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課時作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問題舉例
|基礎鞏固|(25分鐘，60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應為( )
A.cm B．100 cm
C．20 cm D.cm
解析：設高為h，體積為V，
則底面半徑r2＝202－h(huán)2＝400－h(huán)2，
∴V＝πr2h＝(400h－h(huán)3)，
V′＝(400－3h2)，
令V′＝0，
得h＝或h＝－(舍)．
答案：A
2．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關注，據(jù)有關的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－t3－t2＋36t－，則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的時刻是( )
A．6時 B．7時
C．8時 D．9時
解析：y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，則當6≤t<8時，y′>0，當8
150時，則R(x)＝[200－(x－150)]x＝350x－x2.
為求最大收益的件數(shù)，不妨認為R(x)連續(xù)可導，求R′(x)＝350－2x.令R′(x)＝0，得x＝175時，R有最大值．
答案：175
7．海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/小時，當速度為10海里/小時時，它的燃料費是每小時25元，其余費用(無論速度如何)都是每小時400元．如果甲乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應為________．
解析：由題意設燃料費y與航速x間滿足y＝ax3(0≤x≤30)，
又∵25＝a103，∴a＝.
設從甲地到乙地海輪的航速為v，費用為y，
則y＝av3＋400＝20v2＋，
由y′＝40v－＝0得v＝20<30.
答案：20海里/小時
8．某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為C萬元，產(chǎn)品單價為P萬元，且滿足C＝1 200＋x3，P＝，則當x＝________時，總利潤最高．
解析：設總利潤為L(x)萬元，則由題意得L(x)＝x－1 200－x3＝－x3＋500 －1 200(x>0)．由L′(x)＝－x2＋＝0，得x＝25.令L′(x)>0，得025，得L(x)在區(qū)間(0,25)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(25，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當x＝25時，總利潤最高．
答案：25
三、解答題(每小題10分，共20分)
9．某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應選用怎樣尺寸的頁面？
解析：設所印文字區(qū)域的左右長為x cm，則上下長為 cm，所以紙張的左右長為(x＋2)cm，上下長為cm，所以紙張的面積
S＝(x＋2)＝3x＋＋156.
所以S′＝3－，令S′＝0，解得x＝10.
當x>10時，S單調(diào)遞增；當020時，q′>0，
所以當v＝20時，q取得最小值．
即當速度為20千米/小時時，航行1千米所需費用總和最少．
|能力提升|(20分鐘，40分)
11．若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為( )
A．2πR2 B．πR2
C．4πR2 D.πR2
解析：設內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則
x＝ ，
∴S側(cè)＝2πxh＝2πh ＝2π ，
令t＝R2h2－，則t′＝2R2h－h(huán)3，令t′＝0，得h＝ R(舍負)或h＝0(舍去)，當00，當 R0)，貨款的利率為4.8%，假設銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________．
解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應支付的存款利息是kx3，銀行應獲得的貨款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；當0.0320，
當40；當2
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