2018年秋高中數(shù)學 課時分層作業(yè)28 簡單的三角恒等變換 新人教A版必修4.doc

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課時分層作業(yè)(二十八)　簡單的三角恒等變換 (建議用時：40分鐘) [學業(yè)達標練] 一、選擇題 1．函數(shù)f(x)＝cos2，x∈R，則f(x)(　　) A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù) C．既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) D　[原式＝ ＝(1－sin 2x) ＝－sin 2x， 此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．] 2．已知＝，則的值為(　　) A．　　　　 B．－　　　　 C．　　　　 D．－ B　[∵＝＝＝－1 且＝，∴＝－.] 3．在△ABC中，若cos A＝，則sin2＋cos 2A＝(　　) 【導學號：84352345】 A．－　　　　　　　　 B． C．－ D． A　[sin2＋cos 2A ＝＋2cos2A－1 ＝＋2cos2A－1 ＝－.] 4．將函數(shù)y＝f(x)sin x的圖象向右平移個單位后再作關于x軸對稱的曲線，得到函數(shù)y＝1－2sin2x的圖象，則f(x)的表達式是(　　) A．f(x)＝cos x B．f(x)＝2cos x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝2sin x B　[y＝1－2sin2x＝cos 2x的圖象關于x軸對稱的曲線是y＝－cos 2x，向左平移得y＝－cos＝sin 2x＝2sin xcos x，∴f(x)＝2cos x．] 5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，則f(x)的最小正周期和一個單調減區(qū)間分別為(　　) 【導學號：84352346】 A．2π， B．π， C．2π， D．π， B　[∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x ＝1＋sin， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π， 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得f(x)的單調減區(qū)間為 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 當k＝0時，得f(x)的一個單調減區(qū)間，故選B.] 二、填空題 6．設5π＜θ＜6π，cos＝a，則sin的值等于________． －　[由sin2＝， ∵θ∈(5π，6π)，∴∈， ∴sin＝－＝－.] 7．化簡下列各式： (1)＜α＜，則＝________. (2)α為第三象限角，則－＝________. 【導學號：84352347】 (1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin α＞cos α， ∴＝ ＝ ＝＝sin α－cos α. (2)∵α為第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0， ∴－＝－ ＝－＝0.] 8．函數(shù)f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________． [－5,3]　[f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3. 當sin x＝1時，f(x)取得最大值3， 當sin x＝－1時，f(x)取得最小值－5， 所以函數(shù)f(x)的值域為[－5,3]．] 三、解答題 9．求證：tan－tan＝. 【導學號：84352348】 [證明]　法一：(由左推右)tan－tan ＝－ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 法二：(由右推左) ＝ ＝ ＝－＝tan－tan. 10．已知向量a＝(cos θ－2sin θ，2)，b＝(sin θ，1)． (1)若a∥b，求tan 2θ的值； (2)f(θ)＝(a＋b)b，θ∈，求f(θ)的值域. 【導學號：84352349】 [解]　(1)∵a∥b， ∴cos θ－2sin θ－2sin θ＝0， ∴cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝， ∴tan 2θ＝＝＝. (2)a＋b＝(cos θ－sin θ，3)， ∴f(θ)＝(a＋b)b＝sin θcos θ－sin2θ＋3＝sin 2θ－＋3＝sin＋， ∵θ∈， ∴∈， ∴sin∈， ∴2≤f(θ)≤， ∴f(θ)的值域為. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．設a＝cos 7＋sin 7，b＝，c＝，則有(　　) A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a A　[∵a＝sin 37，b＝tan 38， c＝sin 36， ∴b＞a＞c.] 2．設α∈，β∈，且＝，則(　　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋2β＝ D．α－2β＝ B　[由題意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β， sin α＝cos(α－β)， ∴cos＝cos(α－β)． ∵－α∈，α－β∈， ∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)， ∴2α－β＝.] 3．若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，則f(x)的最大值是(　　) A．1 B．2 C．＋1 D．＋2 B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x ＝cos x＝sin x＋cos x ＝2sin. ∵0≤x<， ∴≤x＋<， ∴當x＋＝時， f(x)取到最大值2.] 4．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，則cos ＝________. 【導學號：84352350】 　[由25sin2 θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角， 得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)． 故cos θ＝－＝－， 由cos2 ＝得cos2 ＝. 又是第一、三象限角， 所以cos ＝.] 5．如圖324，在直角坐標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y＝x(x≥0)交于點Q，與x軸交于點M.記∠MOP＝α，且α∈. 圖324 (1)若sin α＝，求cos∠POQ； (2)求△OPQ面積的最大值. 【導學號：84352351】 [解]　(1)由題意知∠QOM＝，因為sin α＝， 且α∈，所以cos α＝， 所以cos∠POQ＝cos ＝coscos α＋sinsin α＝. (2)由三角函數(shù)定義，得P(cos α，sin α)， 從而Q(cos α，cos α)， 所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α| ＝|cos2α－sin αcos α| ＝ ＝ ≤＝＋. 因為α∈，所以當α＝－時，等號成立， 所以△OPQ面積的最大值為＋.