2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)28 二面角庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)28 二面角 要點(diǎn)闡述 1．二面角：從一條直線出發(fā)的 兩個(gè)半平面 所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．這兩個(gè)半平面叫做二面角的面． 2．二面角的平面角:如圖：在二面角的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的叫做二面角的平面角． 典型例題 【例】以等腰直角三角形斜邊上的高為棱，把它折成直二面角，則折后兩條直角邊的夾角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【規(guī)律總結(jié)】求二面角的步驟：①作出二面角的平面角；②證明該角兩邊都與棱垂直；③指出該角就是二面角的平面角；④計(jì)算該角的大?。?jiǎn)記為作、證、指、算． 小試牛刀 1．二面角是指(　　) A．兩個(gè)平面相交的圖形 B．一個(gè)平面繞著這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的圖形 C．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形 D．以?xún)蓚€(gè)相交平面交線上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)平面內(nèi)分別引垂直于交線的射線，這兩條射線所成的角 【易錯(cuò)易混】二面角不是角而是一個(gè)圖形，是用平面角度量它的大小． 2．以下三個(gè)命題中，正確的命題有（　　） ①一個(gè)二面角的平面角只有一個(gè)； ②二面角的棱垂直于這個(gè)二面角的平面角所在的平面； ③分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大?。? A．0個(gè)　　 B．1個(gè)　　 C．2個(gè)　 D．3個(gè) 【答案】B 【解析】?jī)H②正確． 【規(guī)律總結(jié)】找二面角的平面角的方法 ①垂面法：由二面角的平面角的定義，只需作與棱垂直的平面，則該平面與兩半平面所成交線構(gòu)成的角就是二面角的平面角． ②平移法：先分別在兩半平面內(nèi)找一條垂直于棱的射線，然后平移到公共端點(diǎn)位置就找到了二面角的平面角． 3．從空間一點(diǎn)P向二面角的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60，則二面角的平面角的大小是（　?。? A．60 B．120 C．60或120 D．不確定 【答案】C 【解析】若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60． 【規(guī)律小結(jié)】求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計(jì)算． 4．過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是（　?。? A．30　　　　 B．45　　　　　 C．60　　　　　　 D．90 【答案】C 【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，并將其補(bǔ)成四棱柱，易知兩平面所成的角為45． 5．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為(　　) A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】C 6．如果二面角α-l-β的平面角是銳角，點(diǎn)P到α、β和棱l的距離分別為、4和，求其二面角的大?。? 【思路分析】本題主要考查二面角的求法以及分類(lèi)討論的思想，關(guān)鍵分點(diǎn)在二面角α-l-β內(nèi)部與外部，然后運(yùn)用垂面法作出這個(gè)角． 考題速遞 1．若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是（　　） A．相等 B．互補(bǔ)　 C．相等或互補(bǔ) D．不確定 【答案】C 【解析】若方向相同則相等，若方向相反則互補(bǔ)． 2．在直二角面棱上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別在，平面內(nèi)作與棱成45角的斜線，，則的大小是（　　） A．45 B．60 C．120 D．60或120 【答案】D 【解析】畫(huà)出圖形，令并賦值計(jì)算，易得為等邊三角形或的等腰三角形． 3．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍．沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時(shí)二面角B－AD－C的大小為_(kāi)_______． 【答案】60 4．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥平面ABCD． （1）求證：平面PAD⊥平面PAB； （2）若平面PDA與平面ABCD成60的二面角，求該四棱錐的體積． 【解析】（1）∵PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴PB⊥AD． ∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B， ∴AD⊥平面PAB． 又∵AD平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB． （2）由（1）的證明知，∠PAB為平面PDA與平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60， ∴PB＝a． ∴VP－ABCD＝a2a＝． 數(shù)學(xué)文化 書(shū)立 書(shū)立是用來(lái)支撐書(shū)籍平穩(wěn)站立的物品．多用鐵，不銹鋼等材料制成“L”形狀并成對(duì)出現(xiàn)．書(shū)立可以避免一列站立的書(shū)傾斜歪倒，以防止書(shū)籍的折角，彎曲或損壞．書(shū)立還可以用于歸納整理不同類(lèi)的書(shū)籍．圖書(shū)館多會(huì)使用書(shū)立整理有空隙的書(shū)架，公司及個(gè)人也可以使用書(shū)立在平整的書(shū)桌上開(kāi)辟整齊的圖書(shū)資料空間．實(shí)際上，書(shū)立就是我們將要學(xué)習(xí)的直二面角．