2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專題17 數(shù)列的概念及表示 理.doc

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專題17 數(shù)列的概念及表示 一、考綱要求: 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式). 2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． 二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)： 1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征： (1)分式中分子、分母的特征. (2)相鄰項(xiàng)的變化特征. (3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征. (4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想. 2.若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來(lái).對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來(lái)調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性. 3.已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式. (3)看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式. 4.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法 （1）已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. （2）已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. （3）已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列. 三、高考考題題例分析： 例1.(2015廣東卷節(jié)選)數(shù)列滿足， 求的值； 【答案】； 【解析】依題意， ∴ ； 例2.(2015高考山東卷節(jié)選)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知. （I）求的通項(xiàng)公式； 答案】 例3.(2015高考新課標(biāo)1節(jié)選)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=. 求{}的通項(xiàng)公式； 【答案】 【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所?3， 當(dāng)時(shí)，==，即，因?yàn)?，所?2， 所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以=； 數(shù)列的概念及表示練習(xí) 一、 選擇題 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－8n＋15，則3 (　　) A．不是數(shù)列{an}中的項(xiàng) B．只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng) C．只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng) D．是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng) 【答案】D 【解析】令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6， 故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)． 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為 (　　) A．15　　 B．16　　　　C．49　　　　D．64 【答案】A 【解析】當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15. 3．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于 (　　) A． B． C. D． 【答案】D　 4．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是 (　　) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 【答案】C 【解析】根據(jù)定義，屬于無(wú)窮數(shù)列的是選項(xiàng)A，B，C，屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C，D，故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C． 5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，則S5＝ (　　) A．31　　　　　　　 B．42 C．37 D．47 【答案】D　 【解析】∵an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，即Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，∴Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，∴數(shù)列{Sn＋1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為3，公比為2.則S5＋1＝324，解得S5＝47.故選D. 6．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形 則第7個(gè)三角形數(shù)是 (　　) A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B　 【解析】由題圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 7．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 (　　) A．2n－1 B． C．n2 D．n 【答案】D　 8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則該數(shù)列的前2 019項(xiàng)的乘積a1a2a3…a2 019＝ (　　) A． B．－ C．3 D．－3 【答案】C 【解析】由題意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1， ∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，而2 019＝4504＋3，a1a2a3a4＝1， ∴前2 019項(xiàng)的乘積為1504a1a2a3＝3. 9.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 10.已知n∈N*，給出4個(gè)表達(dá)式： ①an＝ ②an＝； ③an＝； ④an＝.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的是 (　　) A．①②③　　　　 B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A　 【解析】檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式． 11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝ (　　) A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2 【答案】A　 【解析】由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＝42n－1＝2n＋1，故選A． 12．若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為 (　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B　 二、填空題 13．在數(shù)列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______項(xiàng)． 【答案】10 【解析】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0， 則(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)． ∴a10＝0.08. 14．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝，若a4＝32，則a1＝________. 【答案】12 【解析】∵Sn＝，a4＝32， ∴－＝32，∴a1＝. 15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，則an＝__________. 【答案】　 【解析】由已知得，－＝n，所以－＝n－1， －＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1， 所以＝，所以an＝. 16．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 【答案】28　 【解析】依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4(1＋2＋4)＝28. 三、解答題 17. 已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 【答案】(1) an＝4n－5. (2) an＝ 18.分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)． 【答案】(1) an＝(n≥2)． (2) an＝n (3) an＝23n－1－1. 【解析】　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝(31＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. 19.　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an. (2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an. 【答案】(1) an=3－； (2) an＝2 【解析】(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－. (2)由于＝2n， 故＝21，＝22，…，＝2n－1， 將這n－1個(gè)等式疊乘， 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2. 20．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1－2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝an＋an＋1，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 【答案】(1)an＝2n(n∈N*) (2)bn＝32n 21．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 【答案】(1) a1＝1， a2＝2， a3＝3，a4＝4. (2) an＝n. 【解析】　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝a＋an－1，② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1， 公差為1的等差數(shù)列，故an＝n. 22．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值； (2)對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 【答案】(1) 最小值為a2＝a3＝－2. (2) (－3，＋∞)