2018-2019學年高中數學 第二講 參數方程 一 曲線的參數方程 2 圓的參數方程講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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2．圓的參數方程 圓的參數方程 (1)在t時刻，圓周上某點M轉過的角度是θ，點M的坐標是(x，y)，那么θ＝ωt(ω為角速度)．設|OM|＝r，那么由三角函數定義，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圓心在原點O，半徑為r的圓的參數方程為(t為參數)．其中參數t的物理意義是：質點做勻速圓周運動的時刻． (2)若取θ為參數，因為θ＝ωt，于是圓心在原點O，半徑為r的圓的參數方程為(θ為參數)．其中參數θ的幾何意義是：OM0(M0為t＝0時的位置)繞點O逆時針旋轉到OM的位置時，OM0轉過的角度． (3)若圓心在點M0(x0，y0)，半徑為R，則圓的參數方程為(0≤θ＜2π)． 　　　　　　　　　　　 求圓的參數方程 　　[例1]　根據下列要求，分別寫出圓心在原點，半徑為r的圓的參數方程． (1)在y軸左側的半圓(不包括y軸上的點)； (2)在第四象限的圓?。? [解]　(1)由題意，圓心在原點，半徑為r的圓的參數方程為(θ∈[0,2π))，在y軸左側半圓上點的橫坐標小于零，即x＝rcos θ<0，所以有<θ<，故其參數方程為. (2)由題意，得解得<θ<2π.故在第四象限的圓弧的參數方程為. (1)確定圓的參數方程，必須仔細閱讀題目所給條件，否則，就會出現錯誤，如本題易忽視θ的范圍而致誤． (2)由于選取的參數不同，圓有不同的參數方程． 1．已知圓的方程為x2＋y2＝2x，寫出它的參數方程． 解：x2＋y2＝2x的標準方程為(x－1)2＋y2＝1， 設x－1＝cos θ，y＝sin θ， 則參數方程為(0≤θ＜2π)． 2．已知點P(2,0)，點Q是圓上一動點，求PQ中點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 解：設中點M(x，y)．則即(θ為參數)這就是所求的軌跡方程．它是以(1,0)為圓心，為半徑的圓. 圓的參數方程的應用 [例2]　若x，y滿足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． [思路點撥]　(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圓，可考慮利用圓的參數方程將求2x＋y的最值轉化為求三角函數最值問題． [解]　令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ， 則有x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)， ∴－2≤2x＋y≤2， 即2x＋y的最大值為2，最小值為－2. 圓的參數方程突出了工具性作用，應用時，把圓上的點的坐標設為參數方程形式，將問題轉化為三角函數問題，利用三角函數知識解決問題． 3．已知圓C與直線x＋y＋a＝0有公共點，求實數a的取值范圍． 解：將圓C的方程代入直線方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， 即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin. ∵－1≤sin≤1，∴1－≤a≤1＋. 故實數a的取值范圍為[1－，1＋]． 一、選擇題 1．已知圓的參數方程為(θ為參數)，則圓的圓心坐標為(　　) A．(0,2)　　　　　　　　 B．(0，－2) C．(－2,0) D．(2,0) 解析：選D　將化為(x－2)2＋y2＝4，其圓心坐標為(2,0)． 2．已知圓的參數方程為(θ為參數)，則圓心到直線y＝x＋3的距離為(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：選B　圓的參數方程(θ為參數)化成普通方程為(x＋1)2＋y2＝2，圓心(－1,0)到直線y＝x＋3的距離d＝＝，故選B. 3．若直線y＝ax＋b經過第二、三、四象限，則圓(θ為參數)的圓心在(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 解析：選B　根據題意，若直線y＝ax＋b經過第二、三、四象限，則有a<0，b<0.圓的參數方程為(θ為參數)，圓心坐標為(a，b)，又由a<0，b<0，得該圓的圓心在第三象限，故選B. 4．P(x，y)是曲線(α為參數)上任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(　　) A．36 B．6 C．26 D．25 解析：選A　設P(2＋cos α，sin α)，代入得， (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)，所以其最大值為36. 二、填空題 5．x＝1與圓x2＋y2＝4的交點坐標是________． 解析：圓x2＋y2＝4的參數方程為(θ為參數) 令2cos θ＝1，得cos θ＝，∴sin θ＝. ∴交點坐標為(1，)和(1，－)． 答案：(1，)，(1，－) 6．曲線(θ為參數)與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 解析：根據題意，曲線(θ為參數)的普通方程為x2＋(y－1)2＝1， 表示圓心坐標為(0,1)，半徑r＝1的圓， 而直線的方程為x＋y－1＝0，易知圓心在直線上， 則AB為圓的直徑，故|AB|＝2r＝2. 答案：2 7．在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρsin ＝1，圓C的參數方程為(θ為參數)，則直線l與圓C相交所得的弦長為________． 解析：直線l的極坐標方程為ρsin＝1， 展開可得ρsin θ＋ρcos θ＝1，化為直角坐標方程為x＋y－2＝0，圓C的參數方程(θ為參數)化為普通方程為(x－2)2＋(y＋)2＝4， 可得圓心坐標為(2，－)，半徑r＝2. 圓心C到直線l的距離d＝＝. ∴直線l與圓C相交所得弦長＝2＝2 ＝. 答案： 三、解答題 8．將參數方程(t為參數，0≤t≤π)化為普通方程，并說明方程表示的曲線． 解：因為0≤t≤π，所以－3≤x≤5，－2≤y≤2.因為所以(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，所以曲線的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)．它表示的曲線是以點(1，－2)為圓心，4為半徑的上半圓． 9．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，θ∈. (1)求C的參數方程； (2)設點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(1)中你得到的參數方程，確定D的坐標． 解：(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數方程為(t為參數，0≤t≤π)． (2)設D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓．因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的直角坐標為，即. 10．在極坐標系中，已知三點O(0,0)，A，B. (1)求經過點O，A，B的圓C1的極坐標方程； (2)以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，圓C2的參數方程為(θ是參數)，若圓C1與圓C2外切，求實數a的值． 解：(1)O(0,0)，A，B對應的直角坐標分別為O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，則過點O，A，B的圓的普通方程為x2＋y2－2x－2y＝0，將代入可求得經過點O，A，B的圓C1的極坐標方程為ρ＝2cos. (2)圓C2：(θ是參數)對應的普通方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圓心為(－1，－1)，半徑為|a|，由(1)知圓C1的圓心為(1,1)，半徑為， 所以當圓C1與圓C2外切時，有＋|a|＝，解得a＝.