2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題18 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)練習(xí) 理.docx

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18　圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 1.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為F,該橢圓上有一點(diǎn)A,滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓的離心率是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3-1 B.2-3 C.2-1 D.2-2 解析?　根據(jù)題意,設(shè)F(c,0),又由△OAF是等邊三角形,得Ac2,32c. 因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上,所以c24a2+3c24b2=1.?、? 又a2=b2+c2,　② 聯(lián)立①②,解得c=(3-1)a,則其離心率e=ca=3-1,故選A. 答案?　A 2.直線l:x-2y-5=0過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)且與其一條漸近線平行,則雙曲線的方程為(　　). A.x220-y25=1 B.x25-y220=1 C.x24-y2=1 D.x2-y24=1 解析?　對于直線l,令y=0,得x=5,即c=5.又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以雙曲線的方程為x220-y25=1,故選A. 答案?　A 3.從拋物線y2=4x在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=9,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則直線PF的斜率為(　　). A.627 B.1827 C.427 D.227 解析?　設(shè)P(x0,y0),因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,|PM|=9,根據(jù)拋物線的定義,可得x0=8,所以y0=42.又點(diǎn)P在第一象限,所以P(8,42),所以kPF=427,故選C. 答案?　C 4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OPFP的最大值為(　　). A.2 B.3 C.6 D.8 解析?　設(shè)P(x0,y0),則x024+y023=1,即y02=31-x024.又F(-1,0),所以O(shè)PFP=x0(x0+1)+y02=14x02+x0+3=14(x0+2)2+2.因?yàn)閤0∈[-2,2],所以(OPFP)max=6,故選C. 答案?　C 能力1 ?　巧用定義求解曲線問題 【例1】　已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　 A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線的右支 解析?　因?yàn)镹為F1M的中點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn),所以F2M=2ON=2.因?yàn)辄c(diǎn)P在線段F1M的中垂線上,所以|PF1|=|PM|,因此|PF1|-|PF2|=F2M=2ON=2,即點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支,故選D. 答案?　D 　　求軌跡方程的常用方法:一是定義法,動點(diǎn)滿足圓或圓錐曲線的定義;二是直接法,化簡條件即得;三是轉(zhuǎn)移法,除所求動點(diǎn)外,一般還有已知軌跡的動點(diǎn),尋求兩者之間的關(guān)系是關(guān)鍵;四是交軌法或參數(shù)法,如何消去參數(shù)是解題關(guān)鍵,且需注意消參過程中的等價性. 橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,若線段PF2的中點(diǎn)在y軸上,則|PF2|是|PF1|的(　　). A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解析?　設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D, 則|OD|=12|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x軸, ∴PF1⊥x軸,∴|PF1|=b2a=323=32. 又∵|PF1|+|PF2|=43, ∴|PF2|=43-32=732, ∴|PF2|是|PF1|的7倍,故選A. 答案?　A 能力2 ?　會用有關(guān)概念求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【例2】　已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(2,3),且實(shí)軸的兩個端點(diǎn)與虛軸的一個端點(diǎn)組成一個等邊三角形,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　). A.x212-y2=1 B.x29-y23=1 C.x2-y23=1 D.x223-y232=1 解析?　由題意可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3, ∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-y23=1,故選C. 答案?　C 漸近線、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線等是圓錐曲線的幾何性質(zhì),這些性質(zhì)往往與平面圖形中三角形、四邊形的有關(guān)幾何量結(jié)合在一起,只有正確把握和理解這些性質(zhì),才能通過待定系數(shù)法求解圓錐曲線的方程. 已知雙曲線y2a2-x2b2=1的離心率為2,且雙曲線與拋物線x2=-43y的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),S△ABO=3,則雙曲線的實(shí)軸長為(　　). A.2 B.2 C.22 D.42 解析?　因?yàn)閽佄锞€的方程為x2=-43y, 所以準(zhǔn)線方程為y=3. 因?yàn)镾△ABO=3,所以122|xA|3=3, 所以xA=1,所以A(1,3)或A(-1,3). 因?yàn)殡p曲線y2a2-x2b2=1的離心率為2, 所以a=b,所以3a2-1a2=1,故a=2, 因此雙曲線的實(shí)軸長為22,故選C. 答案?　C 能力3 ?　會用幾何量的關(guān)系求離心率 【例3】　已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,y軸上的點(diǎn)P在橢圓外,且線段PF1與橢圓E交于點(diǎn)M,若|OM|=|MF1|=33|OP|,則橢圓E的離心率為(　　). A.12 B.32 C.3-1 D.3+12 解析?　因?yàn)閨OM|=|MF1|=33|OP|,所以∠F1PO=30, ∠MF1F2=60,連接MF2 ,則可得三角形MF1F2為直角三角形.在Rt△MF1F2中,易知MF1=c,MF2=3c,則c+3c=2a,所以離心率e=ca=21+3=3-1,故選C. 答案?　C 求離心率一般有以下幾種方法:①直接求出a,c,從而求出e;②構(gòu)造a,c的齊次式,求出e;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.本題中,根據(jù)特殊直角三角形可以建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系,從而找出a,c之間的關(guān)系,求出離心率e. 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F作某一漸近線的垂線,分別與兩條漸近線相交于A,B兩點(diǎn),若|AF||BF|=12,則雙曲線的離心率為(　　). A.233 B.2 C.3 D.5 解析?　因?yàn)閍>b>0,所以交點(diǎn)A,B在F的兩側(cè).由|AF||BF|=12及角平分線定理知|AO||BO|=|AF||BF|=12. 由AB⊥AO知cos∠AOB=|OA||OB|=12,所以∠AOB=60,∠AOF=30, 據(jù)此可知漸近線的方程為y=33x, 而雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=bax, 故ba=33,則雙曲線的離心率e=1+ba2=233,故選A. 　答案?　A 能力4 ?　能緊扣圓錐曲線的性質(zhì)求最值或取值范圍 【例4】　設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為(　　). A.33 B.23 C.22 D.1 解析?　設(shè)Py022p,y0,由題意知Fp2,0,顯然當(dāng)y0<0時,不符合題意,故y0>0, 則OM=OF+FM=OF+13FP=OF+13(OP-OF)=13OP+23OF=y026p+p3,y03, 可得kOM=y03y026p+p3=2y0p+2py0≤222=22,當(dāng)且僅當(dāng)y02=2p2,即y0=2p時取等號,故選C. 答案?　C 解題時一定要注意分析條件,根據(jù)條件|PM|=2|MF|,利用向量的運(yùn)算可知My026p+p3,y03,從而寫出直線的斜率的表達(dá)式,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題. 如圖,圓O與離心率為32的橢圓T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相切于 點(diǎn)M(0,1),過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1,l2,兩條直線與兩曲線分別交于點(diǎn)A,C與點(diǎn)B,D(均不重合).若P為橢圓上任意一點(diǎn),記點(diǎn)P到兩條直線的距離分別為d1,d2,則d12+d22的最大值是(　　). A.4 B.5 C.163 D.253 解析?　易知橢圓T的方程為x24+y2=1,圓O的方程為x2+y2=1.設(shè)P(x0,y0),因?yàn)閘1⊥l2,所以d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2.又因?yàn)閤024+y02=1,所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3y0+132+163.因?yàn)?1≤y0≤1,所以當(dāng)y0=-13時,d12+d22取得最大值163,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為423,-13,故選C. 答案?　C 一、選擇題 　　　　　　　　　　　　　　　 1.拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為(　　). A.y=-1 B.y=1 C.y=116 D.y=-116 解析?　將y=4x2化為x2=14y,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-116,故選D. 答案?　D 2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+y23=1的離心率為12,則m=(　　). A.6 B.6 C.4 D.2 解析?　由焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m+y23=1,可得a=m,c=m-3.由離心率為12可得m-3m=12,解得m=4,故選C. 答案?　C 3.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=12,且它的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則橢圓的方程為(　　). A.x24+y23=1 B.x28+y26=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=1 解析?　由題意可設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(-1,0),所以c=1.又離心率e=ca=12,解得a=2,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓的方程為x24+y23=1,故選A. 答案?　A 4.已知正方形ABCD的四個頂點(diǎn)都在橢圓x2a2+y2b2=1上,若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,則橢圓的離心率的取值范圍是(　　). A.5-12,1 B.0,5-12 C.3-12,1 D.0,3-12 解析?　設(shè)正方形ABCD的邊長為2m, 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部,所以m>c. 又正方形的四個頂點(diǎn)都在橢圓x2a2+y2b2=1上, 所以m2a2+m2b2=1>c2a2+c2b2=e2+c2a2-c2=e2+e21-e2, 所以e4-3e2+1>0,所以e2<3-52=1-522, 所以00)為焦點(diǎn)的拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=2相交于M,N兩點(diǎn),若△MNF為正三角形,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　). A.y2=26x B.y2=46x C.x2=46y D.x2=26y 解析?　將y=p2代入雙曲線x2-y2=2中,可得x=2+p24. ∵△MNF為正三角形,∴p=3222+p24. ∵p>0,∴p=26, ∴拋物線C的方程為x2=46y,故選C. 答案?　C 6.設(shè)F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點(diǎn),P是C上的點(diǎn),圓x2+y2=a29與直線PF交于A,B兩點(diǎn),若A,B是線段PF的兩個三等分點(diǎn),則橢圓C的離心率為(　　). A.33 B.53 C.104 D.175 解析?　如圖,取AB的中點(diǎn)H,設(shè)橢圓另一個焦點(diǎn)為E,連接PE,OH,OA. 且H是AB的中點(diǎn),∴OH⊥AB. ∵A,B三等分線段PF, ∴設(shè)|OH|=d,則|PE|=2d,|PF|=2a-2d,|AH|=a-d3, 于是在Rt△OHA中,|OA|2=|OH|2+|AH|2,解得a=5d. 于是在Rt△OHF中,|FH|=45a,|OH|=15a,|OF|=c, 由|OF|2=|OH|2+|FH|2, 化簡得17a2=25c2,則ca=175. 即橢圓C的離心率為175.故選D. 答案?　D 7.已知F1、F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),F1的坐標(biāo)為(-7,0),雙曲線右支上的點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=4,則雙曲線的漸近線方程為(　　). A.y=32x B.y=232x C.y=34x D.y=43x 解析?　∵F1的坐標(biāo)為(-7,0),∴c=7. ∵雙曲線右支上的點(diǎn) P滿足|PF1|-|PF2|=4, ∴2a=4,即a=2, ∴b2=c2-a2=7-4=3,即b=3,則雙曲線的漸近線方程為y=32x,故選A. 答案?　A 8.已知F1、F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn) A、B.若△ABF2為等邊三角形,則雙曲線的離心率為(　　). A.4 B.7 C.233 D.3 解析?　設(shè)|AB|=m,則|BF1|-|BF2|=|AF1|=2a,所以|AF2|-|AF1|=m-2a=2a,m=4a, 因此4c2=(4a+2a)2+(4a)2-26a4acosπ3, 所以4c2=28a2,e2=7,所以e=7,故選B. 答案?　B 9.已知F1、F2是雙曲線x2a2-y26=1(a>0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B,若|AF1|=2a,∠F1AF2=2π3,則S△F1BF2=(　　). A.6 B.62 C.63 D.12 解析?　由雙曲線的定義,得|AF2|-|AF1|=2a. 又|AF1|=2a,則|AF2|=4a, 在△F1AF2中,4c2=4a2+(4a)2+22a4a12,即c2=7a2,即a2+6=7a2,解得a=1. 因?yàn)閨BF1|-|BF2|=2,且|BF1|-|BA|=2,所以|BA|=|BF2|. 又∠F2AB=π3,所以△BAF2為等邊三角形. 因?yàn)閨AF2|=4, 所以S△F1BF2=S△ABF2+S△AF1F2=124232+122432=63,故選C. 答案?　C 10.已知F是拋物線x2=4y的焦點(diǎn),P為拋物線上的動點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-1),則|PF||PA|的最小值是(　　). A.14 B.12 C.22 D.32 解析?　由題意可得,拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. 過點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線,M為垂足,則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,則|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM,∠PAM為銳角. ∴當(dāng)∠PAM最小時,|PF||PA|最小,則當(dāng)PA和拋物線相切時,|PF||PA|最小. 設(shè)切點(diǎn)P(2a,a),又y=x24的導(dǎo)數(shù)為y=x2,則PA的斜率為122a=a=a+12a, ∴a=1,則P(2,1),∴|PM|=2,|PA|=22, ∴sin∠PAM=|PM||PA|=22,故選C. 答案?　C 二、填空題 11.若拋物線y2=ax(a>0)上的點(diǎn)P32,y0到焦點(diǎn)F的距離為2,則a=　　　　. 解析?　由題意得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為a4,0,準(zhǔn)線方程為x=-a4, 由拋物線的焦半徑公式得|PF|=x0+p2=32+a4=2,解得a=2. 答案?　2 12.若M為雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn),A和F分別為雙曲線C1的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),且△MAF為等邊三角形,雙曲線C1與雙曲線C2:x24-y2(b)2=1(b>0)的漸近線相同,則雙曲線C2的虛軸長是　　　　. 解析?　由題意知,A(-a,0),F(c,0),Mc-a2,3(c+a)2. ∴(c-a)24a2-3(c+a)24b2=1, ∴3(c+a)24(c2-a2)=(c-a)24a2-1=(c-3a)(c+a)4a2, ∴3c-a=c-3aa2,∴c2=4ac, ∴e=4,即ca=4,ba=15. 又雙曲線C1與雙曲線C2的漸近線相同, ∴b2=15,∴b=215, 則雙曲線C2的虛軸長是415. 答案?　415 13.如圖,點(diǎn)F是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動,且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長的取值范圍是　　　　. 解析?　拋物線的準(zhǔn)線的方程為x=-2,焦點(diǎn)為F(2,0), 由拋物線的定義可得|AF|=xA+2. 　　又圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),半徑為4, ∴△FAB的周長=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB. 由拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2, ∴xB∈(2,6), ∴△FAB的周長6+xB∈(8,12). 答案?　(8,12)