， ∴曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1. 設P(x0，y0)(x0＞0)，∵函數(shù)y＝的導函數(shù)為y′＝－，∴曲線y＝(x＞0)在點P處的切線的斜率k2＝－. 易知k1k2＝－1，即1＝－1，解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.又∵點P在曲線y＝(x＞0)上，∴y0＝1，故點P的坐標為(1,1)． 三、解答題 17．求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝xtan x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝. [解]　(1)y′＝(xtan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′ ＝tan x＋x′＝tan x＋x ＝tan x＋. (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝′＝ ＝＝ ＝. 18．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． 19．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍. [解]　(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3， 則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．