2018年秋高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和 第1課時 等差數(shù)列的前n項和學案 新人教A版必修5.doc

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第1課時　等差數(shù)列的前n項和 學習目標：1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程(難點).2.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其應用(重點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．數(shù)列的前n項和的概念 一般地，稱a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 思考：如何用Sn和Sn－1的表達式表示an? [提示]　an＝ 2．等差數(shù)列的前n項和公式 已知量 首項、末項與項數(shù) 首項、公差與項數(shù) 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 思考：等差數(shù)列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3項和S3嗎？ [提示]　S3＝＝3a2＝21. [基礎自測] 1．思考辨析 (1)數(shù)列的前n項和就是指從數(shù)列的第1項a1起，一直到第n項an所有項的和．(　　) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化簡后關于n與an的函數(shù)式即為數(shù)列{an}的通項公式．(　　) (3)在等差數(shù)列{an}中，當項數(shù)m為偶數(shù)2n時，則S偶－S奇＝an＋1.(　　) [答案]　(1)√　(2)　(3)　 提示：(1)正確．由前n項和的定義可知正確． (2)錯誤．例如數(shù)列{an}中，Sn＝n2＋2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又因為a1＝S1＝3， 所以a1不滿足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命題錯誤． (3)錯誤．當項數(shù)m為偶數(shù)2n時，則S偶－S奇＝nd. 2．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，d＝1，則其前n項和Sn＝________. 　[因為a1＝1，d＝1， 所以Sn＝n＋1＝＝＝.] 3．在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________. 【導學號：91432163】 24　[由S10＝＝120.解得a1＋a10＝24.] 4．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝，S4＝20，則S6＝________. 48　[設等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得4a1＋d＝20，即4＋d＝20， 解得d＝3，所以S6＝6＋3＝3＋45＝48.] [合 作 探 究攻 重 難] 等差數(shù)列前n項和的有關計算 　在等差數(shù)列{an}中， (1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 【導學號：91432164】 [解]　(1)由題意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－.∴n＝15，d＝－. (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. [規(guī)律方法] 　a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過程中要注意整體思想的運用. [跟蹤訓練] 1．在等差數(shù)列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. [解]　(1) 解得a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋23＝16， S10＝10a1＋d＝10(－5)＋593＝85. (2)S17＝＝＝＝340. an與Sn的關系的應用 [探究問題] 1．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則關系式an＝Sn－Sn－1的使用條件是什么？ 提示：使用條件是n≥2. 2．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2 016＋a2 017＋a2 018如何用前n項和Sn表示？ 提示：a2 016＋a2 017＋a2 018＝S2 018－S2 015. 3．已知數(shù)列{an}的通項公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n項和Sn；反之，如果知道了數(shù)列{an}的前n項和Sn，如何求出它的通項公式？ 提示：對所有數(shù)列都有Sn＝a1＋a2＋…an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1；當n＝1時，有a1＝S1.所以an與Sn的關系為an＝ 當a1也適合an時，則通項公式要統(tǒng)一用一個解析式an＝f(n)(n∈N*)來表示． 　設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝2n2－30n. (1)求a1及an. (2)判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列. 【導學號：91432165】 思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式但要驗證a1是否符合條件；(2)利用等差數(shù)列的定義進行判斷即可． [解]　(1)因為Sn＝2n2－30n，所以當n＝1時， a1＝S1＝212－301＝－28， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 驗證當n＝1時上式成立， 所以an＝4n－32. (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常數(shù))， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 母題探究：1.(變條件變結論)將本例的條件“Sn＝2n2－30n”改為“l(fā)og2(Sn＋1)＝n＋1”，其他條件不變，求an. [解]　由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1 當n≥2時an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n. 當n＝1時，a1＝S1＝3.經(jīng)驗證不符合上式． ∴an＝ 2．(變條件變結論)將本例中的條件“Sn＝2n2－30n”變?yōu)椤罢龜?shù)數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝(bn＋1)2”，求{bn}的通項公式． [解]　當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1， ∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2 ＝(b－b＋2bn－2bn－1)． 整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)． ∴{bn}為等差數(shù)列． 又∵b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1， ∴bn＝1＋(n－1)2＝2n－1. [規(guī)律方法]　 已知數(shù)列{an}的前n項和公式Sn，求通項公式an的步驟： （1）當n＝1時，a1＝S1. （2）當n≥2時，根據(jù)Sn寫出Sn－1，化簡an＝Sn－Sn－1. （3）如果a1也滿足當n≥2時，an＝Sn－Sn－1的通項公式，那么數(shù)列{an}的通項公式為an＝Sn－Sn－1；如果a1不滿足當n≥2時，an＝Sn－Sn－1的通項公式，那么數(shù)列{an}的通項公式要分段表示為an＝ 等差數(shù)列前n項和公式的實際應用 　某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構筑成第二道防線？ 思路探究：因為每隔20分鐘到達一輛車，所以每輛車的工作量構成一個等差數(shù)列．工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說明24小時內(nèi)可完成第二道防線工程． [解]　從第一輛車投入工作算起，各車工作時間(單位：小時)依次設為a1，a2，…，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝24，公差d＝－. 25輛翻斗車完成的工作量為：a1＋a2＋…＋a25＝2524＋2512＝500，而需要完成的工作量為2420＝480.∵500>480，∴在24小時內(nèi)能構筑成第二道防線． [規(guī)律方法]　 1．本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關 鍵在于構造合適的等差數(shù)列． 2．遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知 識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點： (1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型． (2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前 n項和Sn，還是求項數(shù)n. [跟蹤訓練] 2．植樹節(jié)某班20名同學在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為________米. 【導學號：91432166】 2 000　[假設20位同學是1號到20號依次排列，使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時兩側(cè)的同學所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學往返的總路程為 S＝920＋20＋1020＋20＝2 000(米)．] [當 堂 達 標固 雙 基] 1．(2018全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12　　　B．－10　　　C．10　　　D．12 B　[通解　設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3， ∴a5＝a1＋4d＝2＋4(－3)＝－10.故選B. 優(yōu)解　設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4(－3)＝－10.故選B.] 2．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) 【導學號：91432167】 A．5 B．7 C．9 D．11 A　[由題a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3. ∴a3＝1 又∵S5＝＝＝5.] 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝－n2，則(　　) A．a(chǎn)n＝2n＋1 B．a(chǎn)n＝－2n＋1 C．a(chǎn)n＝－2n－1 D．a(chǎn)n＝2n－1 B　[由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n， 當n＝1時，S1＝a1＝－1符合上式． ∴an＝－2n＋1.] 4．在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________. 190　[S19＝＝＝190.] 5．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 【導學號：91432168】 [解]　∵Sn＝n＋－＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解之得n＝12或n＝－5(舍去)， a12＝＋(12－1)＝－4.