《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第六章 不等式學(xué)案.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第六章 不等式學(xué)案.doc（33頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第六章 不 等 式
第1課時(shí) 一元二次不等式及其解法
掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系并能靈活運(yùn)用．
① 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.③ 會(huì)解含參數(shù)的一元二次不等式．
1. (必修5P77練習(xí)2(2)改編)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.
答案：
解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.
2. (必修5P75例1(1)改編)不等式2x2－x－1>0的解集是________．
答案：
解析：∵ 2x2－x－1>0，∴ (2x＋1)(x－1)>0，∴ x>1或x<－.
3. (必修5P77練習(xí)3(1)改編)不等式－x2－2x＋3>0的解集為__________．
答案：{x|－3
0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案：k>2或k<－2
解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，解得k>2或k<－2.
5. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx－a＜0的解集是________．
答案：{x|20(a>0)的算法過程
1 一元二次不等式的解法
1 解關(guān)于x的不等式：ax2＋(a－2)x－2≥0.
解：① 當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1.
② 當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③ 當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≤0.
當(dāng)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤；
當(dāng)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1；
當(dāng)＜－1，即a＞－2時(shí)，解得≤x≤－1.
綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為.
變式訓(xùn)練
解關(guān)于x的不等式：ax2－ax＋1＜0.
解：當(dāng)0≤a≤4時(shí)，解集為；
當(dāng)a＞4時(shí)，＜x＜；
當(dāng)a＜0時(shí)，x＜或x>.
, 2 一元二次不等式的恒成立問題)
, 2) 設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.
(1) 若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；
(2) 若對(duì)于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
解：(1) 要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，顯然－1<0；
若m≠0，則解得－40時(shí)，g(x)在[1，3]上是增函數(shù)，
所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0，
所以m<，所以00，
m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1，3]上的最小值為，所以只需m<即可，
所以m的取值范圍是.
變式訓(xùn)練
已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.
(1) 當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2) 當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1) 當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則Δ＝a2－4(3－a)≤0，解得－6≤a≤2，∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6，2]．
(2) 當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0對(duì)任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
∴ Δ≤0或或
解得－7≤a≤2.
∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－7，2]．
, 3 三個(gè)二次之間的關(guān)系)
, 3) (1) 已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．
答案：(1) 9 (2) {a|a>－3}
解析：(1) 由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－.
∵ f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，
∴ b－＝0，即b＝，
∴ f(x)＝.
∵ f(x)0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立，
即當(dāng)x≥1時(shí)，a>－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．
而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
∴ g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.
∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，＋∞)．
已知x2＋px＋q＜0的解集為，則不等式qx2＋px＋1＞0的解集為________．
答案： {x|－2＜x＜3}
解析：∵ x2＋px＋q＜0的解集為，
∴ －，是方程x2＋px＋q＝0的兩實(shí)數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得解得
∴ 不等式qx2＋px＋1＞0可化為－x2＋x＋1>0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，
∴ 不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．
, 4 一元二次不等式的應(yīng)用)
, 4) 一個(gè)服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)p(元/件)之間的關(guān)系為p＝160－2x，生產(chǎn)x件的成本R＝500＋30x(元)．
(1) 該廠月產(chǎn)量多大時(shí)，月利潤不少于1 300元？
(2) 當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
解：(1) 由題意知，月利潤y＝px－R，即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500.
由月利潤不少于1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300，即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45，故該廠月產(chǎn)量在20～45件時(shí)，月利潤不少于1 300元．
(2) 由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－2＋，
由題意知，x為正整數(shù)，故當(dāng)x＝32或33時(shí)，y最大為1 612，
所以當(dāng)月產(chǎn)量為32或33件時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤為1 612元．
某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，總成本為G(x)(萬元)，其中固定成本為2萬元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)；銷售收入R(x)(萬元)滿足：R(x)＝假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求下列問題．
(1) 要使工廠有贏利，產(chǎn)量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
(2) 工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最多？
解：依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤函數(shù)為f(x)，則
f(x)＝
(1) 要使工廠有贏利，即解不等式f(x)>0，
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8>0，
即x2－8x＋7<0，得15時(shí)，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，∴ 55時(shí)，f(x)<8.2－5＝3.2，
所以，當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最多．
1. (2017蘇州期中)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______．
答案：(－2，1]
解析：由≥0?－20，∵ x≥0時(shí)，f(x)＝x2－4x，∴ f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x.又f(x)為偶函數(shù)，
∴ f(－x)＝f(x)，∴ x<0時(shí)，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求f(x)<5的解，由得0≤x＜5；由得－50，ax2＋bx＋c<0的解就是使二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0或小于0時(shí)x的范圍，應(yīng)充分和二次函數(shù)圖象結(jié)合去理解一元二次不等式的解集．
2. 解含參數(shù)的不等式(x－a)(x－b)>0，應(yīng)先討論a與b的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào))，二算(計(jì)算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集)．
3. 應(yīng)注意討論ax2＋bx＋c>0的二次項(xiàng)系數(shù)a是否為0.
4. 要注意體會(huì)數(shù)形結(jié)合與分類討論的數(shù)學(xué)思想．分類討論要做到“不重”“不漏”“最簡”的三原則．[備課札記]
第2課時(shí) 二元一次不等式(組)與
簡單的線性規(guī)劃(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)95～96頁)
會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．
① 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.③ 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．
1. (必修5P84練習(xí)3改編)點(diǎn)(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍是________．
答案：－7＜a＜24
解析：點(diǎn)(3，1)和(－4，6)在直線3x－2y＋a＝0的兩側(cè)，說明將這兩點(diǎn)坐標(biāo)代入3x－2y＋a后，符號(hào)相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解得－7＜a＜24.
2. (必修5P86練習(xí)2(1)改編)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是________．
答案：25
解析：直線x－y＋4＝0與直線x＋y＝0的交點(diǎn)為A(－2，2)，直線x－y＋4＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為B(3，7)，直線x＋y＝0與直線x＝3的交點(diǎn)為C(3，－3)，則不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)以點(diǎn)A(－2，2)，B(3，7)，C(3，－3)為頂點(diǎn)的三角形，所以其面積為S△ABC＝510＝25.
3. 設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：7
解析：由題設(shè)可知可行域的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．因此(3x＋2y)max＝31＋22＝7.
4. (必修5P89練習(xí)2改編)設(shè)變量x，y滿足約束條件：則z＝x－3y的最小值為________．
答案：－8
解析：畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)線，如圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(－2，2)處取最小值－8.
5. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則z＝2x－y的最大值為________．
答案：8
解析：畫出可行域，如圖中陰影部分所示．由圖可知z＝2x－y在點(diǎn)A(4，0)處取最大值，即zmax＝8.
1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
(1) 二元一次不等式表示的平面區(qū)域
一般地，直線y＝kx＋b把平面分成兩個(gè)區(qū)域，
y>kx＋b表示直線y＝kx＋b上方的平面區(qū)域，
y0，數(shù)形結(jié)合知使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值的最優(yōu)解不可能有無窮多個(gè)；
若m>0，則－<0，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)動(dòng)直線與直線AB重合時(shí)，有無窮多個(gè)點(diǎn)(x，y)在線段AB上，使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，則m＝1.
綜上可知，m＝1.
1. 確定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直線Ax＋By＋C＝0的哪一側(cè)區(qū)域，常用兩種方法：一是在直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)；二是將不等式化為y>kx＋b(<，≥，≤)．
2. 在線性約束條件下，當(dāng)b>0時(shí)，求目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c的最值的步驟：
(1) 作出可行域；
(2) 作出直線l0：ax＋by＝0；
(3) 平移直線l0：ax＋by＝0，依可行域判斷取得最值的最優(yōu)解的點(diǎn)；
(4) 解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解，從而得出目標(biāo)函數(shù)的最值．
3. 常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：
(1) 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)的距離；
(2) 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；
(3) 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率值；
(4) 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率值．[備課札記]
第3課時(shí) 基本不等式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)97～98頁)
掌握基本不等式，能利用基本不等式推導(dǎo)不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．
① 了解基本不等式的證明過程.② 會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
1. (必修5P99練習(xí)4改編)若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是________．
答案：6
解析：由基本不等式，得3a＋3b≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，所以3a＋3b的最小值是6.
2. (必修5P105復(fù)習(xí)題9改編)若f(x)＝x＋－2(x＜0)，則f(x)的最大值為________．
答案：－4
解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時(shí)取等號(hào)．
3. (必修5P105復(fù)習(xí)題10改編)若x>－3，則x＋的最小值為________．
答案：2－3
解析：∵ x＋3>0，∴ x＋＝(x＋3)＋－3≥2－3＝2－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＋3＝，即x＝－3＋時(shí)取等號(hào)．
4. (原創(chuàng))若對(duì)任意x>0，≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案：
解析：因?yàn)椤躠恒成立，所以a≥.又＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立，所以a≥.
5. (原創(chuàng))已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為________．
答案：9
解析：原不等式恒成立等價(jià)于m≤，而(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．所以m≤9，即m的最大值為9.
1. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
對(duì)于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)．
2. 基本不等式≤
(1) 基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0；
(2) 等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)；
(3) 結(jié)論：兩個(gè)非負(fù)數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù)．
3. 幾個(gè)重要的不等式
(1) 重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
(2) ab≤(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．
(3) ≥(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．[備課札記]
, 1 通過配湊法利用基本不等式求最值)
, 1) (1) 已知x<，則f(x)＝4x－2＋的最大值為________；
(2) 若函數(shù)f(x)＝x＋(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝________．
答案：(1) 1 (2) 3
解析：(1) 因?yàn)閤<，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.
當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立．
故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.
(2) 因?yàn)閤>2，所以x－2>0，則f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝3時(shí)取等號(hào)．
所以當(dāng)f(x)取最小值時(shí)，x＝3，即a＝3.
變式訓(xùn)練
若－4＜x＜1，求的最大值．
解：＝＝[(x－1)＋]＝－.
∵ －4＜x＜1，∴ －(x－1)＞0，＞0.
從而≥2，
－≤－1，
當(dāng)且僅當(dāng)－(x－1)＝，即x＝0時(shí)取等號(hào)．即＝－1.
正數(shù)x，y滿足＋＝1.
(1) 求xy的最小值；
(2) 求x＋2y的最小值．
解：(1) 由1＝＋≥2得xy≥36，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2，y＝18時(shí)取等號(hào)，故xy的最小值為36.
(2) 由題意可得x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2＝19＋6，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即9x2＝2y2時(shí)取等號(hào)，故x＋2y的最小值為19＋6.
, 2 通過常數(shù)代換法或消元法利用基本不等式求最值)
, 2) (1) 已知x>0，y>0且x＋y＝1，則＋的最小值為________；
(2) 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
答案：(1) 18 (2) 6
解析：(1) (常數(shù)代換法)
∵ x>0，y>0且x＋y＝1，∴ ＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立，
∴ 當(dāng)x＝，y＝時(shí)，＋有最小值18.
(2) 由已知得x＝.
(解法1：消元法)
∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x＋3y＝＋3y＝＋(3y＋3)－6≥2－6＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)＝3y＋3，即y＝1，x＝3時(shí)，(x＋3y)min＝6.
(解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x＋3y)＝xy＝x(3y)≤，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y時(shí)等號(hào)成立．
設(shè)x＋3y＝t>0，則t2＋12t－108≥0，
∴ (t－6)(t＋18)≥0.
又t>0，∴ t≥6.
故當(dāng)x＝3，y＝1時(shí)，(x＋3y)min＝6.
變式訓(xùn)練
(1) 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________；
(2) 若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，則x＋y的最小值為________．
答案：(1) 2－3 (2) 18
解析：(1) 由xy＋2x＋y＝4，解得y＝，則x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－3≥2－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立．
(2) 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴ ＋＝1，
∴ x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋22＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)取等號(hào)．又2x＋8y－xy＝0，∴ x＝12，y＝6，
即當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)，x＋y取最小值18.
, 3 基本不等式與函數(shù)的綜合應(yīng)用)
, 3) 已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若對(duì)于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，則a的取值范圍是________．
答案：
解析：對(duì)任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，可得
a≥－＋3.
設(shè)g(x)＝x＋，x∈N*.
∵ g(x)在(0，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，而x∈N*，∴ g(x)在x取距離2較近的整數(shù)值時(shí)達(dá)到最小，而距離2較近的整數(shù)為2和3，且g(2)＝6，g(3)＝.
∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min＝.
∴ －＋3≤－，
∴ a≥－，故a的取值范圍是.
變式訓(xùn)練
要制作一個(gè)如圖的框架(單位：m)，要求所圍成的總面積為19.5 m2，其中四邊形ABCD是一個(gè)矩形，四邊形EFCD是一個(gè)等腰梯形，梯形高h(yuǎn)＝AB，tan∠FED＝，設(shè)AB＝x m，BC＝y(tǒng) m.
(1) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2) 怎樣設(shè)計(jì)x，y的長度，才能使所用材料最少？
解：(1) 如圖，作DH⊥EF于點(diǎn)H.
依題意，DH＝AB＝x，
EH＝＝x＝x，
∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，
∴ y＝－x.
∵ x＞0，y＞0，
∴ －x＞0，解得0＜x＜，
∴ 所求解析式為y＝－x.
(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，
∴ DE＝＝x＝x，
設(shè)框架的周長為l m.
則l＝(2x＋2y)＋2x＋
＝2y＋6x＝－x＋6x
＝＋x≥2 ＝26.
當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)y＝－x＝4，
∴ AB＝3 m，BC＝4 m時(shí)，能使整個(gè)框架所用材料最少．
, 4 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用)
, 4) 某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)O的兩條直線段圍成的．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30 m，其中大圓弧所在圓的半徑為10 m．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x m，圓心角為θ(弧度)．
(1) 求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2) 已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出x為何值時(shí)，y取得最大值．
解：(1) 由題意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10)．
(2) 花壇的面積為θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10)．
裝飾總費(fèi)用為9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比y＝＝－.令t＝17＋x，則y＝－≤，當(dāng)且僅當(dāng)t＝18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝1，θ＝.
所以當(dāng)x＝1時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大．
去年冬季，我國多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元，售價(jià)為8元，月銷售5萬只．
(1) 據(jù)市場調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤不低于原來的月總利潤(月總利潤＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價(jià)最多為多少元？
(2) 為提高月總利潤，廠家決定下月進(jìn)行營銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x(x≥9)元，并投入(x－9)萬元作為營銷策略改革費(fèi)用．據(jù)市場調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少萬只．則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤．
解：(1) 設(shè)每只售價(jià)為x元(x>8)，則月銷售量為萬只，由已知得(x－6)≥(8－6)5，∴ x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0，解得8≤x≤，即每只售價(jià)最多為18.5元．
(2) 下月的月總利潤y＝(x－6)－(x－9)＝－x＋＝－x＋＝－＋.∵ x≥9，∴ ＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝10時(shí)取等號(hào)，ymax＝14.
答：當(dāng)x＝10時(shí)，下月的月總利潤最大，且最大利潤為14萬元．
1. (2017蘇北四市模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3，則＋的最小值是________．
答案：8
解析：由已知得x＝，而0＜x＜，所以y＞3.則＋＝y(tǒng)＋3＋＝y(tǒng)－3＋＋6≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝4，x＝時(shí)等號(hào)成立．即＝8.
2. (2017蘇州期末)已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值為________．
答案：
解析：由x＋y＝1，得x＋2＋y＋1＝4，＋＝(x＋2＋y＋1)＝[4＋1＋＋]≥(5＋4)＝，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．即＝.
3. (2017泰州、南通模擬)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則＋的最小值是________．
答案：8
解析：＋＝＋＝(x＋y)－1＝＋＋4≥8.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．
4. (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知a，b均為正數(shù)，且ab－a－2b＝0，則－＋b2－的最小值為________．
答案：7
解析：∵ a，b均為正數(shù)，且ab－a－2b＝0，即a＋2b＝ab，∴ ＋＝1.
則－＋b2－＝＋b2－1.
＋b＝＝＋＋2≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)取等號(hào)．
∴ ＋b2≥≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)取等號(hào)．
∴ －＋b2－＝＋b2－1≥7.
5. (2016江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是__________．
答案：8
解析：(解法1)∵ sin A＝2sin Bsin C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴ sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
兩邊同除以cos Bcos C，可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－tan Btan C＝，
由三角形為銳角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A＝>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C－1＝t(t>0)，則tan Atan Btan C＝＝2t＋＋4≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即tan Btan C＝2時(shí)取等號(hào)．
(解法2)同解法1可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，
又tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋(1－tan Btan C)tan(B＋C)＝tan A－tan A＋tan Atan Btan C＝tan Atan Btan C，
∴ tan Atan Btan C＝tan A＋tan B＋tan C＝tan A＋2tan Btan C≥2?tan Atan Btan C≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)tan A＝2tan Btan C＝4時(shí)取等號(hào)．
, 7. 忽視最值取得的條件致誤)
典例 (1) 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值是________；
(2) 函數(shù)y＝1－2x－(x＜0)的最小值為________．
易錯(cuò)分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等號(hào)成立的條件．如：∵ 1＝＋≥2，∴ ≥2，∴ x＋y≥2≥4，∴ (x＋y)min＝4.
(2) 沒有注意到x＜0這個(gè)條件，誤用基本不等式得2x＋≥2.
解析：(1) ∵ x＞0，y＞0，
∴ x＋y＝(x＋y)＝3＋＋≥3＋2(當(dāng)且僅當(dāng)y＝x時(shí)取等號(hào))，
∴ 當(dāng)x＝＋1，y＝2＋時(shí)，(x＋y)min＝3＋2.
(2) ∵ x＜0，∴ y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－時(shí)取等號(hào)，故y的最小值為1＋2.
答案：(1) 3＋2 (2) 1＋2
特別提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件；(2) 盡量避免多次使用基本不等式，若必須多次使用，一定要保證等號(hào)成立的條件一致．
1. 已知正數(shù)a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________．
答案：36
解析：由＋＝－5≥2，得ab－5－6≥0，解得≥6，ab≥36.
2. 已知a＋b＝2，b＞0，當(dāng)＋取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是________．
答案：－2
解析：＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－2，b＝4時(shí)等號(hào)成立．
3. (2017南京三模)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍是________．
答案：[27，30]
解析：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，對(duì)a＋2b≤8c的左右兩邊同除以c，得＋≤8；對(duì)＋≤的左右兩邊同乘c，得＋≤2；令x＝，y＝，則條件可轉(zhuǎn)化為
再進(jìn)行化簡，可得即求z＝＝3x＋8y的取值范圍，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題，畫出可行域，對(duì)y＝＋求導(dǎo)，并令導(dǎo)函數(shù)值為－，可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，代入曲線，計(jì)算出切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用線性規(guī)劃，可知z＝3x＋8y分別在(2，3)和處取最值，可得的取值范圍是[27，30]．
4. (2017無錫期末)已知a>0，b>0，c>2，且a＋b＝2，則＋－＋的最小值為________．
答案：＋
解析：由a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，得＋－＋＝c＋＝＋.由2＝，可得＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝a時(shí)等號(hào)成立，則原式≥c＋＝≥＝＋.當(dāng)且僅當(dāng)c＝2＋時(shí)等號(hào)成立．
1. a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，而≥成立的條件是a≥0，b≥0，使用時(shí)要注意公式成立的前提條件．
2. 在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“一正”(即條件中字母為正數(shù))“二定”(不等式的另一邊必須為定值)“三相等”(等號(hào)取得的條件)．
3. 正確理解定理：“和一定，相等時(shí)積最大；積一定，相等時(shí)和最小”．
4. 連續(xù)使用公式兩次或以上，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致．
5. 掌握函數(shù)y＝ax＋(a>0，b>0)的單調(diào)性，特別是當(dāng)運(yùn)用基本不等式不能滿足“三相等”時(shí)．[備課札記]
第4課時(shí) 不等式的綜合應(yīng)用(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)99～100頁)
掌握不等式的綜合應(yīng)用；掌握基本不等式的綜合應(yīng)用；掌握不等式與其他函數(shù)方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用．
解決應(yīng)用性問題的基本思路：讀題(背景、結(jié)論)—條件—建模—解題—反思—作答．
1. (必修5P102習(xí)題7改編)函數(shù)y＝x＋(x≠0)的值域是________．
答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析：當(dāng)x>0時(shí)，y＝x＋≥2＝4；當(dāng)x<0時(shí)，y＝x＋＝－≤－2＝－4.
2. (必修5P102習(xí)題9改編)某種產(chǎn)品按下列三種方案兩次提價(jià)．方案甲：第一次提價(jià)p%，第二次提價(jià)q%；方案乙：第一次提價(jià)q%，第二次提價(jià)p%；方案丙：第一次提價(jià)%，第二次提價(jià)%.其中p>q>0，上述三種方案中提價(jià)最多的是________．
答案：方案丙
解析：設(shè)原來價(jià)格為A，方案甲：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A＝A；方案乙：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A；方案丙：經(jīng)兩次提價(jià)后價(jià)格為A＝A[1＋＋]．因?yàn)?，所以方案丙提價(jià)最多．
3. 設(shè)x∈R，f(x)＝，若不等式f(x)＋f(2x)≤k對(duì)于任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案：k≥2
解析：不等式轉(zhuǎn)化為k≥＋，因?yàn)椤?0，1]，所以k≥2.
4. (必修5P106復(fù)習(xí)題16改編)已知x>0，y>0且滿足＋＝1，則x＋y的最小值是________ .
答案：18
解析：∵ x>0，y>0，∴ x＋y＝(x＋y)＝2＋8＋＋≥10＋2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立．又＋＝1，∴ 當(dāng)x＝6，y＝12時(shí)，x＋y有最小值18.
5. 若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．
答案：[9，＋∞)
解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2，則ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0?≥3，∴ ab≥9.[備課札記]
, 1 含參數(shù)的不等式問題)
, 1) 若不等式組的解集中所含整數(shù)解只有－2，求k的取值范圍．
解：由x2－x－2>0得x＜－1或x＞2，
由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0得(2x＋5)(x＋k)＜0，
因?yàn)椋?是原不等式組的解，所以k＜2.
由(2x＋5)(x＋k)＜0有－＜x＜－k.
因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解只有－2，
所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，
故k的取值范圍是[－3，2)．
變式訓(xùn)練
解關(guān)于x的不等式＞0 (a∈R)．
解：原不等式等價(jià)于(ax－1)(x＋1)＞0.
① 當(dāng)a＝0時(shí)，由－(x＋1)＞0，得x＜－1；
② 當(dāng)a＞0時(shí)，不等式化為(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞；
③ 當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為(x＋1)＜0；
若＜－1，即－1＜a＜0，則＜x＜－1；
若＝－1，即a＝－1，則不等式解集為空集；
若＞－1，即a＜－1，則－1＜x＜.
綜上所述，a＜－1時(shí)，解集為；a＝－1時(shí)，原不等式無解；－1＜a＜0時(shí)，解集為；a＝0時(shí)，解集為{x|x＜－1}；a＞0時(shí)，解集為.
, 2 不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用)
, 2) 某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120)時(shí)，每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為L，其中k為常數(shù)，且60≤k≤100.
(1) 若汽車以120 km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5 L，欲使每小時(shí)的油耗不超過9 L，求x的取值范圍；
(2) 求該汽車行駛100 km的油耗的最小值．
解：(1) 由題意，當(dāng)x＝120時(shí)，＝11.5，所以k＝100.
由≤9，得x2－145x＋4 500≤0，
∴ 45≤x≤100.
∵ 60≤x≤120，∴ 60≤x≤100.
(2) 設(shè)該汽車行駛100 km的油耗為y L，則
y＝＝20－＋(60≤x≤120)．
令t＝，則t∈，
∴ y＝90 000t2－20kt＋20＝90 000＋20－.
對(duì)稱軸為直線t＝.∵ 60≤k≤100，∴ ∈.
① 若≥，即75≤k≤100，則當(dāng)t＝，即x＝時(shí)，ymin＝20－；
② 若＜，即60≤k＜75，則當(dāng)t＝，即x＝120時(shí)，ymin＝－.
答：當(dāng)75≤k≤100時(shí)，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L；當(dāng)60≤k＜75時(shí)，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為L.
現(xiàn)有一占地1 800 m2的矩形地塊，中間三個(gè)矩形設(shè)計(jì)為花圃(如圖)，種植不同品種的觀賞花卉，周圍則均是寬為1 m的賞花小徑，設(shè)花圃占地面積為S m2，設(shè)矩形一邊的長為x(如圖所示)．
(1) 試將S表示為x的函數(shù)；
(2) 問應(yīng)該如何設(shè)計(jì)矩形地塊的邊長，使花圃占地面積S取得最大值？
解：(1) 由題知S＝a(x－2)＋2a(x－3)＝a(3x－8)，
又3a＋3＝，則a＝－1，
所以S＝(3x－8)＝1 808－3x－.
(2) S＝1 808－3x－＝1 808－3≤1 808－240＝1 568(當(dāng)且僅當(dāng)x＝40時(shí)取等號(hào))，此時(shí)另一邊長為45 m .
答：當(dāng)x＝40 m，另一邊長為45 m時(shí)花圃占地面積S取得最大值1 568 m2.
, 3 基本不等式的靈活運(yùn)用)
, 3) 設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為__________．
答案：16
解析：由＋＝1，得xy＝8＋x＋y.
∵ x，y均為正實(shí)數(shù)，∴ xy＝8＋x＋y≥8＋2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16.故xy的最小值為16.
變式訓(xùn)練
已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，則＋的最小值為________．
答案：
解析：將x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋.設(shè)＝t＞0，則原式＝＋＝＝＝[(1＋2t)＋＋1]≥2＋＝，當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即x＝，y＝時(shí)等號(hào)成立．
1. 已知正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，則的最大值為________．
答案：
解析：∵ 正數(shù)x，y滿足x＋2y＝1，
∴ ＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)，
∴ 的最小值為18，∴ 的最大值為.
2. 若x＞0，y＞0，則＋的最小值為________．
答案：－
解析：設(shè)＝t＞0，則＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，當(dāng)且僅當(dāng)t＝＝時(shí)取等號(hào)．
3. 若x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x2＋y2＋z2＝1，則的最小值為________．
答案：3＋2
解析：x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且x2＋y2＋z2＝1，可得1－z2＝x2＋y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，則
≥＝＝≥＝3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)z＝－1，即x＝y(tǒng)＝時(shí)，取得最小值3＋2.
4. 已知x＞y＞0，且x＋y≤2，則＋的最小值為________．
答案：
解析：由x＞y＞0，可得x＋3y＞0，x－y＞0，
[(x＋3y)＋(x－y)]＝5＋＋≥5＋2＝9，可得＋≥＝≥.
當(dāng)且僅當(dāng)2(x－y)＝x＋3y，即x＝5y＝時(shí)，取得最小值.
5. (2017蘇州期中)如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD＝120，擬過線段BC上一點(diǎn)E設(shè)計(jì)一條直路EF(點(diǎn)F在四邊形ABCD的邊上，不計(jì)路的寬度)，EF將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍．設(shè)EC ＝x百米，EF＝y(tǒng)百米．
(1) 當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置；
(2) 試求x的值，使路EF的長度y最短．
解：(1) 平行四邊形ABCD的面積為S?ABCD＝212sin 120＝，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，S△CFE＝CECDsin 120＝x.
∵ S△CFE＝S?ABCD，∴ x＝，∴ x＝1，
∴ E是BC的中點(diǎn)．
(2) ① 當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí)，
∵ S△CFE＝CECFsin 120＝S?ABCD＝，
∴ CF＝.
在△CFE中，EF2＝CE2＋CF2－2CECFcos 120，
∴ y＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)E在BC中點(diǎn)處且F與D重合，符合題意；
② 當(dāng)點(diǎn)F在DA上時(shí)，
∵ S梯形CEFD＝＝S?ABCD＝，
∴ DF＝1－x.
(ⅰ) 當(dāng)CE＜DF時(shí)，過E作EG∥CD交DA于G，
在△EGF中，EG＝1，GF＝1－2x，∠EGF＝60，由余弦定理得y＝；
(ⅱ) 當(dāng)CE≥DF時(shí)，過E作EG∥CD交DA于G，
在△EGF中，
2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第六章 不等式學(xué)案.doc
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