2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)4 解三角形的實際應(yīng)用舉例 新人教A版必修5.doc

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課時分層作業(yè)(四)　解三角形的實際應(yīng)用舉例 (建議用時：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖129，測得AC的長度為4 m，∠A＝30，則其跨度AB的長為(　　) 圖129 A．12 m　　　　　　 B．8 m C．3 m D．4 m D　[由題意知，∠A＝∠B＝30， 所以∠C＝180－30－30＝120， 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4.] 2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68 n mile的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432052】 A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h A　[如圖所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝ n mile/h.] 3．如圖1210，要測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測得∠ACB＝60，∠BCD＝45，∠ADB＝60，∠ADC＝30，則A，B間距離是(　　) 圖1210 A．20米 B．20米 C．20米 D．40米 C　[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(＋1)，∠ADB＝60，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20(米)．] 4．在地面上點(diǎn)D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60和30，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20 m，則建筑物高度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432053】 A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m C　[如圖，設(shè)O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30，OB＝20，BD＝40，OD＝20， 在Rt△AOD中，OA＝ODtan 60＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．] 5．如圖1211所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30，45，60，且AB＝BC＝60 m，則建筑物的高度為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432054】 圖1211 A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m D　[設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知， PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理， 得cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝. ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度為30 m．] 二、填空題 6．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75，現(xiàn)要將其傾斜角改為30，則坡底要伸長________千米． 　[如圖，∠BAO＝75，∠C＝30，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75－30＝45. 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝(千米)．] 7．如圖1212，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1 km，且C＝120，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________ km. 【導(dǎo)學(xué)號：91432055】 圖1212 　[在△ABC中，易得A＝30，由正弦定理＝，得AB＝＝21＝(km)．] 8．如圖1213所示，為測量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)測得樹尖的仰角分別為30和45，且A，B兩點(diǎn)之間的距離為60 m，則樹的高度為________m. 圖1213 30＋30　[由正弦定理可得＝， 則PB＝＝(m)，設(shè)樹的高度為h，則h＝PBsin 45＝(30＋30)m.] 三、解答題 9.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為的軍事基地C處和D處測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30，∠BDC＝30，∠DCA＝60，∠ACB＝45，如圖1214所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離． 圖1214 [解]　法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60， 又∵∠ACD＝60， ∴∠DAC＝60. ∴AD＝CD＝a. 在△BCD中，∠DBC＝180－30－105＝45， ∵＝， ∴BD＝CD＝a＝a，在△ADB中， ∵AB2＝AD2＋BD2－2ADBDcos∠ADB＝a2＋2－2aa＝a2. ∴AB＝a. ∴藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為a. 法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝a. 在△BCD中，∠DBC＝45， ∴＝. ∴BC＝a. 在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 45 ＝a2＋a2－2aa＝a2， ∴AB＝a. ∴藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為a. 10．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，求兩條船之間的距離. 【導(dǎo)學(xué)號：91432056】 [解]　如圖所示，∠CBD＝30，∠ADB＝30，∠ACB＝45. ∵AB＝30(m)， ∴BC＝30(m)， 在Rt△ABD中，BD＝＝30(m)． 在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos 30＝900， ∴CD＝30(m)，即兩船相距30 m. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．如圖1215，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高度AD是60 m，則河流的寬度BC是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432057】 圖1215 A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m C　[由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30，AD＝60 m， ∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75－30＝45，∠ABC＝180－45－30＝105，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．] 2．如圖1216所示，要測量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個觀測點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得∠BCD＝120，C，D兩地相距500 m，則電視塔AB的高度是(　　) 圖1216 A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m D　[設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120，CD＝500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2500xcos 120，解得x＝500 m．] 3．臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為________小時. 【導(dǎo)學(xué)號：91432058】 1　[設(shè)A地東北方向上存在點(diǎn)P到B的距離為30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2APABcosA， 即302＝x2＋402－2x40cos 45， 化簡得x2－40x＋700＝0， |x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400， |x1－x2|＝20， 即圖中的CD＝20(千米)， 故t＝＝＝1(小時)．] 4．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60方向的B處，兩船相距a n mile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的倍，則甲船應(yīng)沿________方向行駛才能追上乙船；追上時甲船行駛了________ n mile. 【導(dǎo)學(xué)號：91432059】 北偏東30　a　[如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝tv，又B＝120，則由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝， ∴∠CAB＝30，∴甲船應(yīng)沿北偏東30方向行駛．又∠ACB＝180－120－30＝30， ∴BC＝AB＝a n mile， ∴AC＝ ＝＝a(n mile)] 5．山東省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測量試點(diǎn)工作，用上了無人機(jī)．為了測量兩山頂M，N間的距離，無人機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖1217)，無人機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟． 圖1217 [解]　方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d. ②第一步：計算AM.由正弦定理AM＝； 第二步：計算AN.由正弦定理AN＝； 第三步：計算MN.由余弦定理 MN＝. 方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α1，β1；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角α2，β2；A，B間的距離d. ②第一步：計算BM.由正弦定理BM＝； 第二步：計算BN.由正弦定理BN＝； 第三步：計算MN.由余弦定理 MN＝.