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考點測試35 基本不等式
高考概覽
考綱研讀
1.了解基本不等式的證明過程
2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題
一、基礎(chǔ)小題
1．“a>0且b>0”是“≥”成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 a>0且b>0?≥，但≥a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0.
2．已知0
2)在x＝a處取最小值，則a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
答案 C
解析 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即(x－2)2＝1時等號成立，解得x＝1或3.又∵x＞2，∴x＝3，即a等于3時，函數(shù)f(x)在x＝3 處取得最小值，故選C.
4．函數(shù)f(x)＝x＋(x<0)的值域為( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝－≤－2 ＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝，即x＝－1時，等號成立．
5．設(shè)00，∴y＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時取等號．
6．函數(shù)y＝(x>－1)的圖象的最低點的坐標(biāo)是( )
A．(1，2) B．(1，－2) C．(1，1) D．(0，2)
答案 D
解析 y＝＝(x＋1)＋≥2，當(dāng)x＝0時取最小值．
7．設(shè)00，即>a，D錯誤．故選B.
8．已知a>0，b>0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由題意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取等號．
9．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 ∵1＝2x＋2y≥2＝2當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y＝，即x＝y(tǒng)＝－1時等號成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.
10．下列函數(shù)中，最小值為4的是( )
A．y＝
B．y＝sinx＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋4logx3
答案 C
解析 對于A，因為≥，所以y＝＋的最小值不是4，所以不滿足題意；對于B，令sinx＝t∈(0，1]，則y＝t＋，y′＝1－＜0，因此函數(shù)y＝t＋在(0，1]上單調(diào)遞減，所以y≥5，所以不滿足題意；對于C，y≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝4e－x，即x＝ln 2時取等號，故滿足題意；對于D，當(dāng)x∈(0，1)時，log3x，logx3<0，所以不滿足題意．
11．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均存儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的存儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與存儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
答案 B
解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用是元，存儲費用是元，總的費用y＝＋≥2 ＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號，得x＝80(件)．故選B.
12．設(shè)M＝，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，則M的取值范圍是________．
答案 [8，＋∞)
解析 M＝≥＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時取等號．
二、高考小題
13．(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立，則a的取值范圍是( )
A．－，2 B．－，
C．[－2，2] D．－2，
答案 A
解析 ①當(dāng)x≤1時，關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價于－x2＋x－3≤＋a≤x2－x＋3在R上恒成立，即有－x2＋x－3≤a≤x2－x＋3在R上恒成立．由y＝－x2＋x－3圖象的對稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最大值－；由y＝x2－x＋3圖象的對稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最小值，則－≤a≤.
②當(dāng)x>1時，關(guān)于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價于－x＋≤＋a≤x＋在R上恒成立，即有－x＋≤a≤＋在R上恒成立，由于x>1，所以－x＋≤－2＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時取得最大值－2；因為x>1，所以x＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取得最小值2，則－2≤a≤2.
由①②可得－≤a≤2.故選A.
14．(2018天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________．
答案
解析 由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2－3b時等號成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故當(dāng)a＝－3，b＝1時，2a＋取得最小值.
15．(2015重慶高考)設(shè)a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
答案 3
解析 令t＝＋，
則t2＝(＋)2
＝a＋1＋b＋3＋2
≤9＋a＋1＋b＋3＝18，
當(dāng)且僅當(dāng)a＋1＝b＋3時，
即a＝，b＝時，等號成立，
所以t的最大值為3.
16．(2017江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
答案 30
解析 設(shè)總費用為y萬元，則y＝6＋4x＝4x＋≥240，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝30時，等號成立．
17．(2017天津高考)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________．
答案 4
解析 ∵a4＋4b4≥2a22b2＝4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時“＝”成立)，∴≥＝4ab＋，由于ab＞0，∴4ab＋≥2＝4當(dāng)且僅當(dāng)4ab＝時“＝”成立，故當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為4.
三、模擬小題
18．(2018廊坊一模)已知m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋的最小值為( )
A．4 B．2 C. D．16
答案 C
解析 ∵m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋＝(2m＋n)＋＝＋＋≥＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)n＝，m＝時取等號．故選C.
19．(2018山東日照模擬)若實數(shù)x，y滿足xy>0，則＋的最大值為( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
答案 D
解析 ＋＝＋＝1＋－＝1＋＝1＋＝1＋，因為xy>0，所以>0，>0.由基本不等式可知＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立，所以1＋≤1＋＝4－2.
20．(2018四川資陽診斷)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，則a＋2b的最小值為( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，則a＋2b＝＋2b＝1＋＋
2(b－2)＋4≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)b＝3，a＝3時等號成立，其最小值為9.
21．(2018江西九校聯(lián)考)若正實數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，則x＋的最大值為( )
A．－1＋ B．1
C．1＋ D.
答案 A
解析 由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－2＋2＋2＝9，又2x－2＋2＋2≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)2x－＝2＋時等號成立，所以2x＋＋22≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值為－1＋.故選A.
22．(2018南昌摸底)已知函數(shù)y＝x＋(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為________．
答案 4
解析 由x>2，知x－2>0，又m>0，則y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2，取等號的條件為x－2＝.從而依題意可知2＋2＝6，解得m＝4.
23．(2018邯鄲模擬)設(shè)x>0，y>0，且x－2＝，則當(dāng)x＋取最小值時，x2＋＝________.
答案 12
解析 ∵x>0，y>0，∴當(dāng)x＋取最小值時，x＋2取得最小值，∵x＋2＝x2＋＋，又x－2＝，∴x2＋＝＋，∴x＋2＝＋≥2＝16，∴x＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時取等號，∴當(dāng)x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.
一、高考大題
本考點在近三年高考中未涉及此題型．
二、模擬大題
1．(2018河北唐山模擬)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y.
(1)求＋的最小值；
(2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由．
解 (1)因為＋＝＝≥＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，所以＋的最小值為2.
(2)不存在．理由如下：
因為x2＋y2≥2xy，
所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．
又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2.
從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，
因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5.
2．(2018河南駐馬店檢測)某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為x2＋x萬元．設(shè)余下工程的總費用為y萬元．
(1)試將y表示成x的函數(shù)；
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？
解 (1)設(shè)需要修建k個增壓站，
則(k＋1)x＝240，即k＝－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400＋
＝＋240x－160.
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則00，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，
解得3
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第五章
不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù)
考點測試35
基本不等式
文含解析
2020
高考
數(shù)學(xué)
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第五
不等式
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