2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 講明不等式的基本方法 三 反證法與放縮法講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc

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三 反證法與放縮法 1．反證法 (1)反證法證明的定義：先假設要證明的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不成立，從而證明原命題成立． (2)反證法證明不等式的一般步驟： ①假設命題不成立； ②依據(jù)假設推理論證； ③推出矛盾以說明假設不成立，從而斷定原命題成立． 2．放縮法 (1)放縮法證明的定義： 證明不等式時，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的． (2)放縮法的理論依據(jù)有： ①不等式的傳遞性； ②等量加不等量為不等量； ③同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較． 利用反證法證明問題 [例1]　已知f(x)＝x2＋px＋q. 求證：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. [思路點撥]　“至少有一個”的反面是“一個也沒有”． [證明]　(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于， 則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2. 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾， ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. (1)反證法適用范圍：凡涉及不等式為否定性命題，唯一性命題、存在性命題可考慮反證法．如證明中含“至多”“至少”“不能”等詞語的不等式． (2)注意事項：在對原命題進行否定時，應全面、準確，不能漏掉情況，反證法體現(xiàn)了“正難則反”的策略，在解題時要靈活應用． 1．實數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為(　　) A．a(chǎn)，b，c均不為0 B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0 C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0 解析：選D　“不全為0”是對“全為0”的否定，與其等價的是“至少有一個不為0”． 2．設a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)這四個數(shù)不可能都大于1. 證明：假設4a(1－b)>1,4b(1－c)>1,4c(1－d)>1， 4d(1－a)>1， 則有a(1－b)>，b(1－c)>， c(1－d)>，d(1－a)>. ∴>，>， >，>. 又∵≤，≤， ≤，≤， ∴>，>， >，>. 將上面各式相加得2>2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)這四個數(shù)不可能都大于1. 3．已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，且f(a)＋f(－b)b. 當a＝b時，－a＝－b則有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)與已知矛盾． 當a>b時，－a<－b，由函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)， 于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)與已知矛盾．故假設不成立． 故a(x＋y＋z)． [思路點撥]　解答本題可對根號內(nèi)的式子進行配方后再用放縮法證明． [證明]?。? ≥ ＝≥x＋. 同理可得 ≥y＋， ≥z＋， 由于x，y，z不全為零，故上述三式中至少有一式取不到等號，所以三式相加得： ＋＋>＋＋＝(x＋y＋z)． (1)利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進行恰當?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導致推證的失?。? (2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項或負項，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項或某項換以較大或較小的數(shù)，從而達到證明不等式的目的． 4．已知a，b是正實數(shù)，且a＋b＝1，求證：＋<. 證明：因為＋<＋ ＝＝， 所以原不等式得證． 5．已知n∈N＋，求證：＋＋…＋<2. 證明：因為<＝，<＝，…， <＝， 所以＋＋…＋<＝n2＋n， 又因為n2＋n<2， 所以原不等式得證． 1．如果兩個正整數(shù)之積為偶數(shù)，則這兩個數(shù)(　　) A．兩個都是偶數(shù) B．一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù) C．至少一個是偶數(shù) D．恰有一個是偶數(shù) 解析：選C　假設這兩個數(shù)都是奇數(shù)，則這兩個數(shù)的積也是奇數(shù)，這與已知矛盾，所以這兩個數(shù)至少一個為偶數(shù)． 2．設x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，則M，N的大小關系為(　　) A．M＞N　　　　　　　 B．M＜N C．M＝N D．不確定 解析：選B　N＝＋＞＋＝＝M. 3. 否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個為偶數(shù)”時正確的反設為(　　) A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 解析：選D　三個自然數(shù)的奇偶情況有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4種，而自然數(shù)a，b，c中恰有一個為偶數(shù)包含“二奇一偶”的情況，故反面的情況有3種，只有D項符合． 4．設a，b，c∈(－∞，0)，則三數(shù)a＋，b＋，c＋的值(　　) A．都不大于－2　　　　　 B．都不小于－2 C．至少有一個不大于－2 D．至少有一個不小于－2 解析：選C　假設都大于－2， 則a＋＋b＋＋c＋>－6， ∵a，b，c均小于0， ∴a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2， ∴a＋＋b＋＋c＋≤－6， 這與假設矛盾，則選C. 5．M＝＋＋＋…＋與1的大小關系為________． 解析：M＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ <＋＋＋…＋＝1，即M<1. 共210項 答案：M<1 6．用反證法證明“已知平面上有n(n≥3)個點，其中任意兩點的距離最大為d，距離為d的兩點間的線段稱為這組點的直徑，求證直徑的數(shù)目最多為n條”時，假設的內(nèi)容為____________． 解析：對“至多”的否定應當是“至少”，二者之間應該是完全對應的，所以本題中的假設應為“直徑的數(shù)目至少為n＋1條”． 答案：直徑的數(shù)目至少為n＋1條 7．A＝1＋＋＋…＋與(n∈N＋)的大小關系是________． 解析：A＝＋＋＋…＋≥＋＋…＋＝　　　　　　　　　　　　　　　 　 　n項 ＝. 答案：A≥ 8．實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd>1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 證明：假設a，b，c，d都是非負數(shù)． 由a＋b＝c＋d＝1，知a，b，c，d∈[0,1]． 從而ac≤≤，bd≤≤. ∴ac＋bd≤＝1.即ac＋bd≤1. 與已知ac＋bd>1矛盾， ∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 9．求證：＋＋＋…＋<2. 證明：因為<＝－， 所以＋＋＋…＋ <1＋＋＋…＋ ＝1＋＋＋…＋ ＝2－<2. 10．已知α，β∈， 且sin(α＋β)＝2sin α.求證α<β. 證明：假設α≥β. ①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α， 從而cos α＝1，這與α∈矛盾，故α＝β不成立． ②若α>β，則sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α， 所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即＝. 因為α>β，且α，β∈，所以sin α>sin β. 從而>1，即cos α>2－cos β， 即cos α＋cos β>2，這是不可能的，所以α>β不成立． 由①②可知假設不成立，故原結論成立．