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第六節(jié) 直接證明與間接證明
最新考綱
1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.了解反證法的思考過程和特點.
知識梳理
1.直接證明
(1)綜合法
①定義:利用已知條件和某些數(shù)學定義、定理、公理等,經(jīng)過一系列的__推理論證__,最后推導出所要證明的結(jié)論__成立__,這種證明方法叫做綜合法.
②框圖表示:―→―→―→…―→(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示所要證明的結(jié)論).
(2)分析法
①定義:從要證明的__結(jié)論__出發(fā),逐步尋求使它成立的__充分條件__,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法.
②框圖表示:―→―→―→…―→.
2.間接證明
反證法:假設(shè)原命題__不成立__(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出__矛盾__,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.
3.利用反證法證題的步驟
(1)反設(shè):假設(shè)所要證的結(jié)論不成立,而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立;(否定結(jié)論)
(2)歸謬:將“反設(shè)”作為條件,由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理,導出矛盾——與假設(shè)矛盾,與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾;(推導矛盾)
(3)立論:因為推理正確,所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤.既然原命題結(jié)論的反面不成立,從而肯定了原命題成立.(命題成立)
4.反證法證明中,常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”
原結(jié)論詞
反設(shè)詞
原結(jié)論詞
反設(shè)詞
至少有一個
一個也沒有
對所有x成立
存在某個x不成立
至多有一個
至少有兩個
對任意x不成立
存在某個x成立
至少有n個
至多有n-1個
p或q
﹁p且﹁q
至多有n個
至少有n+1個
p且q
﹁p或﹁q
典型例題
考點一 分析法的應用
【例1】 已知a>0,證明 -≥a+-2.
規(guī)律方法
(1)當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,??紤]用分析法.
(2)分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”,逐步尋找結(jié)論成立的充分條件,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等,通常采用“欲證—只需證—已知”的格式,在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性.
【變式訓練1】已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,C.
求證:+=.
【證明】 要證+=,
即證+=3,也就是+=1,
只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
需證c2+a2=ac+b2,
又△ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列, 故B=60,
由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60,
即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.
于是原等式成立.
考點二 綜合法的應用
【例2】 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象在交點(0,0)處有公共切線.
(1)求a,b的值;
(2)證明:f(x)≤g(x).
【解析】 (1)f′(x)=,g′(x)=b-x+x2,
由題意得解得a=0,b=1.
(2)證明:令h(x)=f(x)-g(x)=ln (x+1)-x3+x2-x(x>-1),
h′(x)=-x2+x-1=,
∵x>-1,∴當-1
0;
當x>0時,h′(x)<0.
則h(x)在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù).
h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x).
規(guī)律方法 綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法,常與分析法結(jié)合使用,用分析法探路,綜合法書寫,但要注意有關(guān)定理、性質(zhì)、結(jié)論題設(shè)條件的正確運用.
【變式訓練2】設(shè){an}是首項為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0),Sn是其前n項的和.記bn=,n∈N*,其中c為實數(shù).若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*).
【證明】由題意得,Sn=na+d.
由c=0,得bn==a+d.
又因為b1,b2,b4成等比數(shù)列,所以b=b1b4,即2=a,化簡得d2-2ad=0.
因為d≠0,所以d=2a.
因此,對于所有的m∈N*,有Sm=m2a.
從而對于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.
考點三 反證法的應用
命題角度一 證明否定性命題
【例3】 設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和.
(1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列;
(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么?
【解析】 (1)證明:若{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1S3,即a(1+q)2=a1a1(1+q+q2),∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,解得q=0,這與q≠0相矛盾,故數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.
(2)當q=1時,{Sn}是等差數(shù)列.
當q≠1時,{Sn}不是等差數(shù)列.假設(shè)q≠1時,S1,S2,S3成等差數(shù)列,即2S2=S1+S3,2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).
由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,即q=q2,∵q≠1,∴q=0,這與q≠0相矛盾.
綜上可知,當q=1時,{Sn}是等差數(shù)列;當q≠1時,{Sn}不是等差數(shù)列.
命題角度二 證明“至多”,“至少”,“唯一”性命題
【例4】 已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD=,SA=1.
(1)求證:SA⊥平面ABCD;
(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD?若存在,確定F點的位置;若不存在,請說明理由.
【解析】 (1)證明:由已知得SA2+AD2=SD2,
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD=A,∴SA⊥平面ABCD.
(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點F,使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD,BC?平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF=B,
∴平面FBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾,∴假設(shè)不成立.
故不存在這樣的點F,使得BF∥平面SAD.
規(guī)律方法 反證法的適用范圍及證明的關(guān)鍵
(1)適用范圍:當一個命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證.
(2)關(guān)鍵:在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設(shè)矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與事實矛盾等,推導出的矛盾必須是明顯的.
【變式訓練4】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.
(1)推導{an}的前n項和公式;
(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.
【解析】 (1)設(shè){an}的前n項和為Sn,
當q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
當q≠1時,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=,∴Sn=
課堂總結(jié)
1.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點.分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡捷地解決問題,但不便于思考.實際證題時常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來.
2.用分析法證明數(shù)學問題時,要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論.
3.利用反證法證明數(shù)學問題時,要假設(shè)結(jié)論錯誤,并用假設(shè)命題進行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯誤
課后作業(yè)
1.用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60”時,應假設(shè)( )
A.三個內(nèi)角都不大于60
B.三個內(nèi)角都大于60
C.三個內(nèi)角至多有一個大于60
D.三個內(nèi)角至多有兩個大于60
【答案】B
【解析】 “至少有一個不大于60”的反面是“都大于60”.
2.用反證法證明命題:若a+b+c為偶數(shù),則“自然數(shù)a,b,c恰有一個偶數(shù)”時正確反設(shè)為( )
A.自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù) B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)
C.自然數(shù)a,b,c中至少有兩個偶數(shù) D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)
【答案】D.
【解析】 由于“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”,故選D.
3.用反證法證明命題:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,則a,b中至少有一個能被5整除”時,反設(shè)正確的是( )
A.a(chǎn),b都不能被5整除 B.a(chǎn),b都能被5整除
C.a(chǎn),b中有一個不能被5整除 D.a(chǎn),b中有一個能被5整除
【答案】A.
【解析】對原命題的結(jié)論的否定敘述是:a,b都不能被5整除.
4.設(shè)x,y,z都是正實數(shù),a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三個數(shù)( )
A.至少有一個不大于2 B.都小于2
C.至少有一個不小于2 D.都大于2
【答案】 C
【解析】 若a,b,c都小于2,則a+b+c<6,?、?
而a+b+c=x++y++z+≥6,?、?
顯然①②矛盾,所以C正確.
5.若 P=+,Q=+(a≥0),則 P,Q的大小關(guān)系是( )
A.P>Q B.P=Q
C.Pcn+1.
【解析】由題意知,an=,bn=n,∴cn=-n=.顯然,cn隨著n的增大而減小,∴cn>cn+1.
8.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.
證明:(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1; (3)++≤.
【證明】 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
所以++≥1.
(3)欲證++≤,
則只需證(++)2≤3,
即證a+b+c+2(++)≤3,
即證++≤1.
又++≤++=1,當且僅當a=b=c=時取“=”,
∴原不等式++≤成立.
9.等差數(shù)列的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求數(shù)列的通項an與前n項和Sn;
(2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.
【解析】(1)由已知得
∴d=2.故an=2n-1+,Sn=n(n+).
10.已知f(x)=x2+ax+b.
(1)求f(1)+f(3)-2f(2).
(2)求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于.
【解析】 (1)因為f(1)=a+b+1,f(2)=2a+b+4,f(3)=3a+b+9,所以f(1)+f(3)-2f(2)=2.
(2)證明:假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,
則-
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2019年高考數(shù)學總復習
專題7.6
直接證明與間接證明導學案
2019
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7.6
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