2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

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3.1　回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念.2.會(huì)通過(guò)分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果.3.掌握建立線性回歸模型的步驟． 知識(shí)點(diǎn)一　線性回歸模型 思考　某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表： 推銷員編號(hào) 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推銷金額y/萬(wàn)元 2 3 3 4 5 請(qǐng)問(wèn)如何表示推銷金額y與工作年限x之間的相關(guān)關(guān)系？y關(guān)于x的線性回歸方程是什么？ 答案　畫出散點(diǎn)圖，由圖可知，樣本點(diǎn)散布在一條直線附近，因此可用回歸直線表示變量之間的相關(guān)關(guān)系． 設(shè)所求的線性回歸方程為＝x＋， 則＝＝＝0.5， ＝－＝0.4. 所以年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為＝0.5x＋0.4. 梳理　(1)函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系． (2)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． (3)對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝＝，＝－ ，其中(，)稱為樣本點(diǎn)的中心． (4)線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差，自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量． 知識(shí)點(diǎn)二　線性回歸分析 具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的線性回歸方程為＝x＋. 思考1　預(yù)報(bào)變量與真實(shí)值y一樣嗎？ 答案　不一定． 思考2　預(yù)報(bào)值與真實(shí)值y之間誤差大了好還是小了好？ 答案　越小越好． 梳理　(1)殘差平方和法 ①i＝y(tǒng)i－i＝y(tǒng)i－xi－ (i＝1,2，…，n)稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差． ②殘差平方和(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好． (2)殘差圖法 殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高． (3)利用相關(guān)指數(shù)R2刻畫回歸效果 其計(jì)算公式為：R2＝1－，其幾何意義：R2越接近于1，表示回歸的效果越好． 知識(shí)點(diǎn)三　建立回歸模型的基本步驟 1．確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量． 2．畫出解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)． 3．由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程)． 4．按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù)． 5．得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(如個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等． 1．求線性回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．(　　) 2．在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)．(　√　) 3．利用線性回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值．(　　) 類型一　求線性回歸方程 例1　某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋； (3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力． 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)如圖： (2)iyi＝62＋83＋105＋126＝158， ＝＝9， ＝＝4， ＝62＋82＋102＋122＝344， ＝＝＝0.7， ＝－＝4－0.79＝－2.3， 故線性回歸方程為＝0.7x－2.3. (3)由(2)中線性回歸方程可知，當(dāng)x＝9時(shí)，＝0.79－2.3＝4，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4. 反思與感悟　(1)求線性回歸方程的基本步驟 ①列出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系． ②計(jì)算：，，，，iyi. ③代入公式求出＝x＋中參數(shù)，的值． ④寫出線性回歸方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出估計(jì)． (2)需特別注意的是，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的回歸方程毫無(wú)意義． 跟蹤訓(xùn)練1　假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 由此資料可知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系． (1)求線性回歸方程； (2)求使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用為多少？ 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)由上表中的數(shù)據(jù)可得 ＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3， ∴＝ ＝＝1.23， ∴＝－＝5－1.234＝0.08. ∴線性回歸方程為＝1.23x＋0.08. (2)當(dāng)x＝10時(shí)，＝1.2310＋0.08＝12.38. 即使用年限為10年時(shí)，該設(shè)備的維修費(fèi)用約為12.38萬(wàn)元． 類型二　回歸分析 例2　在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求出y對(duì)x的線性回歸方程，并說(shuō)明擬合效果的程度． 考點(diǎn)　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點(diǎn)　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 解?。?14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4. ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， iyi＝1412＋1610＋187＋205＋223＝620， 可得回歸系數(shù)＝ ＝＝－1.15， 所以＝7.4＋1.1518＝28.1， 所以線性回歸方程為＝－1.15x＋28.1. 列出殘差表： yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 則(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2. R2＝1－≈0.994. 所以回歸模型的擬合效果很好． 反思與感悟　(1)該類題屬于線性回歸問(wèn)題，解答此類題應(yīng)先通過(guò)散點(diǎn)圖來(lái)分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來(lái)分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助線性回歸方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析． (2)刻畫回歸效果的三種方法 ①殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說(shuō)明選用的模型比較合適． ②殘差平方和法：殘差平方和(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好． ③相關(guān)指數(shù)法：R2＝1－越接近1，表明回歸的效果越好． 跟蹤訓(xùn)練2　關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 有如下的兩個(gè)線性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.試比較哪一個(gè)擬合效果更好． 考點(diǎn)　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點(diǎn)　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 解　由(1)可得yi－i與yi－的關(guān)系如下表： yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－ －20 －10 10 0 20 ∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155， (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ∴R＝1－＝1－＝0.845. 由(2)可得yi－i與yi－的關(guān)系如下表： yi－i －1 －5 8 －9 －3 yi－ －20 －10 10 0 20 ∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180， (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ∴R＝1－＝1－＝0.82. 由于R＝0.845，R＝0.82,0.845>0.82， ∴R>R. ∴(1)的擬合效果好于(2)的擬合效果． 例3　某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． (xi－)2 (wi－)2 (xi－) (yi－) (wi－) (yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝i. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題： ①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 ＝，＝－ . 考點(diǎn)　非線性回歸分析 題點(diǎn)　非線性回歸分析 解　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型． (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－＝563－686.8＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)， 年銷售量y的預(yù)報(bào)值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值＝576.60.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當(dāng)＝＝6.8， 即x＝46.24時(shí)，取得最大值． 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大． 反思與感悟　求非線性回歸方程的步驟 (1)確定變量，作出散點(diǎn)圖． (2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)． (3)變量置換，通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，并求出線性回歸方程． (4)分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來(lái)判斷擬合效果． (5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程． 跟蹤訓(xùn)練3　在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 試建立y與x之間的回歸方程． 考點(diǎn)　非線性回歸分析 題點(diǎn)　非線性回歸分析 解　由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖， 根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系， 設(shè)＝，令t＝，則＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋? t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下： 由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下： i ti yi tiyi t 1 4 16 64 16 2 2 12 24 4 3 1 5 5 1 4 0.5 2 1 0.25 5 0.25 1 0.25 0.062 5 ∑ 7.75 36 94.25 21.312 5 所以＝1.55，＝7.2. 所以＝≈4.134 4， ＝－≈0.8. 所以＝4.134 4t＋0.8. 所以y與x之間的回歸方程是＝＋0.8. 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(　　) A．角度和它的余弦值 B．正方形的邊長(zhǎng)和面積 C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)和 D．人的年齡和身高 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　D 解析　函數(shù)關(guān)系就是變量之間的一種確定性關(guān)系．A，B，C三項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間都是函數(shù)關(guān)系，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，分別為f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D選項(xiàng)中的兩個(gè)變量之間不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于年齡確定的人群，仍可以有不同的身高，故選D. 2．設(shè)有一個(gè)線性回歸方程＝2－1.5x，當(dāng)變量x增加1個(gè)單位時(shí)(　　) A．y平均增加1.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位 C．y平均減少1.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　由回歸方程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以得到． 3．如圖四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個(gè)變量的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 考點(diǎn)　回歸分析 題點(diǎn)　回歸分析的概念和意義 答案　B 解析　由圖易知①③兩個(gè)圖中樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型． 4．某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個(gè))的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 由上表可得回歸直線方程＝x＋中的＝－5，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)零售價(jià)為14.5元時(shí)，每天的銷售量為(　　) A．51個(gè) B．50個(gè) C．54個(gè) D．48個(gè) 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　由題意知＝17.5，＝39，代入回歸直線方程得＝126.5,126.5－14.55＝54，故選C. 5．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 (1)分別計(jì)算：，，x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，x＋x＋x＋x； (2)已知變量x與y線性相關(guān)，求出線性回歸方程． 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)＝＝1.5，＝＝4， x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＝01＋13＋25＋37＝34， x＋x＋x＋x＝02＋12＋22＋32＝14. (2)＝＝2， ＝－ ＝4－21.5＝1， 故線性回歸方程為＝2x＋1. 回歸分析的步驟： (1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量； (2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)； (3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型(如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程＝x＋)； (4)按一定規(guī)則估算回歸方程中的參數(shù)； (5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等． 一、選擇題 1．對(duì)于線性回歸方程＝x＋ (>0)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，的值平均增加個(gè)單位 B．點(diǎn)(，)一定在＝x＋所表示的直線上 C．當(dāng)x＝t時(shí)，一定有y＝t＋ D．當(dāng)x＝t時(shí)，y的值近似為t＋ 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　C 解析　線性回歸方程是一個(gè)模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點(diǎn)大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有些散點(diǎn)不一定在回歸直線上． 2．給定x與y的一組樣本數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r＝－0.690，則(　　) A．y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng) B．y與x的相關(guān)性很強(qiáng) C．y與x正相關(guān) D．y與x負(fù)相關(guān) 考點(diǎn)　線性相關(guān)系數(shù) 題點(diǎn)　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　因?yàn)閞<0，所以y與x負(fù)相關(guān)，又|r|∈[0.75,1]才表示y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，所以選D. 3．某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天賣出的奶茶杯數(shù)與當(dāng)天的氣溫，得到下表中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)用最小二乘法建立了線性回歸方程＝－2x＋60，則樣本數(shù)據(jù)中污損的數(shù)據(jù)y0應(yīng)為(　　) 氣溫x(℃) －1 13 10 18 杯數(shù)y y0 34 38 24 A．58 B．64 C．62 D．60 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　B 解析　由表中數(shù)據(jù)易知＝10，代入＝－2x＋60中，得＝40.由＝40，得y0＝64. 4．已知變量x與y負(fù)相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)求得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程可能是(　　) A.＝－2x＋9.5 B.＝2x－2.4 C.＝－0.3x－4.4 D.＝0.4x＋2.3 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 答案　A 解析　因?yàn)樽兞縳與y負(fù)相關(guān)，所以排除B，D，將樣本平均數(shù)＝3，＝3.5代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知，選項(xiàng)A符合題意． 5．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(　　) 考點(diǎn)　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點(diǎn)　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　A 解析　用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高． 6．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回歸方程為＝x＋，則(　　) A.>0，>0 B.>0，<0 C.<0，>0 D.<0，<0 考點(diǎn)　線性回歸分析 題點(diǎn)　線性回歸方程的應(yīng)用 答案　B 解析　作出散點(diǎn)圖如下： 觀察圖象可知，回歸直線＝x＋的斜率<0， 當(dāng)x＝0時(shí)，＝>0.故>0，<0. 7．已知某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程y＝bx＋a＋e(單位：億元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)的財(cái)政收入為10億元，那么年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過(guò)(　　) A．9億元 B．10億元 C．9.5億元 D．10.5億元 考點(diǎn)　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點(diǎn)　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　y＝0.810＋2＋e＝10＋e≤10.5. 8．下列數(shù)據(jù)符合的函數(shù)模型為(　　) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3 A.y＝2＋x B．y＝2ex C．y＝2 D．y＝2＋ln x 考點(diǎn)　非線性回歸分析 題點(diǎn)　非線性回歸分析 答案　D 解析　分別將x值代入解析式判斷知滿足y＝2＋ln x. 9．為了考查兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100次和150次試驗(yàn)，并且利用最小二乘法求得的回歸直線分別為l1和l2.已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．l1與l2有交點(diǎn)(s，t) B．l1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t) C．l1與l2必定平行 D．l1與l2必定重合 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用 答案　A 解析　回歸直線l1，l2都過(guò)樣本點(diǎn)的中心(s，t)，但它們的斜率不確定，故選項(xiàng)A正確． 二、填空題 10．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為________． 考點(diǎn)　線性相關(guān)系數(shù) 題點(diǎn)　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　1 解析　根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知，當(dāng)所有樣本點(diǎn)都在一條直線上時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1. 11．若一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為________． 考點(diǎn)　線性相關(guān)系數(shù) 題點(diǎn)　線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用 答案　0.25 解析　R2＝1－＝0.25. 12．已知一個(gè)線性回歸方程為＝1.5x＋45，x∈{1,5,7,13,19}，則＝________. 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　樣本點(diǎn)中心的應(yīng)用 答案　58.5 解析　∵＝＝9，且＝1.5x＋45， ∴＝1.59＋45＝58.5. 13．在研究?jī)蓚€(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，觀察散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍．令＝ln y，求得線性回歸方程為＝0.25x－2.58，則該模型的回歸方程為________． 考點(diǎn)　非線性回歸分析 題點(diǎn)　非線性回歸分析 答案　y＝e0.25x－2.58 解析　因?yàn)椋?.25x－2.58，＝ln y， 所以y＝e0.25x－2.58. 三、解答題 14．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5 加工的時(shí)間y(小時(shí)) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝x＋，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線； (3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間？ (注：＝，＝－) 考點(diǎn)　線性回歸方程 題點(diǎn)　求線性回歸方程 解　(1)散點(diǎn)圖如圖． (2)由表中數(shù)據(jù)得iyi＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54， 所以＝＝＝0.7， 所以＝－ ＝3.5－0.73.5＝1.05. 所以＝0.7x＋1.05. 回歸直線如圖中所示． (3)將x＝10代入回歸直線方程，得＝0.710＋1.05＝8.05， 所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)． 四、探究與拓展 15．甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和(yi－i)2如下表： 甲 乙 丙 丁 散點(diǎn)圖 殘差平方和 115 106 124 103 以上的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考點(diǎn)　殘差分析與相關(guān)指數(shù) 題點(diǎn)　殘差及相關(guān)指數(shù)的應(yīng)用 答案　D 解析　根據(jù)線性相關(guān)的知識(shí)，散點(diǎn)圖中各樣本點(diǎn)條狀分布越均勻，同時(shí)保持殘差平方和越小(對(duì)于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2的表達(dá)式中(yi－)2為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，R2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗(yàn)結(jié)果知丁要好些． 16．為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化繁殖個(gè)數(shù)y的變化情況，收集數(shù)據(jù)如下： 時(shí)間x(天) 1 2 3 4 5 6 繁殖個(gè)數(shù)y 6 12 25 49 95 190 (1)用時(shí)間作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)作預(yù)報(bào)變量作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)求y與x之間的回歸方程； (3)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2，并描述解釋變量與預(yù)報(bào)變量之間的關(guān)系． 考點(diǎn)　非線性回歸分析 題點(diǎn)　非線性回歸分析 解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示： (2)由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝ln y，則 x 1 2 3 4 5 6 z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 所以＝0.69x＋1.115，則有＝e0.69x＋1.115. (3) 6.08 12.12 24.17 48.18 96.06 191.52 y 6 12 25 49 95 190 ＝(yi－)2＝4.816 1， (yi－)2≈－62≈24 642.83， R2＝1－≈1－≈0.999 8， 即時(shí)間解釋了99.98%的細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)的變化．