2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第六章 立體幾何 考點測試42 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 理（含解析）.docx

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第六章　立體幾何 考點測試42　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 高考概覽 考綱研讀 1．認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu) 2．能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖 一、基礎(chǔ)小題 1．三視圖如圖所示的幾何體是(　　) A．三棱錐 B．四棱錐 C．四棱臺 D．三棱臺 答案　B 解析　由三視圖可作幾何體如圖，可知選B． 2．以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是(　　) A．球的三視圖總是三個全等的圓 B．正方體的三視圖總是三個全等的正方形 C．水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形 D．水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓 答案　A 解析　畫幾何體的三視圖要考慮視角，但對于球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個全等的圓． 3．用一個平行于水平面的平面去截球，得到如右圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 答案　B 解析　俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓是虛線，故選B． 4．用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為(　　) A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 答案　C 解析　依題意可知∠BAD＝45，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2． 5．給出下列命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線； ②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐； ③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐； ④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析?、馘e誤，只有這兩點的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線；②錯誤，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖1所示；③錯誤，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等． 6．如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是(　　) A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 答案　B 解析　由三視圖可知該幾何體應(yīng)為橫向放置的三棱柱(如圖所示)．故選B． 7．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是(　　) 答案　D 解析　A圖是兩個圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個四棱柱與一個圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D． 8．將正方體(如圖a所示)截去兩個三棱錐，得到圖b所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 答案　B 解析　還原正方體后，將D1，D，A三點分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實線，B1C被遮擋應(yīng)為虛線． 9．已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　由題意知，三棱錐放置在長方體中如圖所示，利用長方體模型可知，此三棱錐的四個面全部是直角三角形．故選D． 10．在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(　　) A．①和③ B．③和① C．④和③ D．④和② 答案　D 解析　由題意得，該幾何體的正視圖是一個直角三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)，且內(nèi)有一條虛線(一頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖是④；俯視圖即在底面的射影，是一個斜三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯視圖是②． 11．一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　　) A．a(chǎn)2 B．2a2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2 答案　B 解析　根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于＝2a2．故選B． 12．已知一個正三棱柱的所有棱長均相等，其側(cè)(左)視圖如圖所示，那么此三棱柱正(主)視圖的面積為________． 答案　2 解析　由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得正(主)視圖是一個矩形，其中一邊的長是側(cè)(左)視圖中三角形的高，另一邊是棱長．因為側(cè)(左)視圖中三角形的邊長為2，所以高為，所以正(主)視圖的面積為2． 二、高考小題 13．(2018全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 答案　A 解析　觀察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫出，俯視圖為，故選A． 14．(2018全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 答案　B 解析　根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬、圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為＝2，故選B． 15．(2018北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由三視圖得四棱錐的直觀圖如圖所示．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB＝1． 由SD⊥底面ABCD，AD，DC， AB?底面ABCD，得 SD⊥AD，SD⊥DC，SD⊥AB，故△SDC，△SDA為直角三角形， 又∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD，SD?平面SAD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SAD，又SA?平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB也是直角三角形，從而SB＝ ＝3，又BC＝＝． SC＝2，∴BC2＋SC2≠SB2，∴△SBC不是直角三角形，故選C． 16．(2017全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 答案　B 解析　由多面體的三視圖還原直觀圖如圖．該幾何體由上方的三棱錐A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1構(gòu)成，其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形，則梯形的面積之和為2＝12．故選B． 17．(2017北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3 B．2 C．2 D．2 答案　B 解析　根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P－ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長為2的正方體中．由圖可知該四棱錐的最長棱為PD，PD＝＝2．故選B． 18．(經(jīng)典江西高考)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是(　　) 答案　B 解析　由幾何體的直觀圖知，該幾何體最上面的棱橫放且在中間的位置上，因此它的俯視圖應(yīng)排除A，C，D，經(jīng)驗證B符合題意，故選B． 三、模擬小題 19．(2018廣東廣州綜合測試)如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 答案　C 解析　∵該幾何體的體積為，且由題意知高為1，故底面積為，結(jié)合選項知選C． 20．(2018廣州六校聯(lián)考)已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，給出下列5個圖形： 其中可以作為該幾何體的俯視圖的圖形個數(shù)為(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　B 解析　由題知可以作為該幾何體俯視圖的圖形為①②③⑤，故選B． 21．(2018長沙統(tǒng)考)已知某幾何體的正視圖和俯視圖是如圖所示的兩個全等的矩形，給出下列4個圖形： 其中可以作為該幾何體的側(cè)視圖的圖形序號是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 答案　D 解析　符合題意的幾何體可以是如下幾何體： 由此可知選D． 22．(2018合肥質(zhì)檢二)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E是棱A1B1的中點，用過點A，C，E的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)(左)視圖為(　　) 答案　A 解析　依題意，截后的多面體如圖所示，其中F為棱B1C1的中點，故選A． 23．(2018湖南郴州模擬)一只螞蟻從正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點C1的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 答案　D 解析　由點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點C1的位置，共有6種路線(對應(yīng)6種不同的展開方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展開到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過BB1的中點，此時對應(yīng)的正視圖為②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展開到同一個平面內(nèi)，連接AC1，則AC1是最短路線，且AC1會經(jīng)過CD的中點，此時對應(yīng)的正視圖為④．而其他幾種展開方式對應(yīng)的正視圖在題中沒有出現(xiàn)．故選D． 24．(2018深圳調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知側(cè)棱AA′⊥底面A′B′C′，且△A′B′C′是正三角形，若點P是上底面ABC內(nèi)的任意一點，則三棱錐P－A′B′C′的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為(注：以垂直于平面ACC′A′的方向為正視圖方向)(　　) A． B． C．1 D． 答案　D 解析　過點P作AC的垂線交AC于P′，則P′為P在平面ACC′A′上的投影．取A′C′的中點B″，則B″為B′在平面ACC′A′上的投影．由此得正視圖與側(cè)視圖如圖所示．設(shè)底面邊長為a，AA′＝b．則S正＝ab，S側(cè)＝ab＝ab，故＝＝． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018沈陽質(zhì)檢)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形． (1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積； (2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1？如何組拼？試證明你的結(jié)論． 解　(1)該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，其中底面ABCD是邊長為6的正方形，高為CC1＝6，故所求體積是V＝626＝72． (2)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，其拼法如圖2所示． 證明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形，于是VC1－ABCD＝VC1－ABB1A1＝VC1－AA1D1D，故所拼圖形成立． 2．(2018河南鄭州一中月考)一個多面體的三視圖和直觀圖如圖1、圖2所示，其中M，N分別是AB，AC的中點，G是DF上的一個動點，且DG＝λDF(0<λ≤1)． (1)求證：對任意的λ∈(0，1)，都有GN⊥AC； (2)當(dāng)λ＝時，求證：AG∥平面FMC． 證明　(1)由三視圖與直觀圖，知該幾何體是一個直三棱柱，CD⊥DF，AD⊥DF，AD⊥CD，且DF＝AD＝DC．如圖， 連接BD，則AC⊥BD，且N為AC與BD的交點． 由題意知FD⊥平面ABCD， 又G是FD上的一點， ∴GD⊥平面ABCD， 又AC?平面ABCD， ∴GD⊥AC． 由AC⊥BD，GD⊥AC及BD∩GD＝D， 知AC⊥平面GDN， 又GN?平面GDN，∴AC⊥GN． (2)當(dāng)λ＝時，G是DF的中點，取DC的中點S，連接AS，GS，如圖所示． ∵M是AB的中點， ∴AS∥MC，GS∥FC，且AS∩GS＝S， MC∩FC＝C， ∴平面AGS∥平面FMC，又AG?平面AGS， ∴AG∥平面FMC．